6.5 Достоверность приема бинарной цифровой информации в линейном приемнике в условиях белого гауссовского шума

Предполагается, что для детектирования принятого сигнала (рис.6.1) используется линейный приемник, т.е. приемник, содержащий когерентный детектор, без искажений переносящий спектр модулированного колебания в baseband диапазон. Шум в канале приемника является белым гауссовским шумом.

Фильтрация и формирование оптимальной полосы частот в baseband диапазоне осуществляется последетекторным фильтром, согласованным или идеальным ФНЧ.

Далее решающее устройство производит измерение амплитуды демодулированного цифрового сигнала в некоторый момент времени t_0, сравнение полученного значения с ожидаемыми значениями сигнала и принимает решение – какой именно из возможных сигналов принят.

Критерием достоверности принимаемого цифрового сигнала является вероятность Р ошибки приема бита информации (Bit Error Rate -BER), которая определяется как некоторая функция от отношения энергии сигнала, приходящейся на один бит информации к плотности мощности шума:

6.34

В соответствии со сделанными предположениями, передается бинарный цифровой сигнал, импульсы которого могут принимать одно из двух значений: или . Каждое из этих значений амплитуды импульса соответствует символу 0 или 1 в передаваемом цифровом сообщении. Длительность каждого импульса равна , спектральная плотность белого гауссовского шума равна .

Реальный принятый цифровой сигнал в baseband диапазоне после фильтрации может иметь форму импульсов или . Импульсы или можно рассматривать как идеальные, заранее известной формы. Отклонение формы реальных принятых импульсов от идеальных , обусловлено наличием шумов радиоканала . В фиксированные моменты времени , физически определенные как приход импульсов тактовой синхронизации, происходит сравнение амплитуды принятого импульса с ожидаемыми значениями , .

В принятой модели белого гауссовского шума со средним нулевым значением ожидаемая величина принимаемого импульса , будет является средним (или наиболее вероятным) значением принимаемого сигнала . Гауссовское распределение плотности вероятности правильного приема передаваемых импульсов , имеет вид:

6.35

Графическое изображение плотности вероятности правильного определения принятого сигнала для бинарной информационной последовательности, состоящей их нулей и единиц, показано на рис. 6.6. По горизонтальной оси отложено возможное значение амплитуды принятого сигнала , по вертикальной оси – вероятность появления этого значения.

Пороговое устройство (рис.6.1) в определенные моменты времени, заданные импульсами синхронизации, сравнивает сигнал на выходе фильтра с установленным пороговым значением V_T . Если амплитуда сигнала на выходе фильтра меньше V_T, принимается решение о приеме сигнала , в противном случае принимается решение о наличии сигнала .

V_T

Рис.6.6. Плотность вероятности правильного приема бинарного сигнала

Очевидно, что ошибка в приеме сигнала равна «хвосту» функции гауссовского распределения плотности вероятности правильного приема сигнала , который находится в области сигналов . Точно также ошибка приема сигнала равна «хвосту» функции гауссовского распределения плотности вероятности правильного приема сигнала , который находится в области . Полная ошибка приема сигнала равна:

6.36

После несложных преобразований выражение для BER приводится к стандартному виду:

6.37

Для минимизации величины BER порог выбирается посередине между ожидаемыми значениями принимаемого сигнала:

6.38

При таком выборе порога выражение для BER принимает вид:

6.39

Таким образом, вероятность ошибочного приема бинарного сигнала в белом гауссовском шуме зависит от расстояния между передаваемыми сигналами в baseband диапазоне и уровнем шума радиоканале.

Следует подчеркнуть, что расстояние между сигналами s₀₁ и s₀₂ в аргументе функции Q есть расстояние между сигналами на входе порогового устройства (рис.6.1), точно также, как и средняя мощность шума . Расстояние между символами в baseband диапазоне задано при модуляции и при когерентном детектировании не изменяется, также как не изменяется и спектральная плотность белого шума. Однако последетекторный фильтр может оптимизировать соотношение сигнал/шум, т.е. правильным выбором последетекторного фильтра можно добиться минимальной ошибки приема информации.

Согласованный фильтр, как было показано ранее, максимизирует соотношение сигнал/шум на выходе фильтра в условиях белого шума в выделенные моменты времени . При этом частотная характеристика фильтра зависит от формы импульсов принимаемого цифрового сигнала. В качестве примера ранее рассматривалась частотная характеристика согласованного фильтра для приема одиночного импульса. Очевидно, для приема бинарного сигнала. содержащего импульсы двух видов и , согласованный фильтр должен иметь частотную характеристику, согласованную с их разностью . Здесь, как и ранее, под , имеются ввиду идеальные, ожидаемые формы импульсом.

В соответствии с формулой 6.27, согласованный фильтр имеет на выходе максимально высокое отношение сигнал/шум, равное отношению энергии, в данном случае разностного сигнала, к спектральной плотности мощности шума:

6.40

Энергия разностного сигнала была определена при рассмотрении общих свойств модулированного сигнала как мера потенциальной различимости двух сигналов. В соответствии с (3.26), эта величина определяется через собственную и взаимную энергию двух сигналов

6.41

Подставляя 6.40 в 6.39, получим выражение для BER бинарного сигнала при белом гауссовском шуме в радиоканале и оптимальной фильтрации:

6.42

Только для согласованного фильтра BER зависит исключительно от энергии разностного сигнала на входе фильтра и спектральной плотности мощности белого гауссовского шума.

Реализация согласованного фильтра является не очень простой задачей. Во-первых, этот фильтр не всегда является каузальным, т.е. реализуемым в физическом виде. Но даже при цифровой фильтрации его реализация не очевидна, т.к. формы передаваемых импульсов в многопозиционных методах фильтрации с фильтрами обкатки достаточно сложны. Поэтому вместо согласованного фильтра очень часто используется фильтр низких частот. Преимущества использования ФНЧ очевидны. Во-первых, этот фильтр всегда можно реализовать как фильтр Найквиста. т.е. не вносить последетекторной фильтрацией дополнительных межсимвольных искажений. Во-вторых, при определенных условиях на выходе этого фильтра можно получить то же самое соотношение сигнал/шум, что и на выходе согласованного фильтра. Это определенно возможно при приеме одиночного прямоугольного импульса, возможно и в ряде других ситуаций, которые будут рассмотрены ниже.

Предположим, что фильтр низкой частоты имеет достаточно широкую полосу пропускания, так что форма сигнала на выходе фильтра почти совпадает с формой входного сигнала. Мощность шума на выходе ФНЧ равна, очевидно:

6.43

Подставляя 6.43 в 6.39, получим выражение BER при использовании фильтра низкой частоты:

6.44

Следует ясно понимать. что под расстоянием между сигналами в 6.43 понимается в строгом смысле расстояние между сигналами на входе фильтра. Однако при достаточно широкополосном ФНЧ искажения формы невелики и в дальнейшем предполагается. что в 6.44 можно использовать выражение для расстояния между сигналами на выходе фильтра. Ошибка в приеме сигнала при использовании ФНЧ зависит от расстояния между передаваемыми символами, спектральной плотности шума и полосы пропускания фильтра.

Пример 1. Для униполярного сигнала возможен прием двух видов импульсов на битовом интервале:

6.45

При использовании согласованного фильтра энергия разностного сигнала определяется уравнением 6.41, а функция BER уравнением 6.42 :

6.46

При использовании ФНЧ функция BER определяется уравнением 6.44 при непосредственной подстановке значений и из 6.45:

6.47

Энергия импульса с амплитудой А равна , энергия нулевого символа равна 0. Поскольку в бинарном сигнале каждый импульс передаем один бит информации, то средняя энергия на бит равна, очевидно, . С учетом этого выражения функции BER для согласованного и узкополосного фильтров могут быть записаны в классическом виде:

6.48

Пример 2. Для полярного сигнала возможен прием двух видов импульсов на битовом интервале:

6.49

Проводя вычисления аналогично предыдущему примеру и учитывая, что средняя энергия на бит для полярного сигнала равна , получим следующие выражения для функций BER при согласованной и узкополосной фильтрации:

6.50

На рисунке 6.7 показана зависимость функций BER ошибки приема бита информации для бинарного полярного и бинарного униполярного сигналов при использовании согласованного фильтра.

Как следует из рисунка 6.7, использование полярного модулирующего сигнала позволяет примерно на 3 дБ уменьшить требуемое соотношение сигнал/шум входного сигнала для получения одной и той же достоверности приема информации по сравнению с униполярным сигналом. Так, например, для достижения стандартной величины погрешности приема бита информации 0.01 необходимо соотношение сигнал/шум 4 дБ для полярного сигнала и 7 дБ для униполярного.

Рис.6.7. Функция BER для полярного (пунктирная линия) и униполярного (сплошная линия) сигналов