6. Вычисление функции ber для модулированных сигналов

Приведенные выше примеры расчета функции BER относятся к импульсам на входе фильтра (на выходе когерентного детектора). Полученная на выходе детектора импульсная последовательность (детектированный сигнал) совпадает с точностью до шумов радиоканала с цифровым модулирующим сигналом в передатчике. Очевидно, что одна и та же детектированная импульсная последовательность может соответствовать модулированным сигналам различного вида. Определение функций BER для различного вида модуляций возможно только с учетом работы когерентного детектора, который преобразует модулированный ВЧ сигнал в baseband диапазон.

1. Ошибка приема импульсно модулированного сигнала (РАМ)

Принимаемый высокочастотный импульсно модулированный сигнал на входе детектора можно представить в виде:

6.51

Разностная энергия передаваемых модулированных импульсов, в соответствии с общей формулой 6.41, равна:

6.52

Энергия на один бит информации в первом случае равна, очевидно, , а во втором случае равна .

Подставляя выражения для энергии разностного сигнала 6.52 в общую формулу для вероятности ошибок 6.42, получим:

6.53

Функция BER при использовании узкополосного ФНЧ определяется по расстоянию между символами в baseband диапазоне на выходе фильтра, которое примерно равно и расстоянию между символами на входе фильтра. Предполагается, что коэффициент передачи когерентного детектора равен 1, а собственные шумы равны нулю. Первое предположение означает, что энергия модулированного колебания на входе детектора совпадает с энергией импульса в baseband диапазоне. Следовательно, при равенстве битового интервала времени до и после детектора соотношение между амплитудами импульса до и после детектора будет определяться следующими очевидными соотношениями:

6.54

Соответственно, квадрат расстояния между символами в baseband диапазоне равен:

6.55

Подставляя выражения 6.55 в общую формулу BER для узкополосного ФНЧ 6.43 и учитывая, что спектральная плотность шума неизменна, получим:

6.56

2. Ошибка приема фазомодулированного сигнала (BPSK)

Бинарный фазомодулированный сигнал с амплитудами, равными -А или +А, можно представить в виде:

6.57

Разностная энергия передаваемых модулированных импульсов в соответствии с общей формулой 6.41, равна:

6.58

Энергия на один бит информации равна, очевидно, .

Подставляя выражения для энергии разностного сигнала 6.58 в общую формулу для вероятности ошибок 6.42, получим:

6.59

Амплитуда детектированного сигнала в baseband диапазоне, как и ранее, определяется из условия равенства энергии модулированного и baseband сигналов:

6.60

Квадрат расстояния между символами в baseband диапазоне равен:

6.61

Подставляя выражение 6.61 в общую формулу BER для узкополосного ФНЧ 6.43 и учитывая, что спектральная плотность шума неизменна, получим:

6.62

3. Ошибка приема частотно модулированного сигнала (МSK)

Предполагается, что для демодуляции бинарного частотно модулированного сигнала используется когерентный детектор. Символьные значения единица и ноль передаются сигналами различной частоты:

6.63

Энергия разностного сигнала определяется исходя из общей формулы 6.41. Учитывается также, что для сигнала MSK индекс модуляции равен ½. т.е. разность частот связана с длительностью символьного интервала :

6.64

В формуле 6.64 учтены только низкочастотные компоненты, т.к. ВЧ компоненты не дают реального вклада в энергию сигнала. Энергия на один бит равна, очевидно, . Подставляя выражение 6.64 в общее выражение для соотношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра 6.42, получим:

6.65

Формула 6.65 фактически определяет вероятность ошибочного приема символов частотно модулированного сигнала достаточно общего вида. В самом деле, при выводе 6.65 никак не учитывались свойства ортогональности сигналов MSK. Даже при вычислении интеграла 6.67 вместо предположения об ортогональности можно предположить, что частоты и удалены друг от друга на достаточно большое расстояние. При этом вклад интеграла от высокочастотной компоненты в общую энергию сигнала также будет нулевой. Реально дополнительный выигрыш в отношении сигнал/шум при использовании MSK модуляции получается только в baseband процессоре при восстановлении исходного сигнала из демодулированного.

Для определения соотношения сигнал/шум частотно модулированного сигнала при использовании низкочастотного фильтра предположение о типе демодулятора также имеет существенное значение. Предполагается, что частотная демодуляция осуществляется детектором, показанном на рис.6.8.

Согласованный фильтр или ФНЧ

+

-

Рис. 6.8. Синхронный детектор FSK сигнала

Предполагается, что низкочастотный фильтр, используемый в демодуляторе, имеют полосу пропускания, большую, чем полоса частота каждого сигнала, но меньшую, чем разнос частот и между сигналами. При этих условиях информационный сигнал и шум в общем канале является просто аддитивной суммой сигналов и шумов в каждом плече.

В результате перемножения на выходе каждого перемножителя имеет место сигнал в baseband диапазоне, равный

6.66

Компонента разностной частоты в 6.66 равна нулю при демодуляции MSK сигнала или подавляется в ФНЧ при демодуляции FSK сигнала с достаточно большим разносом частот и . Амплитуда демодулированного импульса, как и ранее, определяется из равенства энергии исходного и демодулированного импульса. Квадрат разности амплитуд на входе (выходе) ФНЧ равен, очевидно, .

Мощность шумов в полосе частот ФНЧ удваивается за счет параллельной работы двух каналов. В результате вероятность ошибочного приема MSK или широкополосного FSK сигнала равна:

6.67

4. Сравнение функций BER для сигналов различной модуляции

На рисунке 6.9 показаны зависимости функции ошибок для модуляции PAM, BPSK,MSK при использовании оптимального фильтра и ФНЧ (произведение ширины полосы фильтра на длительности импульса минимально возможное В*Т=2).

Сравнение функций ошибочного приема сигналов BER показывает, что фазовые методы модуляции имеют наименьшую ошибку по сравнению с амплитудным и частотным методами модуляции при приеме сигнала с заданным соотношением сигнал/шум. Или, другими словами, заданная вероятность приема при использовании фазовых методов модуляции достигается при меньшем соотношении сигнал/шум принимаемого сигнала.

Следует при этом учитывать, что полученные результаты подразумевают гауссовское распределение шума в радиоканале, что далеко не всегда справедливо. Очень часто в расчетах принимается релеевское распределение шума, которому соответствуют значительно более сложные формулы. Но и при таком распределении фазовые методы показывают лучшие результаты.

Сравнение результатов расчета BER для согласованного фильтра и низкочастотного фильтров значительно менее надежно. Реализация согласованного фильтра во многих случаях очень сложна и не оправдывает ожидаемое повышение сигнал/шум. Кроме того, при некогерентном детектировании разница между согласованным и низкочастотным фильтром еще более уменьшается.

Рис.6.8. Функция BER для PAM, BPSK, MSK модуляции для согласованного

фильтра (m) и ФНЧ(lpf).

Расчетные формулы для некогерентного детектирования по виду зависимости BER(S/N) очень похожи на зависимости рис.6.5, но в среднем показывают ухудшение соотношения сигнал/шум при заданном уровне ошибок примерно на 3 дБ. Однако эта оценка не включает в себя неизбежные потери детектирования за счет неточной синхронизации опорного сигнала и информационного. Поэтому реальная разница между достоверностью приема для когерентного и некогерентного детекторов не превышает 2 дБ, а для небольших соотношений сигнал/шум уменьшается еще больше.

При многопозиционной модуляции для расчета BER следует использовать общую формулу 6.39 и выражение для расстояния между символами. Так, например, расстояние между символами многопозиционного фазомодулированного сигнала равно:

6.68

При прямоугольных модулирующий импульсах формула для BSR при согласованной фильтрации 6.42 примет вид:

6.69

Аналогичные преобразования формул BER  могут быть сделаны и для других видов модуляции.