Конспекты Экфак 1курс / Учебник по матану (Барабанов)

Многочленом

вещественнымиМногочленыкоэ ициентами (или многочлено

над полем

вещественных

чисел) называется

ункция

P : R ! R, определяемая

правилом

P (x) = a

0

+ a

x + a

x2

+ : : : + a

n

xn;

ãäå a

, a

, : : :, a

1

2

называется

n

вещественные числа. Степенью многочлена P (x)

0

1

=6 0. В частности, если a

= 0, òî

наибольшее натуральное число m для

степень

P

n. Ïî

определению, степенью многочлена P 0 считается

.

зываютCтепеньакжменьшеполиномами от английскоторогоpolynomial.

n

обозначается deg P от английск

слова degree. Многочлены иногда на-

Числа a , a , : : :, a

называются коэ

, è åñëè m = deg P ,

Много леныназываетско

êîý èöè

(илимногочленанад по м комплексных

-

Они могут счит тьс

плекснымиотоáð æ èåì P :

Cициентами! C(и, . . переменная x может принима

ü

то число a 0

1

n

я старш м коэ ициенто .

m

ногочленов с веществ

íû

коэ ициент ми только тем, ч

се ) отличаются от

помплек

овых степенях. Многочлены можно

складывать, умножатьоэ на ициентычисла

èõ

ñ

могут

ыть омплексными

частном

случае, веществен

ûìè).

ê

зн чения. В

åñëè íå

оговорено особо, будем считать, ч

многоэчле ициентыимеют комплексные к

.

да у их равны к

Äâà

равны

дальнейшем,тог иоэтолькициентытогд ,

д уг динакмногочленаäðóã . Ïðè ýòîì

дут получаться снова многочлены. Многочлены образуют

алгебраическую

структурбу,

ìую кольцом.

ациональной ункцией

íàçûвается отношение двух многочленов:

Q(x)

;

x 2 RnQ 1(f0g);

R(x) = P

ноль. ациональная

где P Q многочлены, причем Q не есть то

ункция

называется правильной, если deg P < degждественныйQ. Если

Q(x) = onst =6 0, òî

рациональнаяТеорема

ункц я является такж

и многочленом.

делении

гочленов.

существуют и единственны многочлены S и r,

Для любых

многочлеíîâ P è Q

такие, что

P (x) = S(x)Q(x) + r(x)

è

deg r < deg Q:

Доказательство. Пусть deg P = n. Докажем существование S и r индукцией по

n. При n = 0 утверждение

åñëè deg Q > 0, òî S = 0, r = P ; åñëè deg Q = 0,

P (x) = p

+ p x +очевидно:+ p

xn+1;

Q(x) = p + p x + : : : + p xm;

òî r = 0, S = Q=P .

. Пусть утверждение доказано для многочленов

Докажем

ндукционный перех

P степени n

è

пусть

1

n 1

0

1

m

причем p

0

n+1

=6 0 è q

m

=6 0. Åñëè n

+ 1 < m, то можно выбраòü S = 0 è r = P .

Пусть n + 1 m. Тогда

pn+1

P (x) =

pn+1

xn+1 mQ(x) + P1(x);

P1(x) = P (x)

xn+1 mQ(x):

qm

qm

но,шиеМногочленdegкоэP иöèå1(xнты) появляетсяиндукционномуэтих многочленовразностьюпредполодвухравнымногочленови поэтомую существуютсокращаютстепени n +акиея1., Следовательногочленыстар-

S è r, ÷òî

P

= S Q + r. Подставим это выраæåíèе в предыдущую орпричемулу:

1

1

p1n+1

1

P (x) =

Q(x) + r(x) = S(x)Q(x) + r(x);

deg r < deg Q;

q

m

xn+1 m + S1(x)

что доказывает индукционный перех д.

Докажем единственность многочленов S и r. Пусть таких пар две:

Тогда

P = S

Q + r

1

= S

Q + r

;

S

deg r

< deg Q;

deg r

2

< deg Q:

1

2

(S

1

2

)Q = r1

r

:

Если S =6 S , то степень

2

2

1

в левой части этого равенства не меньше deg Q,

Утверждение теоремымногочленаделении многочленов часто записываютазываетвиде равенства

1

2

единствен-

а в правой части строго ньше, чем deg Q. Противоречие док

ность многочленов S

r.

рациональных ункций:

= S(x) +

r(x)

;

deg r < deg Q:

P

Q(x)

Q(x)

авлена в виде

Согласно те реме, любая раци нальная у кция может быть

суммы мног члена и

правильной рациональной

причемпредстакое представле-

íèå единственно.

ункции,

многочленов P и Q

Из доказательства теоремы следует, что

вещественные, то коэ ициенты частного Sеслиостаткоэ rициентытож вещественные.

Ост ток от деления многочлена P (x) на x

a

равен

значению P (a).

Ò

Áåçó. [E.Bezout, 1779

Докеоремазательство. Пусть a произвольное комплексное число. По теореме о деле-

нии многочленов существуют такие многочлены S и r, что

P (x) = (x

a)S(x) + r(x);

deg r < 1:

многочлен r нулевой степени есть конст нта: r(x) = r. Последнее уравнение пере-

или вещест

енного.

ждеПо ñòавим x = a. Тогдановкполучится P (a) = r.

Íîõ äèò

числовое то

во при подст

е вместо x любого числа, комплексного

Следствие

м множителе.

Если комплексное ч сло a есть кор нь многочлена P , то этот многочлен разлага-

Любойеорема

ог члелинейнонад полем комплексных чисел положительной степени имеет

ется на множители,

ä

из которых

åñòü x

a.

Ò

.

ая теорема высшей алгебры.

õîòÿ áû

äèí Основк мплексный корень.

Áåç

доказательства.

селТеорема.

о азложении многочлена на множители над полем комплексных чи

Пусть P многочлен степени n со старшим к

p . Тогда существуют

такие

различные

комплексные числа , , : : :, оэ

ициентомсоответствующие им натураль-

ные числа k1, k2, : : :, km, что

(x

1

2

)k2

m

)km ;

n

причем k

+ k

+

P (x) = p

)k1 (x

(x

m

+ k

= n.n

1

2

будет равна n

1, à

жить Обознажители:

P1(x) = (x

a )P (x). При этом степеíü P

1

2

m

P имеет к

Доказательство. По основной теореме высшей алгебры

ðåíü.

его a . По следствию из теоремы Безу м

многочленP можно разлî-

степень многочленапонижается на 1,2то через n итераций она станет равной нулю

1

1

1

ста ший коэ ициент останется равным p .

теоремойТак ж поступаем и с многочленом P (x)

è

т. д. Поскольку после каждой

Далее,

P

снова разлагае

n

1

на множители в соответствии с основной

высшей

ледствиåì

теоремы Безу: P

(x)

= (x

a

)P

(x)

лгебры и

1

Это значит

2

2

что многочлен P (x) равен своему старшемуц коэ ициенту,

итерацииэто p .

Следовательно,

P (x) = p (x

a )(x

a ) (x

a ):

n

n

n

1

2

n

Если среди чис

a , a , : : :, a

âñ

я равны , то соотве ствующие сомножи

òåëè ñã

вместо. Получиòречаются ормула из утверждения теоремы.

Теоремауппируо азлож

ии многочлена на

ìíîæ òåëè ñ

вещественными коэ ици-

Пусть P

многочлен

вещественными к

ами. Тогда существуют такие

1

2

n

,

наборы вещественных чисел

( ) , (p ; q )оэ ициентнаборы натуральных чисел (k )

ентами.

i

m

j

j

n

i

m

n

i=1

j=1

i=1

(lj)j=1, ÷òî

m

n

+ pjx + qj)lj ;

P (x) = d Y(x i)ki

Y(x2

i=1

j=1

где d старший коэ ициент P и все дискриминанты квадратных трехчле ов отри-

цательны: Dj

= p2

4qj

< 0, 1 j n. Такое разложение

множители еди ственно.

Доказательство. По теореме о разложении

многочлена

а множители

íàä

полем

к мплексных ч

j

существуют

ак е различные комплексíые числа

,

, : : :,

N

è

соответствующèселим

натуральные числа k1

, k2

, : : :, kN

, ÷òî

1

2

P (x) = d(x

)k1 (x

)k2

(x

m

)kN ;

причем k

+ k

+ : : : + k

1

2

1

2

m

= n. Среди чисел

, : : :

N

, могут встретиться веществен-

1

,

которых мнимая

ные. Тогда эти числа обознач м , : : :,

. Множители x

Докажем

сначала, что

ñëè

ê

1

ое число

являеполóячилиськорнем ìногочлена

часть

j

равна нулю, пр образуются далее так, чтобы

квадратичные

ê

àìè.

сомножитнели

P (x) = a

+ a x + : : : + a xn

вещественоэ ицèåíòûìè коэ ициенòàìè, òî è êîìплексно

сопряженное числовещåñòâàêæåííûìèÿâëÿетсяомплекорнем:

0

1

n

2

+ : : : + an n

= a0 + a1 + a1 2

+ : : : + an n

P ( )

a0 + a1

+ a2

=

2

P ( ) = 0 = 0:

Таким обðàçîì, åñëè

k

= a

k

+ib

k

ñ b

k

=6 0, то среди чисел

, : : :,

N

, есть сопряжен-

ное число k = ak

1

ibk. Преобразуем произведение соответствующих множителей:

:

(x k)(x k) = (x

ak

ibk)(x ak

+ ibk) = (x ak)2

(ibk)2

= x2

2akx + a2

+ b2

Получился êвадратный трехчлен, коэ ициенты которого вещественные.

k

k-

ã , åãî

ин нт отрицательный.

раз, сколькКроме это

Перемножиì пары скобок

сопряженными

часть издискроторых имеет

веществен

ые коэ ициенты,числамичастьстолькомплексные с нåíó-

возможно

делать. Тогда многочлен P (x)

k

енным

множит

окажется разло

левой мнимой частью.

Произведение

первой группы множителей обозначим Q(x)ли,а

âòîð é S(x).

гочлены P (x)

Q(x) имеют

êîý è-

Тогда P (x) = Q(x)S(x). М

.

деления P на Q.

Следовательно,

àêæ

сопряженных пар к

сных кор ейоэнет, ициентыак êàê âñå ìíî

вещественныенимойсопряженны-

циенты.

òå ðåìå

делении мн гочленов мн гочлен S(x)

явля тся частным от

Q вообще не имеетомплекорíåé è

равен

ê

анте. Это значСледовательно,жителячто многочленогочленP уж

ПоS может иметь толькоегок мплексные

îðíè

ненулевой

частью, а

разложен на множители указанного видаонст

вещественным

àìè.

миОднакрнями были перем

жены и вошли в многочл

Q.

ункцияоэ ициент

Пусть R(x) = P (x)

(x)

правильная рациональная

Теорема о разложении правильной

ациональной

ункции

на простейшие.

=Q(x) =

Y(x )ki Y(x2 + p x + q )lj

;

m

i

n

j

j

причем p2 < 4qj при 1 j n.i=1

j=1

j

), 1 s k

,

Тогда существуют и единствеííû íàáîðû âåù ñтвенных чисел (A

i;s

1 i m è (B

i;s

; C

i;s

), 1 s l

, 1 j n, такие,

÷òî

i

m

k

i

j

n

lj

P

XX

(x

Ai;s

XX

Bj;sx + Cj;s

Q(x) =

i=1

s=1

i)s +

j=1

s=1

(x2

+ pjx + qj)s :

Кажд я из дробей в правой части разложения называется простейшей рациональ-

íîé

é.

ìíогочлен,) i т. . Q(x) = (x

)

iQ (x). Докажем, что существует

разложункци Q, кроме (x

и единственны

вещественное число A и многочлен P , такие, ÷òî

гочлена Q

Д казат

льство. Выберем произвольный веществен ый

орень

обознач м через Q (x)

получаемый перемножением всех ìíîжителей в

1

P

i

k

A

i

k

1

1

i