3.7. Векторный потенциал.

Теорема о циркуляции вектора , выраженная в дифференциальной форме, ясно показывает, что магнитное поле являетсявихревымв тех областях, где текут токи, ибезвихревым там, где токов нет.

Поэтому в пространственных областях, где нет токов (), можно ввести, аналогично тому, как это было сделано в электростатике, скалярную функцию поля – магнитный потенциал. Тогда векторможет быть представлен в виде градиента магнитного потенциала:

Однако такое преставление невозможно в тех областях, где текут токи (), поскольку, очевидно, что поле векторатам уже не потенциальное и, следовательно, циркуляция вектораотлична от нуля. В этом случае понятие магнитного потенциалатеряет смысл.

Действительно, нетрудно показать, что для любой скалярной функции имеет место тождество

,

Тогда, если

,

то

,

с другой стороны

,

откуда , что лишено смысла.

Вектор , как и векторявляются силовыми характеристиками магнитного и электрического полей, причем они позволяют полностью описать соответствующие силовые поля. В то же время, как это было замечено в электростатике, энергетический подход к взаимодействию электрических зарядов дает возможность иначе взглянуть на само электрическое поле как физическую реальность и, что немаловажно, является весьма плодотворным по своим практическим применениям.

Теперь возникает естественный вопрос, существует ли принципиальная возможность ввести для магнитного поля соответствующую энергетическую характеристику, позволяющую достаточно просто восстановить само поле вектора , и найти уравнение, решением которого она бы являлась.

Как показали проведенные выше рассуждения, использование простой аналогии с электростатикой приводит к неудаче. Поэтому подойдем к решению этой задачи с формальной точки зрения.

3.7.1.Векторный потенциал. Неоднозначность, калибровка и градиентная инвариантность.

Ранее для электростатического поля мы записали

;

.

Введем для описания электрического поля скалярную функцию - потенциал.

Для любой скалярной функции всегда можно ввести ее градиент. Тогда, положив

,

автоматически удовлетворяем условию (потенциальность поля)

,

Действительно, ротор функции тождественно равен нулю:

. (3.7.2)

(функция не может измениться при движении по замкнутому контуру.)

Магнитное поле имеет существенно иной характер, чем электрическое,

и описывается уравнениями

;

.

С другой стороны, по теореме Гаусса

.

Воспользуемся теперь известным тождеством из векторного анализа:

. (3.7.4)

Это тождество справедливо для любого вектора . Поэтому из (3.7.4) следует, что индукцию магнитного поляможно представить как ротор векторной функции:

. (3.7.5)

Т.о., вектор индукции магнитного поля , представленный выражением (3.7.5) автоматически удовлетворяет уравнению

.

Вектор получил названиевекторного потенциала

Выбор векторного потенциала неоднозначен. Действительно, если векторный потенциалописывает поле, тогда и потенциал

, (3.7.6) где- произвольная функция времени и координат, описывает то же самое поле.

В самом деле, в силу (3.7.2) имеем

(3.7.7)

Преобразование (3.7.6) называют градиентным, а эквивалентность векторови-градиентной инвариантностью. Неоднозначность определения векторного потенциаласовершенно аналогична неоднозначности определению скалярного потенциалав теории электростатического поля. Только потенциал определен с точностью до произвольной постоянной, а векторный потенциал- с точностью до произвольной функции определенного класса.

Благодаря градиентному преобразованию на векторный потенциал можно накладывать дополнительные условия, которые могут быть удовлетворены подбором скалярной функции .

Пример.Однородное магнитное поле.

Пусть магнитное поле однородно и направлено вдоль осиz, т.е..

Тогда вектор вращается вокруг оси, а векторное уравнение«распадается» на следующие скалярные уравнения, записанные в осях декартовой системы координат:

:,

Имеем три решения (как следствие неоднозначности определения векторного потенциала):

(1) ,

(2) ,

(3) ,,, или

Проверим третье решение.

Преобразуем сначала уравнение к виду:

,

подчеркивая тот факт, что поле однородно, т.е. и операторный множительдействует на радиус-вектор. Тогда

.

Раскрывая двойное векторное произведение по правилу , мы руководствовались следующим требованием:

выполняя операции с векторами, необходимо позаботиться, чтобы операторный множитель всегда находился впереди тех сомножителей, на которые он действует в исходном выражении.

Вектор вращается вокруг оси:, где– радиус окружности с центром на осиz.

Вычислим циркуляцию вектора , т.е. интегралпо этой окружности:

.

Т.о., мы получили поток вектора через круг радиуса. Этот результат закономерен, т.к.

. (3.7.8)

3.7.2. Уравнение для векторного потенциала. Векторный потенциал токов.

Обратимся снова к уравнениям электростатики. Посмотрим теперь, как можно формально получить уравнение для потенциала электростатического поля.

Выражая в уравнении

напряженность электрического поля через потенциал, получаем

- уравнение Пуассона.

Решение этого уравнения мы знаем

.

Будем теперь конструировать уравнение, которому должна

удовлетворять функция векторный потенциал.

Поступим следующим образом. Заменим в уравнении

,

выражающем дифференциальную форму теоремы о циркуляции вектора , вектор индукции магнитного поля на векторный потенциал поля в соответствии с

:

.

(Использовали правило и учли свойства операторного сомножителя).

Неоднозначность определения векторного потенциала (калибровочная инвариантность) позволяет наложить на потенциал дополнительное условие – произвестикалибровку.

В магнитостатике обычно выбирают условие:

, (3.7.9)

исходя из того соображения, что поле вектора не имеет источников и стоков – его линии замкнуты.

С учетом калибровки уравнение для векторного потенциала магнитостатического поля приобретает вид:

(3.7.10)

Поскольку это векторное уравнение, то ему соответствуют три скалярных уравнения, записанных в проекциях на оси декартовой системы координат:

(3.7.11)

Каждое из этих трех уравнений формально соответствует уравнению Пуассона в электростатике. Поэтому можно записать их решения в виде:

, где.

Тогда для вектора мы получаем следующее выражение,

называемое векторным потенциалом объемных токов:

(3.7.12)

Векторный потенциал линейных токовопределяется, соответственно, уравнением:

(3.7.13)

Убедимся, что векторный потенциал токов удовлетворяет условию калибровки :

,

т.к. на поверхности проводников .

Здесь оператор «градиент» осуществляет дифференцирование по точкам наблюдения:

Что же получается для вектора?

- закон Био-Савара.

О физическом смысле векторного потенциала.

В классической физике векторный потенциал обычно рассматривается как вспомогательная функция, не имеющая физического смысла, т.е.не наблюдаемая и не измеряемая. Такая интерпретация восходит к работам Хевисайда и Герца, рассматривавших электромагнитное поле довольно формально и интересовавшихся больше методами расчетов, чем физическими свойствами векторного потенциала.

Однако Максвелл вводил векторный потенциал как величину, пропорциональную импульсу (количеству движения) сгустка электромагнитного поля, сопровождающего движущийся электрический заряд.

В середине , теперь уже прошлого, века Ааронов и Бом предсказали интересный эффект, позже обнаруженный экспериментально:в области пространства, где индукция магнитного поля равна нулю (), изменение векторного потенциалавлияет на движение электронов, поскольку влечет за собой изменение импульса сгустка электромагнитного поля, сопровождающего электрон.

Качественная иллюстрация этого эффекта приведена на рисунке.

В отсутствие тока в катушке электронные волны (мы исходим из того, что электроны, наряду с корпускулярными, обладают волновыми свойствами – т.н. корпускулярно-волновой дуализм), огибая соленоид (в детали не будем вдаваться), создают на экране некоторую интерференционную картину.

При включении тока в соленоиде индукция магнитного поля отлична от нуля и терпит на границе соленоида конечный скачок, обращаясь в нуль().

При этом векторный потенциал, связанный с индукцией магнитного поля соотношением , может не обращаться в нуль, а принимать некоторое постоянное значение, т.е. зависимостьвсего лишь меняет наклон. Т.о., векторный потенциал, вообще говоря, отличен от нуля как внутри, так и вне соленоида, т.е. там, где индукция магнитного поля обращается в нуль. Приведенные на рисунке зависимостииявляются довольно грубыми, т.к. не учитывают некоторых деталей, но дают правильное качественное представление,- радиус соленоида.

В эксперименте было обнаружено, что при появлении в соленоиде токаинтерференционная картина сдвигается, хотяэлектроны по- прежнему движутся в области, где индукция магнитного поля равна нулю.

Это можно объяснить следующим образом: изменение векторного потенциалав пространстве, окружающем соленоид, меняет фазы электронных волн, что и приводит к изменению наблюдаемой на экране интерференционной картины.

Следовательно, по изменению интерференционной картиныможноопределить изменение векторного потенциала. Т.о.,изменение векторного потенциала магнитного поля оказывается наблюдаемой, измеряемой физической величиной.

Отметим, что строгое объяснение эффекта Ааронова – Бома возможно только при учете квантовых законов, описывающих движение электронов в магнитном поле.

3.7.3. Векторный потенциал и магнитное поле витка с током.

Используем векторный потенциал прямого тока для вычисления магнитного потенциала и индукции магнитного поля, создаваемого витком с током.

(*) (в СИ:).

Пусть , т.е. будем рассматривать случай, когда расстояние от

контура до интересующей нас точки много больше размеров самого

контура (поле, создаваемое малым контуром на больших расстояниях).

Разложим знаменатель выражения (*) в ряд:

и ограничимся его первыми двумя членами. Подставляя теперь в (*), имеем

.

Первое слагаемое обращается в нуль:

.

Разберемся со вторым слагаемым:

.

Пусть для простоты начало координат лежит внутри контура, а оси (,) - в плоскости контура, т.е.

и;

.

Понятно, что “перекрестные” члены скалярного произведения ортогональных векторов обращаются в нуль, а лежащий в плоскости контура вектор

,

тогда

,

Считаем отдельно:

;

В первом интеграле знак “ – ” обусловлен тем, что там, где.площадь контура, причем индексподчеркивает тот факт, что плоскость контура перпендикулярна оси.

Итак, для компонент векторного потенциала имеем

В общем случае для векторного потенциала малого витка с током можно записать

, (в СИ:)

где мы ввели магнитный моментвитка с током:

. (в СИ:)

Заметим, что уравнение для векторного потенциала витка с током можно получить прямо из выражения ,

если воспользоваться известным векторным тождеством для произвольного вектора , проводя интегрирование по контуру площадью:

.

Отсюда сразу получаем

.

Сосчитаем теперь магнитное поле витка с током:

.

Первое слагаемое равно нулю, т.к., как было показано в электростатике, .

Напомним

.

Для второго слагаемого, определяющего поле витка, получаем

.

Итак, выражение, описывающее магнитное поле , созданное витком с током, по форме в точности совпадает с выражением для напряженности электрического поляэлектрического диполя:

.