15.07.19 Цифровые модулирующие сигналы 29 (29)

2. Цифровые модулирующие сигналы

В соответствии с общей функциональной схемой радиоканала (рис.1.3), baseband процессор формирует цифровое сообщение, предназначенное для передачи по радиоканалу. Это цифровое сообщение включает в себя собственное передаваемую информацию, служебную информацию, тактовые синхроимпульсы, тестовые и установочные последовательности и т.п.

На выходе baseband процессора цифровое сообщение преобразуется, в общем случае, в многоуровневый цифровой модулирующий сигнал. Существует значительное количество различных типов цифровых сигналов, на которые может быть отображено данное цифровое сообщение. Основное различие между цифровыми сигналами заключается в распределении спектральной плотности мощности, а выбор того или иного типа цифрового сигнала определяется заданной шириной частот радиоканала, типом модуляции, способом реализации модулятора передатчика и демодулятора приемника.

Цифровой сигнал проходит формирующий фильтр, предназначенный для ограничения ширина спектра частот, и затем поступает на модулятор передатчика. Выбор частотной характеристики формирующего фильтра определяется допустим уровнем межсимвольных искажений и заданной полосой частот радиоканала.

В настоящем разделе рассматриваются свойства модулирующих сигналов и формирующих фильтров, а именно:

• общее определение модулирующих сигналов во временной и частотной областях

• виды и основные параметры цифровых модулирующих сигналов

• распределение спектральной плотности мощности для основных типов модулирующих сигналов

• межсимвольная интерференция как результат прохождения цифрового сигнала через линейные устройства с ограниченной полосой пропускания; критерий Найквиста

• основные типы формирующих фильтров: фильтры Найквиста, фильтр «приподнятый косинус», фильтр Гаусса, каузальные и некаузальные фильтры

1. Представление цифрового сигнала во временной и частотной областях

Назовем цифровым сообщением последовательность , состоящую из N символов, каждый из которых может принимать M различных значений и содержать бит информации. Например, бинарная последовательность (М=2) включает в себя символы 0 и 1, каждый из которых содержит 1 бит информации. Более сложная последовательность (М=4) включает с себя четыре различных символа (a,b,c,d), каждый из которых содержит 2 бита информации.

Назовем цифровым сигналом физически реализуемую функцию времени, состоящую из N импульсов, каждый из которых имеет длительность и амплитуду, принимающую одно из M возможных значений.

Формально во временной области цифровой сигнал представляется в следующем виде:

2.1

Амплитуды импульсов могут принимать два значения (для бинарного сигнала) или несколько различных значений (для многоуровневого сигнала). Следует ясно понимать, что соответствие между символами информационной последовательности и амплитудой импульсов цифрового сигнала устанавливается отдельным правилом и не следует автоматически из уравнения 2.1.

Синтезированная baseband процессором форма импульса может быть не только прямоугольной, но иметь форму отрезка косинусоиды, кривой Гаусса и т.д. Важно и существенно, что каждый импульс в цифровом сигнале соответствует передаваемому символу цифрового сообщения, принимает строго ограниченные значения и определен на ограниченном интервале времени. Примеры цифровых сигналов показаны на рис.2.1.

t

t

0 T 2T 3T 4T 5T 6T

Рис.2.1. Временное представление цифровых сигналов

На верхнем графике показан четырехуровневый полярный сигнал (М=4), передающий сообщение размерностью N=6 с помощью импульсов прямоугольной формы и амплитудами .

На нижнем графике показан бинарный униполярный сигнал (М=2), передающий цифровое сообщение размерностью 6 с помощью импульсов косинусоидальной формы и амплитудами 0 и 1.

В частотной области цифровые сигналы определяются как baseband сигналы. Baseband сигналом называется сигнал, частотный спектр которого расположен в непосредственной близости от нулевой частоты и симметрично относительно нулевой частоты (является четной функцией частоты):

2.2

Графическое представление двух возможных спектров baseband сигнала показано на рис.2.2. Конкретно абсолютная величина спектра сигнала В не определяется и может быть различна даже для одного и того же сигнала и зависит от вида анализа: энергетический, информационный, спектральный и т.п. Спектр baseband сигнала может содержать (сплошная линия рис.2.2) или не содержать постоянной составляющей (пунктирная линия рис.2.2).

A

f

- F_m 0 + F_m

Рис.2.2. Спектры baseband сигнала

Важно отметить. что спектр сигнала определен как в положительной, так и отрицательной областях. Существуют различные точки зрения на реальность отрицательных частот и правомочность их использования при анализе. Здесь и в дальнейшем предполагается, что частотный спектр бесконечен в обе стороны частотной оси (от минус до плюс бесконечности). Аргументами в пользу такого решения являются:

• преобразование Фурье от временной последовательности (вычисление спектра сигнала) приводит к появлению отрицательных частот и нет видимых причин исключать эти частоты

• при амплитудной или фазовой модуляции ширина спектра модулированного сигнала равна 2* F_m . Другими словами, на высокую частоту переносится весь спектр baseband сигнала от – F_m до + F_m, а не только его положительная половина. Если вернуться к рис.2.2, то вместо частоты 0 для, например, АМ сигнала, можно просто подставить значение несущей частоты и мы получим правильный спектр модулированного сигнала.

Очевидно, что определение цифровых сигналов во временной области как последовательности импульсов ограниченной длительности и частотное определение цифровых сигналов как baseband сигналов, имеющих ограниченный спектр, противоречиво. Физически реализуемы только функции, ограниченные во времени и неограниченные по частоте или ограниченные по частоте и неограниченные во времени. Математическим отражением этого постулата является преобразование Фурье, связывающее частотное и временное представление функции. Прямое преобразование Фурье от импульса ограниченной длительности приводит к неограниченному спектру, а обратное преобразование Фурье от ограниченного спектра приводит к неограниченному во времени сигналу.

Разумеется, реально сигнал ограничен и по ширине спектра, и по длительности. Наблюдая сигнал во временной области (на осциллографе) всегда предполагается, что спектр сигнала ограничен и меньше, чем полоса пропускания осциллографа, в противном случае неизбежны искажения временной формы сигнала в осциллографе. И наоборот, наблюдая спектр сигнала в частотной области (на анализаторе спектра), всегда предполагается ограниченность сигнала во времени, в противном случае наблюдаемый спектр будет соответствовать только некоторой части сигнала.

Противоречивость одновременной ограниченности сигнала по частоте и длительности есть, прежде всего, отражение идеализированной модели для анализа (преобразование Фурье). Но в то же время рассмотрение одного и того же сигнала как сигнала «в основном ограниченного во времени» или как сигнала, «в основном ограниченного по частоте» позволяет наиболее полно я точно анализировать различные характеристики сигнала.

Цифровой сигнал непосредственно на выходе baseband процессора рассматривается как сигнал с ограниченными во времени импульсами и неограниченным частотным спектром.

Выбор временной формы анализа оправдан тем, что ограниченность во времени импульсов в цифровом сигнале есть естественное следствие принципов работы цифрового процессора. Основные параметры сигнала также наиболее просто описываются во временной области: тактовая частота, скорость передачи информации, амплитуда импульса и т.д.

В то же время ширина спектра сигнала на выходе baseband процессора определяется формой импульса и максимальной рабочей частотой процессора. Чем более крутые фронты имеет импульс информационной последовательности, (т.е. чем ближе форма импульса к прямоугольной), тем медленнее убывает амплитуда гармоник в спектре сигнала. Чем более высокочастотный процессор используется, тем более высокие гармоники будут присутствовать в спектре сигнала. При этом интуитивно совершенно понятно, что информационная емкость цифрового сигнала никак не зависит от крутизны фронтов импульса в сигнале или быстродействии процессора. Один и тот же цифровой сигнал с импульсами практически прямоугольной формы и сигнал с импульсами сглаженной формы имеет одну и ту же информационную емкость. Точно также быстродействие процессора никак не влияет на скорость передачи информации постольку, поскольку длительность импульса в сигнале остается постоянной.

Можно утверждать, что спектральный состав цифрового сигнала с импульсами ограниченной длительности, который имеет место на выходе baseband процессора, не информативен и никак не определяет характеристики сигнала.

С другой стороны очевидно, что любой передаваемый по радиоканалу сигнал должен обладать строго ограниченной полосой частот. Это необходимо хотя бы потому, что для каждого радиоканала выделяется в эфире строго ограниченная полоса частот. Именно поэтому цифровая последовательность, сформированная baseband процессором, обязательно проходит через формирующий фильтр (baseband фильтр, фильтр обкатки). Этот фильтр ограничивает полосу частот сигнала (рис.2.2) до приемлемого уровня.

Вопрос о том, до какой степени можно ограничить спектр цифрового сигнала, определяется теоремой Найквиста, которая рассматривается ниже. В данном случае важно, что вследствие ограниченности спектра сигнала на выходе фильтра, импульсы в сигнале, в соответствии с преобразованием Фурье, становятся неограниченными во времени. Импульсы «расплываются», занимая всю временную ось. Амплитуда сигнала в каждой временной точке зависит от всей совокупности импульсов в цифровой последовательности.

При «правильном» ограничении спектра сигнала не происходит искажений информации, т.е. его информационные свойства, определенные как свойства сигнала с неограниченным спектром и ограниченными по длительности импульсами, остаются теми же самыми. Но при дальнейшем анализе прохождения сигнала по радио каналу он уже рассматривается как сигнал с ограниченным спектром. Его спектральный состав (скорость убывания гармоник, ширина спектра) принципиально важен при анализе работы модулятора, детектора, высокочастотных фильтров радиоканала.

Из сказанного выше следует, что временная форма цифрового сигнала может быть очень различной и никак не является существенным признаком, принципиально влияющим на характеристики цифрового сигнала или отличающим цифровой сигнал от аналогового. Точно также спектр цифрового сигнала, в отличие от спектра аналогового сигнала, может в значительной степени изменяться без искажения или уменьшения передаваемой информации. Принципиальное отличие цифрового сигнала от аналогового и его основное свойство заключается в следующем: цифровой сигнал может принимать ограниченное число значений в точках отсчета, а количество точек отсчета не зависит от ширины спектра сигнала (при постоянной скорости передачи информации).

Действительно, цифровой сигнал определяется в N временных точках, количество которых очевидно:

2 .3

Каждый передаваемый символ может принимать строго ограниченное количество значений; количество отсчетов не зависит от верхней частоты в спектре сигнала.

С другой стороны, согласно теореме отсчетов, аналоговый сигнал полностью определяется своими значениями в N временных точках:

2.4

Величина огибающей сигнала между выбранными временными точками не информативна, т.к. может быть полностью восстановлена из сделанной дискретной выборки. Амплитуда сигнала в точках отсчета может принимать любые значения и каждое значение является информативным. С увеличением полосы частот, занимаемой сигналом, растет его информационная емкость, одновременно усложняется и форма сигнала.

2. Виды и основные параметры цифровых сигналов

Бинарный сигнал с прямоугольными импульсами, генерируемый baseband процессором, представляет собой простейший вид модулирующего сигнала. Практически такой сигнал находит очень ограниченное применение.

Это связано, прежде всего, с характером распределения мощности в спектре сигнала. Ранее уже отмечалось, что резкие изломы огибающей импульса приводят к тому, что спектр мощности сигнала содержит значительное количество гармоник высокого порядка, амплитуда которых медленно убывает с ростом частоты. Уменьшение ширины спектра модулирующего сигнала может быть достигнуто путем использования:

• сигналов с синтезированной формой импульса

• формирующего фильтра

• многоуровневых сигналов

1. Виды цифровых сигналов

В сигналах с синтезированной формой импульса каждый отдельный импульс имеет не прямоугольную, а иную, более гладкую форму. Так, например, при частотной модуляции типа MSK модулирующий сигнал представляет собой последовательность импульсов, каждый из которых имеет вид отрезка косинусоиды:

2.5

Спектральный состав одиночного импульса с косинусоидальной формой определяется преобразованием Фурье от 2.5:

2.6.a

Для сравнения спектральное представление одиночного импульса прямоугольной формы той же самой длительности имеет вид:

2.6.b

Из выражений 2.6.a и 2.6.b следует, что амплитуда гармоник уменьшается пропорционально первой степени частоты для прямоугольного импульса и пропорционально квадрату частоты для косинусоидального импульса.

Кроме косинусоидального, реально используются также импульсы с гауссовской огибающей или огибающей типа .

Подчеркнем еще раз, что основной признак сигналов с синтезированной формой импульса – ограниченность временного интервала , на котором определен импульс и неограниченная частотная характеристика импульса, а, следовательно, и всего цифрового сигнала.

Цифровые сигналы со сглаженной формой импульсов получаются после прохождения цифрового сигнала с прямоугольной формой импульсов через сглаживающий ФНЧ (фильтр обкатки). Сигналы со сглаженной формой импульсов принципиально отличается от сигналов с синтезированной формой импульсов. Это отличие заключается в том, что сигналы со сглаженной формой импульсов имеют ограниченный частотный спектр, а длительность импульса не ограниченна. Покажем это на примере прохождения одиночного прямоугольного импульса через узкополосный ФНЧ с идеальной частотной характеристикой. Сигнал на выходе ФНЧ определяется интегралом свертки входного воздействия и импульсной характеристики ФНЧ:

2.7.а

Если входное воздействие достаточно короткое (длительность входного импульса , где полоса пропускания ФНЧ), то результат интегрирования будет близок к результату воздействию -функции на идеальный ФНЧ:

2.7.в

Теоретически неограниченность во времени импульса цифрового сигнала является прямым следствием ограниченности его спектра. Возникающие при этом проблемы взаимного влияния обкатанных импульсов друг на друга будут рассмотрены ниже в разделе, посвященном межсимвольной интерференции. Практически же длительность импульса и после фильтра обкатки предполагается ограниченной и равной расстоянию до первого нулю в спектральном разложении 2.7.а, а именно .

Многоуровневый сигнал характеризуется тем, что амплитуда импульсов в (2.1) может принимать более чем два различных значения.

Многоуровневая цифровая последовательность всегда может быть получена из исходного бинарного кода путем объединения двух или более бинарных значений в один символ. При этом каждый передаваемый символ цифрового сообщения содержит m бит информации и принимает M=2^m различных значений. Столько же различных значений принимает и амплитуда соответствующего цифрового сигнала.

В качестве примера предположим, что передается 8-ми позиционная бинарная последовательность 01001110 и соответствующей ей бинарный цифровой сигнал с амплитудами импульсов, равными –1 или +1. Этот сигнал может быть представлен также в виде четырехуровневого сигнала в соответствии с таблицей 1.

Таблица 2.1. Соответствие цифровых символов и амплитуды импульсов

Передаваемый цифровой символ	Амплитуда импульса четырехпозиционного сигнала
11	+3
10	+1
00	-1
01	-3

Соответственно, исходный бинарный сигнал преобразуется в четырехуровневый со значениями амплитуд импульсов цифрового сигнала .

Изменения величины импульсов в четырехуровневом сигнале происходит в 2 раза реже, чем в бинарном сигнале, т.е. длительность символьного интервала стала в два раза больше. Согласно формуле 2.6.b, расстояние между нулевой частотой и первым нулем в распределении спектра также уменьшится в два раза. Следовательно, применение многоуровневых сигналов позволяет уменьшить занимаемую полосу частот по сравнению с бинарными сигналами вне зависимости от формы импульса в цифровой последовательности.

2.2.2 Параметры цифровых сигналов

Скорость передачи символов D обратно пропорциональна длительности передаваемого символа:

2.8

Скорость передачи информации R пропорциональна количеству информации в передаваемом символе и обратно пропорциональна длительности символа:

2.9

Для бинарного сигнала количество уровней M=2, количество бит информации в символе m = log₂M = 1. Символьная скорость и скорость передачи информации совпадают, также совпадают символьный и битовый временные интервалы:

2.10

Для четырехуровневого сигнала М=4, количество бит информации в символе m = 2. Скорость передачи символов D в два раза меньше, чем битовая скорость передачи информации R.

Полоса частот В, занимаемая цифровым baseband сигналом, оценивается из уравнения

2.11

Отметим, что полоса частот, занимаемая цифровым сигналом, зависит от скорости передачи символов, но не от скорости передачи информации. Это подтверждает сделанное ранее утверждение, что четырехуровневый сигнал занимает вдвое меньшую полосу частот по сравнению с бинарным сигналом при одном и том же количестве передаваемой информации.

Средняя энергия E, передаваемая одним импульсом цифрового сигнала, определяется из уравнения:

2.12

Спектральная плотность мощности PSD является одной из основных характеристик сигнала. Эта характеристика показывает распределение мощности в спектре сигнала или шума. Важно, что спектральная плотность мощности характеризует как периодические процессы, так и непериодические или случайные процессы. Так, например, этой функцией описывается спектральная характеристика шума или псевдослучайной цифровой последовательности.

Предположим, что некоторая функция времени (ток или напряжение) существует на ограниченном временном интервале:

2.13

Средняя нормализованная (на 1 Ом нагрузки) мощность по определению равна:

2.14

В соответствии с теоремой Парсеваля

2.15

интеграл по времени можно заменить интегралом по частоте

2.16

Выражение под интегралом есть спектральная плотность мощности, имеющая размерность Вт/Гц:

2.17

Автокорреляционная функция равна, по определению,

2.18

Видно, что выражение для автокорреляционной функции практически совпадает для выражения средней нормализованной мощности 2.16. Легко показать, что справедливо соотношение:

2.19

Другими словами, спектральная плотность мощности есть преобразование Фурье от автокорреляционной функции, а средняя нормализованная мощность есть значение автокорреляционной функции в нуле:.

3. Спектральная плотность мощности бинарных цифровых сигналов

Бинарные цифровые сигналы являются самым распространенным видом цифровых сигналов. Существует очень большое количество различных видов цифровых сигналов, отличающихся спектральным составом, формой импульсов и т.д. Далее подробно рассмотрим самые распространенные из них, а именно:

• униполярный NRZ (Non Return Zero) сигнал

• полярный NRZ сигнал

• униполярный RZ (Return Zero) сигнал

• сигнал «Манчестер».

В качестве примера показана передача цифрового сообщения 1101001 с помощью каждого из 4-х сигналов.

• Униполярный NRZ сигнал. При положительной логике передаваемая информационная единица представляется положительным уровнем +А, передаваемый информационный ноль представляется нулевым уровнем.

V

t

Рис.2.3. Униполярный сигнал

• Полярный NRZ сигнал. Передаваемые информационные единица и ноль представляются положительным +А и отрицательным –А уровнями импульса, соответственно (рис.2.4).

V

t

Рис.2.4. Полярный сигнал

• Униполярный RZ сигнал. Передаваемая информационная единица представляется импульсом, первая половина которого имеет положительный уровень +А, вторая половина имеет нулевой уровень; передаваемый информационный ноль представляется нулевым уровнем (рис.2.5).

V

t

Рис.2.5 Униполярный RZ сигнал

• Сигнал «Манчестер». Передаваемая информационная единица представляется импульсом, первая половина которого имеет положительный уровень +А, вторая половина имеет отрицательный уровень –А; передаваемый информационный ноль представляется импульсом, первая половина которого имеет отрицательный уровень –А, вторая половина имеет положительный уровень +А (рис.2.6).

V

t

Рис.2.6. Временная форма кода «Манчестер»

Расчет спектральных характеристик цифрового сигнала в baseband диапазоне имеет некоторую особенность. Дело в том, что цифровой baseband сигнал не является ни периодическим, ни непериодическим сигналом. При достаточной длине цифровой информационной последовательности ее следует рассматривать как псевдослучайную.

Без вывода в дальнейшем используем важную формулу, определяющую спектральную плотность мощности (PSD) псевдослучайного бинарного цифрового сигнала:

2.20

Покажем применение этой формулы на примере расчета спектральной плотности мощности для различного вида модулирующих сигналов.

2.3.1 Спектральная плотность мощности униполярного сигнала

Предполагается, что все значения символов в передаваемом сообщении появляются независимо и случайным образом.

Для в (2.20) возможно всего два варианта: А*А и 0*0. Для псевдослучайной последовательности оба эти варианта равновероятны и, следовательно, p=1/2. В результате получим:

2.21

Для в 2.19 возможны четыре различных варианта сочетаний передаваемых символов: А*А, А*0, 0*А, 0*0. Вероятность появления каждого сочетания, очевидно, равна ¼. Таким образом, получим:

2.22

Преобразование Фурье от прямоугольного импульса равно, очевидно:

2.23

Подставляя 2.21, 2.22, 2.23 в 2.20, получим:

2.24

Учитывая, что:

2.25

Окончательно получим:

2.26

Наличие -функции в 2.26 означает, что величина постоянной составляющей в спектре униполярного сигнала определяется внешними воздействиями или цепями по постоянному току. Зависимость нормализованной спектральной плотности мощности при нормировке на энергию одного бита от относительной частоты показана на рис.2.7.

Рис. 2.7. Спектральная плотность мощности полярного, униполярного,

униполярного RZ и «Манчестер» сигналов

2. Спектральная плотность мощности полярного сигнала

Автокорреляционная функция последовательности данных для полярного сигнала определяется следующим образом:

2.27

Используя уже вычисленное преобразование Фурье для прямоугольного импульса, получим искомую спектральную плотность мощности:

2.28

Спектр полярного сигнала имеет большую амплитуду по сравнению с униполярным, а -функция отсутствует. Графически спектр полярного сигнала показан на рис.2.7.

2. Спектральная плотность мощности униполярного RZ сигнала.

Автокорреляционная функция последовательности данных для этого сигнала совпадает с соответствующей функцией NRZ униполярного сигнала. Преобразование Фурье от прямоугольного импульса совпадает с вычисленным ранее с точностью до коэффициента ½ при длительности символа T_b:

2.29

Используя уже вычисленную автокорреляционную функцию для NRZ сигнала, получим выражение для спектральной плотности мощности:

2.30

Спектр униполярного RZ сигнала и содержит -функции на нулевой частоте и всех частотах, кратных скорости передачи информации R.

2. Спектральная плотность мощности сигнала «Манчестер»

Преобразование Фурье от формы сигнала «Манчестер» определяется по формуле:

2.31

Автокорреляционная функция для этого сигнала определяется только величиной R(0)=A*A; составляющая R(k)=0, как и для любого симметричного биполярного сигнала. Результирующая спектральная плотность мощности определяется по формуле:

2.32

Характерной особенностью кода (рис.2.7) является отсутствие постоянной составляющей в спектре сигнала.

2. Спектральная плотность мощности многоуровневых сигналов

Как было показано ранее, применение многоуровневых сигналов позволяет уменьшить занимаемую полосу частот. Математически это, очевидно, следует из формул, описывающих спектральную плотность мощности. При переходе к многоуровневым сигналам длительность бинарного символа T_b (и, соответственно, битовая скорость передачи R=1/T_b) заменяется длительностью символа T_s (и, соответственно, скоростью передачи символов D=1/T_s=R/m). Соответственно, сдвигается и первый нуль в зависимости спектральной мощности от частоты: .

Величина m определяется количеством бит информации, содержащихся в передаваемом символе).

В качестве примера рассмотрим M=8 уровневый сигнал, каждый символ которого содержит m=3 бита информации:

Предположим, что полярный сигнал имеет уровни +7, +5, +3, +1, -1, -3, -5, -7. Такой сигнал автоматически обеспечивает нулевое значение автокорреляционной функции R(k):

Автокорреляционная функция R(0)=21 для выбранных значений уровней сигналов. Производя замену в формуле PSD для биполярного NRZ сигнала T_s=3*T_b, получим:

2.33

Графически зависимость 2.33 показана на рис. 2.8.

Рис.2.8. Спектральная плотность мощности полярного

8-ми уровневого сигнала

Как видно из рисунка, первый ноль спектральной плотности мощности расположен в точке f=R/3, в то время как для униполярного и полярного сигналов этот ноль расположен в точке f=R, а для униполярного RZ и «Манчестер» в точке f=2*R.

Многоуровневый сигнал имеет максимальную спектральную эффективность, равную, очевидно, отношению битовой скорости передачи информации к скорости передачи символов :

На основании временного и спектрального представления цифровых baseband сигналов можно сделать некоторые выводы относительно их свойств и области применения.

1. Самосинхронизация. Желательно, чтобы спектр сигнала содержал дискретные спектральные линии, позволяющие легко выделить тактовую частоту синхронизации. Униполярный RZ сигнал наиболее предпочтителен с этой точки зрения, т.к. содержит спектральную линию на частоте R=1/Tb.

2. Занимаемая полоса частот. Занимаемая полоса частот обычно оценивается по первому нулю в распределении спектральной плотности. В любом случае желательна минимальная занимаемая полоса частот. Наиболее экономичен с этой точки зрения униполярный NRZ сигнал.

3. Величина спектральной составляющей вблизи нулевой частоты. Очень часто при построении модуляторов или демодуляторов необходимость пропускать постоянную составляющую вызывает проблемы или делает невозможным оптимальную схемную конфигурацию. С этой точки зрения предпочтительно использовать в системах связи сигнал Manchester, в котором мощность в области нулевой частоты.

4. Спектральная эффективность. Спектральной эффективностью бинарного цифрового сигнала называется отношение , где R - скорость передачи информации, F_m - ширина полосы частот канала, определенная по первому нулю в распределении спектральной плотности мощности. В таблице 3.1 показана спектральная эффективность для анализируемых бинарных цифровых сигналов.

Таблица 2.2. Спектральная эффективность бинарных сигналов.

Код	Первый ноль спектральной плотности мощности	Спектральная эффективность
Униполярный NRZ	R	1
Полярный NRZ	R	1
Униполярный RZ	2*R	1/2
Манчестер NRZ	2*R	1/2
Многоуровневый NRZ	R/m	m>1

4. Условие неискаженного прохождения сигналов через линейные цепи и межсимвольная интерференция

Прежде чем рассматривать прохождение сигналов через частотно селективные устройства, определим основные понятия, касающиеся линейных систем вообще.

Устройство называется линейным, если справедлив принцип суперпозиции для входных и выходных сигналов. Другими словами, сумма сигналов на выходе устройства есть сумма тех же самых сигналов на выходе устройства, возможно, с другими фазами и амплитудами. Важно ясно понимать, что линейное устройство принципиально не генерирует новых спектральных составляющих. Спектр сигнала на выходе устройства может содержать только те гармоники, которые присутствуют в спектре входного сигнала за исключением, может быть, некоторого ограниченного числа гармоник.

И наоборот, если спектральный состав на выходе устройства содержит те, и только те гармоники, которые имеются на входе, то это устройство линейное.

То, что на некоторых частотах коэффициент передачи линейного устройства может быть равен нулю и, соответственно, отдельные составляющие входного спектра могут отсутствовать в выходном спектре, ничего не меняет. Главным критерием линейности устройства является отсутствие в выходном спектре новых составляющий, которых не было в спектре входного сигнала.

Линейное устройство с постоянными во времени параметрами полностью характеризуется своей частотной характеристикой в частотной области H(f) или импульсной характеристикой во временной области h(t), связанных между собой преобразованием Фурье. Обе эти характеристики определяются только параметрами линейной системы и не зависят от параметров входных и выходных сигналов.

Выходной сигнал линейного устройства во временной области определяется через интеграл свертки:

2.34

Спектр сигнала на выходе линейного устройства в частотной области определяется как произведение спектра входного сигнала на частотную характеристику линейной системы:

2.35

Спектральная плотность мощности сигнала на выходе линейного устройства равна произведению спектральной плотности мощности входного сигнала, умноженной на квадрат модуля передаточной характеристики устройства:

2.36

Условие прохождения сигнала через линейное устройство без искажений означает, очевидно, что выходной сигнал является точной копией входного сигнала, задержанной на некоторое время:

2.37

Уравнение во временной области 2.37 может быть представлено в частотной области, если произвести преобразование Фурье от обеих частей уравнения:

2.38

Из уравнения 2.38 следует, что передаточная характеристика неискажающего линейного устройства:

2.39

Таким образом, линейное устройство не искажает проходящий через него сигнал, если в полосе частот входного сигнала от 0 до F_m амплитудная характеристика устройства постоянная, а фазовая характеристика является линейной функцией частоты.

Совершенно ясно, что любое реальное физически реализуемое устройство в той или иной степени искажает проходящий сигнал, поскольку не может иметь идеальной амплитудной и частотной характеристики. Более того, ограничение спектра модулирующего сигнала является абсолютной необходимостью в любой системе связи. Невозможно работать в неограниченной неопределенной полосе частот, каждому каналу связи выделяется ограниченный частотный диапазон. Фильтр нижних частот, ограничивающий полосу частот модулирующего сигнала, называется сглаживающим фильтром или фильтром обкатки и является одним из самых существенных элементов радиосистемы.

С энергетической точки зрения спектр сигнала практически во всех случаях можно ограничить первым нулем в характеристике спектральной плотности мощности. В зависимости от типа сигнала в эту область попадает различная доля мощности, но, в любом случае, не менее 80%

.

Не менее важно определить допустимую границу ограничения спектра сигнала с информационной точки зрения. В самом деле, при ограничении спектра сигнала изменяется, очевидно, и форма сигнала. Следовательно, исходный информационный сигнал, представляющий собой последовательность ограниченных во времени импульсов, на выходе селективного устройства, ограничивающего полосу частот, представляет собой уже последовательность неограниченных во времени импульсов, частично накладывающихся друг на друга. Длительность импульса, определяемая как длительности символьного интервала, становится неограниченной. Каждый импульс теоретически существует бесконечное время и уж наверняка искажает форму соседних импульсов.

Явление искажения информации при ограничении спектра, заключающееся во взаимном влиянии импульсов цифрового сигнала, хорошо известно в радиотехнике и называется межсимвольной интерференцией.

Рассмотрим типичные примеры межсимвольной интерференции в частотно селективных цепях.

Предположим, что длинная последовательность единиц бинарного цифрового сигнала (длинный ряд импульсов с одинаковой амплитудой) проходит через устройство с ограниченной снизу полосой частот (фильтр высоких частот). На рис.2.9. в левой части показана исходная цифровая последовательность прямоугольных импульсов. На правой части рисунка показана эта же последовательность, прошедшая через фильтр высоких частот. Поскольку устройство не пропускает постоянную составляющую и близкие к ней частоты, то при достаточно длительной последовательности импульсов выходной сигнал не сможет оставаться постоянным и начнет уменьшаться. Следовательно, устройство последетекторного анализа через некоторое время примет решение, что информационная последовательность единиц сменилась последовательностью нулей.

A(t) A(t)

t t

Рис.2.9. Прохождение сигнала через линейное устройство с ограниченной

снизу полосой частот

Другой пример межсимвольной интерференции при ограничении спектра сигнала сверху (прохождение сигнала через фильтр низкой частоты) показан на рис.2.10.

A(t) A(t)

t t

Рис.2.10. Прохождение сигнала через линейное устройство с ограниченной

сверху полосой частот

На левой части рисунка показана исходная бинарная цифровая последовательность, содержащая два единичных импульса, разделенных нулевым импульсом. Из-за ограничения спектра сверху на выходе устройства нельзя получить крутых и резких фронтов, импульс как бы «расплывается», становиться колоколообразным. Вполне возможно, что в изображенной на правом рисунке ситуации устройство последетекторного анализа примет решение о приеме последовательности 111 вместо исходной последовательности 101.

4. Критерий Найквиста

Найквист первым исследовал проблему ограничения спектра и пришел к выводу (1928 год), что возможно определенным образом ограничить спектр сигнала и при этом избежать межсимвольной интерференции, т.е. не исказить информацию, заключенную в сигнале.

Повторим рассуждения Найквиста для последовательности прямоугольных импульсов, вообще говоря, многоуровневого сигнала.

Определим цифровой сигнал во временной области как обычно (2.1):

2.40

Исходный сигнал 2.40 имеет импульсы ограниченной длительности и занимает неограниченную полосу частот. Полагаем, что сигнал проходит некоторый фильтр с ограниченной полосой частот, так что каждый входной импульс сигнала после прохождения фильтра «расплывается», длительность импульса становится неограниченной. Сигнал на выходе фильтра равен, очевидно, интегралу свертки от входного воздействия на импульсную характеристику фильтра. В случае, если исходные импульсы сигнала очень короткие (длительность импульса много меньше обратной полосы пропускания фильтра), то интеграл свертки становится равным просто импульсной характеристике фильтра. Следовательно, последовательность импульсов на выходе будет равна сумме импульсных характеристик от каждого входного импульса:

2.41

В качестве примера на рис.2.11 показана типовая последовательность импульсов на выходе ФНЧ при прохождении цифрового сигнала 1101. Физически это означает появление на входе фильтра трех коротких импульсов в относительные моменты времени 0,1,3.

Рис.2.11. Сигнал на выходе фильтра для входного сигнала 1101

Определим значения выходного сигнала 2.41 в фиксированные моменты времени :

2.42

Как следует из уравнения 2.42 и рис.2.11, сигнал на выходе фильтра в некоторый выделенный момент времени равен значению импульсной характеристики текущего символа в данный момент времени и сумме значений импульсных характеристик в этот же момент времени от всех других импульсов цифрового сигнала. Очевидно, что первое слагаемое в 2.42 соответствует истинному значению передаваемого символа, а вся остальная сумма есть нежелательный вклад всех остальных импульсов в истинное значение сигнала в выделенный n-ый момент времени. Именно ненулевое значение суммы всех оставшихся импульсов и приводит к обсуждавшимся выше межсимвольным искажениям.

Из уравнения 2.42 также следует и условие неискаженной передачи символов при прохождении фильтра с ограниченной полосой. А именно: если импульсная характеристика фильтра будет иметь нулевые значения в моменты времени, равные , где n – целое число (для примера рис.2.11 это моменты времени 0.1.3), то суммарное влияние всех передаваемых символов в данный n-ый момент времени будет равно нулю и межсимвольные искажения будут отсутствовать.

Приведенные рассуждения легко распространить и на более общий случай для относительно длинного импульса непрямоугольной формы. В этом случае вместо простого произведения в 2.41 следует использовать полный интеграл свертки.

В общем случае критерий Найквиста формулируется следующим образом: межсимвольные искажения отсутствуют в передаваемом сообщении, если полная импульсная характеристика радиоканала h_e(t) удовлетворяет следующему условию:

2.43

Существуют различные виды импульсной характеристики, удовлетворяющие условию Найквиста. В частности, критерию Найквиста удовлетворяет функция:

2.44

Этой импульсной характеристике (рис.2.12) соответствует прямоугольная частотная характеристика с абсолютной полосой пропускания .

Рис.2.12. Простейшая импульсная характеристика Найквиста в зависимости от

нормализованного параметра

Следует ясно понимать, что импульсная характеристика, соответствующая критерию Найквиста, является общей характеристикой радиоканала, а не конкретного фильтра. Только в очень частном случае, когда частотная характеристика передатчика и среды распространения практически равномерны в очень широкой полосе частот, под h_e можно понимать характеристику фильтра приемника. Значительно чаще один и тот же фильтр устанавливаются в канал приемника и передатчика, так что частная характеристика каждого из них .

Если радиоканал имеет частотную характеристику, удовлетворяющую критерию Найквиста, это не означает, что ограничение спектра в радиоканале не приводит к искажению формы сигнала. Сохранение формы колебания при ограничении спектра этого колебания физически невозможно. Форма сигнала обязательно искажается и только в выбранных точках отсчета полностью совпадает с исходной.

Реально фильтр с импульсной характеристикой вида sin(x)/x находит ограниченное применение по следующим причинам:

• трудность реализации очень крутых фронтов частотной характеристики. Так или иначе, требуется некоторая разумная аппроксимация прямоугольных фронтов и желательно, чтобы эта новая частотная характеристики также удовлетворяла критерию Найквиста.

• Необходима очень тщательная синхронизация приемника с передатчиком, т.к. импульсная характеристика равна нулю точно в моменты времени t=T_s. Разумеется, никакая физически реализуемая характеристика не может быть тождественно равна нулю на ограниченном временном интервале, но только в конечном ( или счетном множестве) точек. Но поведении характеристики вблизи нуля существенно влияет на величину межсимвольной интерференции, возникающей вследствие не точного совпадения времени отсчетов с нулями импульсной характеристики. Точный анализ показывает, что чем больше крутизна характеристики вблизи нуля, тем меньше ISI. С этой точки зрения характеристика пита sin(x)/x наихудшая, т.к. имеет минимальную крутизну в нуле 1/t.

Найквист также исследовал эту проблему и определил, что фильтр с полосой частот также может удовлетворять критерию отсутствия межсимвольных искажений, если его частотная характеристика может быть представлена в виде:

2.45

Соответствующая импульсная характеристика фильтра имеет вид:

2.46

Наиболее распространенным фильтром с характеристикой Найквиста вида 2.45, 2.46 является фильтр типа приподнятый косинус, (raised cosine filter). Частотная и импульсная характеристики этого фильтра имеет следующий вид:

2.47

2.48

Параметр есть параметр «обкатки» или «сглаживания», который может принимать значения от 0 до 1. При фильтр имеет идеальную косинусную частотную характеристику. При увеличении косинус начинает «приподниматься», его вершина уплощается, уменьшается занимаемая полоса частот. При фильтр «приподнятый косинус» соответствует упомянутому ранее фильтру с идеализированной прямоугольной частотной характеристикой и минимальной шириной полосы частот.

Графики частотной и импульсной характеристик фильтра показаны на рис. 2.13, 2.14, соответственно.

Рис. 2.13. Частотная характеристика косинусного фильтра

Рис. 2.14. Импульсная характеристика косинусного фильтра