3. Квантовый эффект Холла.

В 1980 г. впервые было экспериментально обнаружено (), что полевые зависимости компонент проводимости двумерного электронного газа кардинально отличаются от предсказаний классической теории

(В классической теории рассматривается идеальный двумерный газ с непрерывным энергетическим спектром – отсутствие квантования).

Если носители заряда в одном из пространственных направлений локализованы в области, характеризуемой размерами порядка де-бройлевской длины волны, то электронные свойства такой системы подвергаются кардинальной перестройке. Такие системы называются квантово-размерными. Электрон, заключенный в ограниченной пространственной области, уже не может покинуть её только за счет ресурса своей тепловой энергии, т.е. оказывается в потенциальной яме, характеризуемой работой выхода и шириной . Здесь вступают в силу законы квантовой физики, и происходит изменение фундаментальной характеристики электронной системы – её энергетического спектра. Спектр вдоль одной из координат – в нашем случае, в направлении внешнего магнитного поля – становится дискретным. Согласно законам квантовой физики, энергия электронов в такой яме квантуется, т.е. может принимать лишь некоторые дискретные значения .

В этом случае “обычная” (диссипативная) проводимость в отдельных точках, при определенных значения магнитного поля, должна обращаться в нуль. Действительно, если плоскость полностью заселена электронами, то она не участвует в проводимости

Однако эксперимент дал еще более удивительные результаты. Оказалось, что “обычная” (диссипативная) проводимость , действительно, обращается в нуль, но не в отдельных точках, а в целых интервалах магнитных полей, зачастую достаточно широких.

Еще более поразительным было поведение величины , которая в тех же интервалах полей сохраняла постоянное значение, равное , (1, 2, 3,…).

Другими словами, холловская проводимость двумерной

системы не зависела ни от параметров образца, ни от

магнитного поля, ни от температуры, а определялась

только значениями фундаментальных физических

констант и .

Открытое явление получило название квантовый

эффект Холла,

Необходимо заметить, что наблюдать исчезновение и можно не только при изменении магнитного поля, но и изменяя концентрацию носителей.

Итак, скачок проводимости (квант проводимости)

составляет , причем точность определения

высоты ступенек (кратность значениям )

с

«классика»

оставляет знаков.

Сопротивление от ступеньки равно:

Ом.

Т.о., открытие квантового эффекта Холла позволило создать эталон сопротивления, за что в 1985 г. К. фон Клитцингу была присуждена Нобелевская премия.

Попытаем теперь на «полуклассическом языке» рассмотреть вопрос о физической природе квантового эффекта Холла.

,

Если ток через образец не течет, то электрон движется под действием силы Лоренца

по окружности радиусом .

Если в образце течет ток, то электрон, помимо вращательного движения, совершает еще и поступательное. Поэтому эффект Холла можно представить как дрейф вращающихся электронов. Согласно представлениям квантовой физики электронные орбиты квантуются, т.е. длина окружности, которую описывает электрон проводимости в магнитном поле, должна быть кратной соответствующей длине волны де-Бройля:

,

где - импульс электрона.

Используя это условие, мы можем найти возможные значения радиусов орбит электронов и, соответственно, их площади.

.

В двумерном случае площадь «кружка» есть фазовый объем, «принадлежащий» одному электрону. Поскольку электрон – фермион, а спины всех электронов сориентированы магнитным полем параллельно друг другу, то, согласно принципу Паули, эти кружки не могут пересекаться. Тогда плотность электронов на плоскости составляет

, (,

при условии, что кружки заполняют всю плоскость. Такие плоскости называются плоскостями Ландау.

Для одной плоскости

.

Над одной плоскостью, заполненной электронами, можно разместить еще одну такую плоскость и т.д., пока мы укладываемся в заданный размер мкм.

Тогда можем записать

,

где - число плоскостей Ландау.

Если плоскость полностью заселена электронами, то она не участвует в проводимости:

При изменении магнитного поля изменяются радиусы электронных орбит и, соответственно, связанные с ними двумерные фазовые объемы. Эти изменения происходят не плавно (непрерывно), а в соответствии с условиями квантования. Тогда «понижение» холловской проводимости на одну ступеньку при увеличении внешнего магнитного поля можно связать с «опустошением» верхней из заселенных плоскостей Ландау, происходящим из-за перехода электронов на образовавшиеся в результате «сжатия» фазовых объемов электронов вакантные места на нижележащей плоскости Ландау. Аналогичная картина будет наблюдаться и при уменьшении концентрации электронов. При этом диссипативная проводимость становится отличной от нуля. При уменьшении поля или повышении концентрации наблюдается обратная картина. Электроны, фазовые объемы которых увеличиваются (число которых растет) уже не могут разместиться на прежнем числе плоскостей. Поэтому начинает заселяться вышележащая плоскость Ландау, что приводит к увеличению компоненты проводимости на единицу . Если вышележащие уровни (плоскости) Ландау не полностью заселены электронами, то при изменении магнитного поля имеется возможность перехода на уровень следующего плато.

С электроном, движущимся в магнитном поле по орбите радиуса , связан магнитный поток

,

т.е. магнитный поток квантуется.

При Гс ^. см ² – квант магнитного потока.