1. Критерий максимального правдоподобия

Рассматривается принятый сигнал на выходе линейной части приемника, т.е. сигнал, выделенный из общего радиоспектра, усиленный и перенесенный на промежуточную частоту. Определим, каким критериям должен удовлетворять детектор, обеспечивающий оптимальное выделение полезной информации из приятого сигнала.

Предполагается, что сигнал принимается на фоне внешнего белого гауссовского шума со средним нулевым значением. В результате наличия внешних шумов параметры принимаемого сигнала случайным образом отличаются от параметров передаваемого сигнала. Передаваемый и принимаемый сигналы могут быть представлены в следующем виде:

6.1

Формально фаза несущей частоты и временная задержка связаны между собой – произведение несущей частоты на временную задержку и есть фаза принимаемой несущей частоты. Однако реально фаза принимаемой несущей по отношению к опорному генератору гетеродина приемника не определяется только величиной задержки. Прежде всего, потому, что нестабильны частоты самих опорных генераторов передатчика и приемника, их взаимная фаза изменяется со временем даже при постоянной величине времени задержки .

Величина задержки сигнала имеет определяющее значение для тактовой синхронизации и допустимая величина погрешности измерения определяется по отношению к длительности информационного символа . Величина фазы гетеродина приемника определяется по отношению к несущей частоте, на много порядков превышающей тактовую частоту.

Для построения оптимального детектора существенно изменение ВЧ амплитуды сигнала и фазы ВЧ сигнала . Изменение двух этих параметров отображает как полезную амплитудную или угловую модуляцию, так и паразитную модуляцию, связанную с шумами или искажениями при распространении радиоволн. Предполагается, что параметры принимаемого ВЧ сигнала (амплитуда и фаза) являются неизвестными, но детерминированными непрерывными во времени параметрами.

Достоверность приема бинарного сигнала в условиях белого гауссовского шума определяется очевидной формулой:

6.2

Если принимаемый сигнал описывается N параметрами (или в N временных точках), то совместная плотность вероятности при приеме сигнала будет иметь вид:

6.3

Общепринято вместо отдельных параметров сигнала использовать его временную форму:

6.4

Экспоненциальный сомножитель в формуле 6.4 называется функцией правдоподобия:

6.5

Нулевое значение интеграла в показателе экспоненты будет соответствовать максимальной вероятности правильного приема сигнала, т.е. оптимальному приему сигнала.

Реально общая формула 6.5 упрощается, поскольку всегда длительность информационного символа несопоставима с периодом ВЧ колебания. Поэтому интегралы от квадрата принимаемого сигнала и передаваемого сигнала за время информационного импульса практически равны нулю и функция правдоподобия 6.5 принимает следующий вид:

6.6.a

или в логарифмическом виде:

6.6.b

Таким образом, оптимальный детектор должен аппаратно реализовывать максимальное значение функции правдоподобия 6.6.

2. Оптимальный детектор для сигналов с угловой модуляцией

Во всех без исключения мобильных системах связи используется только угловая модуляция несущей частоты (частотная или фазовая), амплитудная модуляция не используется. Поэтому далее рассматривается реализация оптимального детектора сигнала с угловой модуляцией на примере детектора бинарного фазомодулированного сигнала.

Предполагается, что в линейной части приемника осуществлено выделение принятого сигнала из общего радиоспектра, перенос сигнала на промежуточную частоту и ограничение его амплитуды. Постоянная величина амплитуды сигнала на выходе линейной части приемника существенно упрощает построение детектора и вполне допустима для модулированных сигналов, огибающая которых не информативна. Таких, например, как ЧМ сигналов или достаточно широкополосных ФМ сигналов.

Передаваемый сигнал (ожидаемый сигнал на входе детектора), очевидно, имеет вид:

6.7

Поскольку появление информационных символов 1,0 равновероятно, т.е. Р=1/2 для каждого символа, то средняя величина функции правдоподобия 6.6.a за интервал наблюдения будет равна сумме произведений функции правдоподобия принимаемого символа ( или ) на вероятность появления этого символа:

6.8

или в логарифмическом виде (6.6.b):

6.9

Экстремум функции правдоподобия при неопределенной фазе принимаемого сигнала определяется, очевидно, в точке равенства нулю первой производной:

6.10

Одним из вариантов аппаратурной реализации функции 6.10 является использование петли ФАПЧ. Такая схема, обеспечивающая оптимальное детектирование в смысле 6.10, называемая схемой Костаса и показана на рис.6.2. На вход схемы Костаса поступает фазомодулированный сигнал . С выхода ГУН на высокочастотные перемножители поступают опорные сигналы, сдвинутые относительно друг друга на 90 градусов:

6.11

Фильтры низкой частот, расположенные последовательно с каждым ВЧ перемножителем, выполняют функцию интеграторов. Следовательно, сигнал ошибки петли ФАПЧ на выходе низкочастотного перемножителя описывается уравнением:

6.12

Результирующий сигнал ошибки в замкнутой петли ФАПЧ в установившемся состоянии равен нулю, так что уравнение 6.12 совпадает с уравнением 6.10 при условии, что время установления петли ФАПЧ существенно меньше символьного интервала

Рис.6.2. Схема Костаса

Можно показать, что для многопозиционных фазомодулированных сигналов аппаратурная реализация функции правдоподобия также приводит к схеме Костаса. Поскольку и любой частотно модулированный сигнал может рассматриваться как сигнал с многопозиционной фазовой модуляцией, то схема рис.6.2 является общей функциональной схемой оптимального детектора для сигналов с угловой модуляцией.

Практическая реализация оптимального детектора рис.6.2 связана с решением двух проблем.

Во-первых, оптимальный прием сигналов с угловой модуляцией принципиально требует отсутствия амплитудной модуляции в принимаемом сигнале. Действительно, при наличии преднамеренной или паразитной АМ сигнал ошибки 6.12, изменяющий частоту ГУН, будет зависеть от амплитуды принимаемого сигнала . Другими словами, происходит переход амплитудной модуляции в частотную модуляцию.

В случае приема частотно модулированных сигналов для исключения паразитной частотной модуляции применяют схему усилителя – ограничителя на входе детектора. Однако в случае прима фазомодулированных сигналов применение усилителя – ограничителя практически невозможно, т.к. только цифровой модулирующий сигнал с прямоугольными импульсами имеет комплексную огибающую с постоянной амплитудой. Если же в передатчике применяется baseband сглаживающий фильтр, то фазомодулированный сигнал приобретает внутреннюю АМ, исключение которой в усилителе-ограничителе приведет к межсимвольной интерференции и искажению информации. Поэтому в оптимальном детекторе фазомодулированных сигналов следует использовать специальные перемножители (фазовые детекторы), выходной сигнал которых пропорционален только разности фаз входных сигналов и не зависит от их амплитуд.

Во-вторых, работа петли ФАПЧ, которая является основой схемы Костаса, очень чувствительна к шумам входного сигнала. При низком соотношении сигнал/шум на входе детектора, что и характерно для работы приемников мобильной связи, режим захвата петли ФАПЧ нарушается и резко возрастают шумы на выходе ГУН.

По этим двум причинам реализация схемы Костаса на промежуточной частоте встречается не часто. Значительно больше распространен вариант схемы рис.6.2 в baseband диапазоне, показанный на рис.6.3.

baseband

процессор

ГУН

ФНЧ

Фазовращатель на

Сумматор/вычитатель

ФНЧ

ФНЧ

Рис.6.3. Функциональная схема оптимального baseband детектора для

сигналов с угловой модуляцией

Основная идея схемы рис. 6.3 заключается в том, что принимаемый сигнал на промежуточной частоте с помощью квадратурного смесителя переносится в baseband диапазон. И уже в процессоре в baseband диапазоне с помощью цифровой реализации схемы Костаса осуществляется детектирование сигнала. В такой функциональной схеме намного проще осуществить перемножитель, выходной сигнал которого не зависит от уровня входного сигнала и стабилизировать работу ФАПЧ в условиях низкого соотношения сигнал/шум.

Работа схемы рис.6.3 происходит следующим образом. Предполагается, что на вход поступает сигнал с угловой модуляцией общего вида:

. 6.13

Опорный генератор имеет стабильную рабочую частоту, равную промежуточной частоте, но не синхронизированную с центральной частотой принимаемого сигнала. Следовательно, низкочастотная компонента сигнала на выходе смесителя после ФНЧ, равная произведению принимаемого и опорного сигналов, будет иметь некоторый сдвиг относительно нулевой частоты: :

6.14

Мгновенная частота на выходе ГУН равна, по определению, мгновенной частоте входных сигналов. Следовательно, на выходе ФНЧ в baseband процессоре имеют место низкочастотные компоненты следующего вида:

6.15

Разностный сигнал, равный мгновенной разности фаз между сигналами и , поступает на ГУН как сигнал ошибки для коррекции частоты ГУН. Суммарный сигнал, пропорциональный только комплексной огибающей , поступает на дальнейшую обработку.

3. Некогерентный частотный детектор

Некогерентный частотный детектор основан на нелинейном преобразовании модулированного сигнала. Очевидно, что нелинейное искажение информационного сигнала обязательно приводет к межсимвольным искажениям, т.е. уменьшению достоверности приема информации по сравнению с оптимальным детектором. Однако вносимые искажения в целом ряде конкретным применений достаточно малы и даже теоретически не превышают 3 дБ. Основанием для широкого применения некогерентного детектора являются те же самые соображения, что и для применения фильтров обкатки с характеристикой не Найквиста: в системе связи существует множество источников межсимвольных искажений, и частотный детектор – не главный из них. В то же время простота и надежность работы некогерентного частотного детектора намного превосходят когерентный.

Очевидный способ реализации некогерентного детектора – это преобразование частотной модуляции в амплитудную и далее детектирование амплитудно модулированного колебания с помощью обычного АМ детектора. В принципе, преобразование ЧМ модуляции в АМ может быть реализовано с помощью расстроенного колебательного контура, когда центральная частота ЧМ колебания находится на скате частотной характеристики контура. В этом случае при передаче бинарного сигнала одна из частот находится ближе к резонансной частоте контура, другая дальше. Пропорционально удалению передаваемой частоты от резонансной частоты контура меняется коэффициент передачи резонансного контура, а, следовательно, и уровень выходного сигнала. Однако практического применения эта схема не находит в связи с проблемами удержания центральной рабочей частоты ЧМ сигнала на скате резонансной характеристики контура.

Реально повсеместное распространение получена схема некогерентного частотного детектора с использование резонансного контура в качестве фазосдвигающей цепочки.

Очевидно, что идеальный частотный детектор должен иметь выходной сигнал, пропорциональный мгновенному значению частоты на входе детектора:

6.16

Постоянная составляющая не имеет значения, поэтому информативный выходной сигнал идеального детектора должен иметь следующий вид:

6.17

Функциональная схема частотного детектора, в котором опорный сигнал получается с помощью фазосдвигающего контура, показан на рис.6.3.

Усилитель-ограничитель

Фильтр низких частот

Фазосдвигающая схема

Рис.6.3. Частотный детектор с фазосдвигающим контуром

Предполагается, что принимаемый частотно модулированный сигнал поступает на фазосдвигающую схему, реализующую следующую функцию:

6.18

Фазосдвигающая схема осуществляет постоянный сдвиг несущей частоты на 90 градусов и переменный сдвиг фазы на величину, равную значению отклонения мгновенной частоты от несущей. частоты. Первая функция легко реализуется с помощью обыкновенного конденсатора, а вторая – с помощью параллельного контура, настроенного на центральную частоту (несущую). На перемножитель поступают принимаемый сигнал и сигнал с выхода фазосдвигающей цепочки:

6.19

Выходной сигнал детектора после фильтрации высокочастотных компонент преобразования равен:

6.20

Из уравнения 6.22 ясно следует, что дополнительный фазовый сдвиг на 90 градусов необходим исключительно для того, чтобы можно было использовать резонансный контур не на скате частотной характеристики, а на его резонансной частоте и исключить неоднозначность отклонения в плюс или минус мгновенной частоты сигнала от центрального значения частоты.

4. Согласованная (оптимальная) фильтрация

Как уже отмечалось выше, тракт приемника от антенного входа до выхода детектора является широкополосным и линейным для комплексной огибающей, все активные элементы и фильтры имеют полосу пропускания, достаточную для неискаженного прохождения принятого сигнала. Только и исключительно baseband фильтр после детектора имеет правильно выбранную частотную и фазовую характеристики для эффективного выделения полезного сигнала из шумов с минимальной потерей информации.

Определим требования к частотной характеристике последетекторного baseband фильтра (рис.6.4), которые обеспечивали бы оптимальную фильтрацию детектированного сигнала, т.е. максимальное отношение сигнал/шум на выходе фильтра.

Согласованный фильтр

h(t)

H(f)

Рис. 6.4. Согласованный фильтр

Далее исходный передаваемый сигнал в baseband диапазоне обозначается как , принятый сигнал в baseband диапазоне обозначен как , мощность аддитивного гауссовского шума радиоканала обозначается как . Предполагается также, что различие между исходным передаваемым сигналом и принятым сигналом определяется только шумами радиоканала . Соответствующие параметры сигнала на выходе фильтра имеют нижние индексы 0. Сам фильтр характеризуется частотной передаточной характеристикой или импульсной характеристикой . Сигнал, поступающий на фильтр, существует на временном интервале 0 ... Т и равен нулю всюду за этим интервалом. Форма поступающего на фильтр сигнала s(t) заведомо известна.

Отметим, что нет ничего противоречивого в том, что форма принимаемого сигнала известна. При передаче цифровой информации форма импульсов информационной последовательности всегда заранее определена и не информативна, информация передается правильной последовательностью нулей и единиц (для бинарного сигнала) или последовательностью символов (для многопозиционного сигнала). Поэтому задача приемника состоит в том, чтобы путем сравнения заранее известных форм сигнала с формой принятого сигнала узнать, какая именно форма сигнала получена в настоящий момент (какой именно символ принят).

Соотношение сигнал/шум на выходе фильтра определяется как отношение мощности сигнала s₀(t₀) на выходе фильтра в некоторый фиксированный момент времени t₀ к средней мощности шума на выходе того же фильтра:

6.21

Сигнал и средняя мощность шума на выходе фильтра определяются входным сигналом и характеристикой фильтра очевидными уравнениями, справедливыми для любого линейного устройства:

6.22

Представим выражение для мощности сигнала на выходе фильтра в следующем виде:

6.23

Равенство в 6.23 имеет место в том случае, когда подинтегральные функции в двух интегралах правой части уравнения являются комплексно сопряженными функциями.

Подставляя выражения 6.22 в 6.21 с учетом 6.23, можно получить следующую верхнюю оценку для соотношения сигнал/шум на выходе фильтра:

6.24

Максимальное значение отношение сигнал/шум 6.24 достигает в случае, как отмечалось выше, равенства комплексно сопряженных подинтегральных выражений в уравнении 6.23, т.е. при условии:

6.25

Линейный фильтр, имеющий частотную характеристику , определенную выражением 6.25, называется оптимальным фильтром и обеспечивает максимальное соотношение сигнал/шум на выходе фильтра выделенный момент времени .

Отметим следующие существенные свойства оптимального фильтра:

• оптимальный фильтр отнюдь не сохраняет неизменной форму входного сигнала, что было бы физически невозможно. Только линейное устройство с бесконечной полосой пропускания и линейной фазовой характеристикой оставляет форму сигнала неизменной. Согласованный фильтр искажает форму входного сигнала таким образом, чтобы в некоторый фиксированный момент времени уровень выходного сигнала становится максимально большим по отношению к уровню шума на выходе

• частотная характеристика оптимального фильтра определяется не только формой принимаемого сигнала, но и спектральной плотность шума радиоканала в принимаемой полосе частот

• в общем случае оптимальный фильтр не является фильтром Найквиста, т.е. его импульсная и частотная характеристики не удовлетворяет критерию Найквиста об отсутствии межсимвольной интерференции. Оптимизация соотношения сигнал/шум приводит к появлению межсимвольных искажений

Для белого гауссовского шума спектральная плотность шума постоянна и передаточная характеристика 6.25 оптимального фильтра принимает вид:

6.26

Фильтр с передаточной характеристикой вида 6.26 называется согласованным (имеется ввиду, что фильтр согласован с шумовыми характеристиками канала связи). При этом максимальное значение соотношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра равно:

6.27

В первом преобразовании использована теорема Парсеваля, утверждающего равенство интеграла в бесконечных пределах от квадрата модуля частотной характеристики интегралу в бесконечных пределах от квадрата временной характеристики. Интуитивно это совершенно понятно. т.к. оба интеграла выражают полную энергию сигнала.

Формула 6.27 утверждает, что максимально возможное соотношение сигнал/шум на выходе линейного фильтра в условиях белого гауссовского шума зависит только от энергии сигнала и не зависит от формы сигнала ( при этом частотная характеристика согласованного фильтра 6.26, разумеется, определяется временной формой сигнала). Следует ясно понимать, что под энергией сигнала подразумевается энергия сигнала в baseband диапазоне, как это определено в 2.11.

Пример. Для одиночного прямоугольного импульса длительностью Т частотная характеристика (преобразование Фурье) дает следующее выражение для комплексно сопряженного спектра сигнала :

6.28

Соответственно, частотная характеристика согласованного фильтра для приема одиночного импульса прямоугольной формы получается путем подстановки 6.28 в 6.27 и имеет вид:

6.29

Согласованный фильтр для приема одиночного прямоугольного импульса имеет амплитудную характеристику вида sin(x)/x и задерживает сигнал на время, равное .

Энергия импульса прямоугольной формы и максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра для импульса прямоугольной формы определяются очевидными выражениями:

6.30

Для сравнения определим соотношение сигнал/шум для такого же прямоугольного импульса в условиях белого гауссовского шума на выходе фильтра низкой частоты, имеющего идеальную частотную характеристику: коэффициент передачи фильтра равен 1 в полосе частот и равен 0 всюду за этой полосой. Для такого фильтра уравнения 6.22, определяющий сигнал и шум на выходе фильтра и соотношение сигнал/шум на выходе фильтра примут, очевидно, следующий вид:

6.31

Интеграл в первом уравнении представляет собой преобразование Фурье от временной формы импульса. т.е. его точное значение есть временная форма импульса на входе фильтра. Предполагается, что полоса пропускания ФНЧ достаточно велика, так что ограничение полосы частот принимаемого сигнала минимально. В этом случае и временная форма импульса на выходе фильтра практически совпадает с временной формой импульса на входе. А поскольку импульс имеет прямоугольную форму, то его значение на выходе фильтра в любой момент времени равно амплитуде А.

Выражения для соотношения сигнал/шум согласованного фильтра 6.30 и фильтра низкой частоты 6.31 совпадают при условии , т.е. минимальная полоса пропускания ФНЧ соответствует косинусному фильтру Найквиста с параметром

Согласованная фильтрация может быть определена не только в частотной, но во временной области. Для гауссовского шума частотная характеристика согласованного фильтра есть комплексно сопряженная функция по отношению к спектру сигнала в (6.29). Импульсная характеристика фильтра, как преобразование Фурье от его частотной характеристики, очевидно совпадает с временной формой сигнала:

6.32

Сигнал на выходе фильтра в момент времени, равный может быть вычислен как интеграл сверки входного воздействия на импульсную характеристику:

6.33

Из формулы 6.33 следует, что согласованный фильтр может быть реализован как коррелятор, т.е. интеграл от принимаемого сигнала , умноженного на его известную форму . В случае использования ФНЧ принимаемый сигнал умножается на импульсную характеристику фильтра .

Пример. На рисунке 6.5 показаны форма выходного импульса при использовании согласованного фильтра и ФНЧ. При этом полоса пропускания ФНЧ выбрана из условия , так, чтобы оба фильтра обеспечивали одинаковое выходное соотношение сигнал/шум (6.30, 6.31).

Рис.6.5. Сигнал на выходе согласованного фильтра (сплошная линия) и

ФНЧ (пунктирная линия)

Как следует из рис.6.5, для входного одиночного прямоугольного импульса длительность T выходной импульс при согласованной фильтрации существует только на временном интервале и достигает максимума спустя время T после прихода. При использовании ФНЧ выходной импульс существует на всем временном интервале, достигает максимума в тот же момент времени, а величина максимума несколько меньше, чем при согласованной фильтрации.