Лекция от 18.04.02 г.

Для схемы с одним не линейным элементом:

М – колличесво гармоник;

Из уравнений Киргоффа:

- по методу гармонического баланса;

Или в сокращенной (матричной) записи:

Найдем решение этой системы нелинейных уравнений по методу Ньютона.

Введем нелинейную функцию:

Разложим ее в ряд Тейлора:

где обычно называют вектором ошибки; - якобиан;

Рассмотрим якобиан более подробно:

где

Рассмотрим теперь случай, когда количество нелинейных элементов равно а.

для удобства введем:

а так же

Тогда

(1)

Структура якобиана

где

, j=I (2)

,

Вычисление элементов матрицы Якоби в частотной области

Пусть необходимо вычислить

где ,

Таким образом

Воспользуемся прямым преобразованием Фурье для sin-ой и cos-ой составляющей:

Обратное преобразование Фурье:

Теперь найдем

Аналогично находятся:

(3)

Метод Ньютона с вариацией параметров

Рассмотрим одиночное нелинейное уравнение

Представим решение в графическом виде:

Перепишем наше уравнение

где b – параметр составляющий b=0,0÷1,0;

Если в процессе интеграции ошибка не уменьшается по величине, то следует менять параметр b, в результате чего график сместиться вверх (или вниз), после чего начинаем итерацию снова. И так, пока не получим решение. Но полученное решение будет отличаться от искомого, т.к. изменяя b мы меняем вид уравнения. Поэтому, возвращаемся к исходному уравнению (b=1) и начинаем итерацию, выбрав за начальное значение, полученное решение.

Алгоритм анализа нелинейных схем

с использованием ГМ полюсов.

1) , b=1

2) ,

где j=1-a – величина Якобиана по формуле (2);

3) Решаем систему (1)

если да, то возвращаемся к (1) изменив коэффициент b иначе при

завершить процесс, если же нет, то К+1=К и опять переходим к (2).