Конспекты Экфак 1курс / Учебник по матану (Барабанов)

провеВыä÷емислимтождестэтотâенныепределпреобрапризования:x !

. Пусть x < 0. Обозначим y =

1

x è

1 + 1 x

= 1

1 y =

y

y

= +

1

y = 1 +

1

y 1

1 +

:

y

1

y

1

y

1

y

1

Åñëè x !

, òî y ! +1. Åñëè y ! +1, òî

! e 1 = e:

1 +

y

1

1

y 1

1 +

y

1

1

По теореме о пределе композиции ункций îòñþда следует, что

lim

1 +

1

x

= e:

x

x! 1

равны e, поэтому предел при x ! 1

Пределы п и x ! +1 и при x !

существует и ðàâåí e.

Второй замечательный предел также запèсывают в виде

1

lim(1 + x)

x

= e:

x!0

Порядок бесконечно малых

îòîð é lim

f(x) = 0.

Беск нечно ма ой в точке a называется ункция, для

Ïðè

ýòîì

предпоëагается, что f задана по крайней мере в некî

ðîéx!a

ë òîé

малые заданы в соответс вующих проколот

õ îêðåñтностях, а если a всеб сконечность

окрестности точки a. В дальнейшем будем предполагать, ч

a иксировано (т

êà

или бесконечность). Предполагается также, что

ли a точка,

òî

прокбес

точка a, то f(x) =6 0 при x 2 (a

; a + ) n fag. Отметим,данногочт

соответствующихсамэтой онечнаяточк a

(возможно, со знаком), то

ункции заданû

по крайней мере на

полуос х (( ; +1) и/или (

; d)).

раздела

личны

Кроме того, будем считать, что все бесконечно ма ые из

ê

îò

ëÿ

в некоторой проколотой окрестности предеëüíîé î÷êè. Åñëè

ункция f может обращ ться в ноль.

малых.

поряд а

áåñê

ОпределениеПусть f g две бесконечн

малые.

1. оворят, что f есть бесконечномаëàÿ более высокого порядка, чем g, если

lim

f

= 0:

o(g) ïðè x ! a.

g(x)

Обозна

x!a

вблизи a

f = O(g) ïðè x ! a.

4. f чение:g называюаютсся эквивалентнымиf, åñëè

2 имеет порядок не выше, чем g, если ункция f(x)=g(x)

3

g

я бесконечно

малыми одного порядка, еслиограниченаf = O(g)

g = O(f)

авнос ль ое с ойс во: ункция f(x)=g(x) ограничена и отделима от нуля вблизи a.

x!a

g(x)

= 1:

lim

Обозначение эквивалентности: f g.

)=f(x) = 1. Действительно,

òåîð

. Åñëè f g, òî

g f, ò.å. limx!a g(

пределе частного, ункция

1= (x) = g(x)=f(xпредел) тож имеет предел 1.

ЗамечаниеПусть f g бесконечно малые. Следующие условия равносильны:

ункция (x) = f(x)=g(x) определена вблизи a и имеет

1. Следовательно, по

Теорема. Свойства эквивалентных бесконечно малых.

1

.

2. f

g есть бесконеч малая более высокого порядка, чем g.

Следует из

равносильности

óсловий:

Доказательство.

lim

f

= 1;

lim

f(x) g(x)

= 0:

g(x)

x!a g(x)

x!a

дно равносильное условие: f g

Упражне ия. 1. К теор ме

жно добавить еще

Теорема о замене

áåñêîнечнотранзитивности)малых пределе частного.

Пусть f f , g gэквивалентныхсуществует конечный или бесконечный предел

есть бе конечíо малая боле высмо

ого порядка, чем f.

.

2. Åñли f g и g h, то f h (свойство

1

1

x!a

f

= A:

g(x)

lim

f

Тогда существует и равен A предел

= A:

Доказательство.

lim

(x)

x!a g1

нкции (x) = f (x)=f(x), (x) = g (x)=g(x) и h(x) = f(x)=g(x).

нияОпределимчастного

существуетимеетравен A предел

1

Каждая из этих ункций

1

предел ïðè x ! a. Ïî òеореме о пределе произведе-

Бесконечно

A = lim h(x)

(x)

= lim

f

(x)

:

x!a

x!a g1

= 1.

1

Функция f называется бесконечно áîëüøîé ïðè x ! a, åñëè lim

2.

Бесконечно

большиеf и g называются эквивалентными, если x!a

f

= 1:

x!a g(x)

lim

3. оворят, что f есть бесконечно áîëüшая более высокого порядка, чем g, при

x ! a, åñëè

x!a

f

= 1:

g(x)

lim

послДляднимбесконечнотеоремамбольших.

ункций справедливы утверждения, аналогичные двум

Теорема. Свойства бе конечно

льших.

g равносильно

1

Пусть f g беск

большие

при x ! a. Условие f

условию f имеет более

высокий порядок, чем f

g.

2.

В пределе частного онечнобеск ечно большие ункции можно заменять на эквива-

Доказательство. (Упр жнение.)

лентные.

Табл ца э вивалентныõ áесконечно малых

При x ! 0 следующèå áåñêонечно малые ункции эквивалентны:

loga

(1x+ x)

1

a > 0;

a

lna;

(1 + x) sin 1

2

> 0;

1

os

При доказательстве этих

ar sin

2

будет

свойство

ar tg x

:x;

рывности ункций sin x, tg x эквивалентноln x, отороеñòейобсуждаетсяпольследующемçовано

разделе. До-

кажем

очер ди каждую из представленных

эквивалентíостей

ïî

определению

1.

Воспользуемся тождеством (loga y) ln a

ln y.

этого свойства.

(1 + x) ln a

ln(1 + x)

1

log

lim

a

x

= lim

x

= lim ln

(1 + x)

x

= ln e = 1:

x!0

x!0

x!0

1, и воспользуемся

2. Сделаем замену переменной: x = loga(y + 1), èëè y = ax

предыдущей эквивалентностью:

= ln a lim loga(1 + y)

= 1:

lim

x ln a

x!0 ax

1

y!0

y

3. Ñäåëàåì çàìåíó ïåðеменной: y = (1 + x)

1 и воспользуемся первой эквиâà-

лентностью при a = e:

1 + 1)

= lim

ln(1 + x)

= lim

:

1 = lim ln(y + 1)

= lim ln((1 + x)

(1 + )x

1

y!0

y

x!0

(1 + x)

1

x!0

(1 + x)

1

x!0

В послед ем равенстве беско ечно малая ln(1 + x) была заменена на эквивалентную

бесконечно малую ункцию x.

4

Это первый замечат ль ый предел.

5.

Сделаем замену

перемеííîé: x = 2y.

2

lim 2(1

os x) = lim

2 x

4 sin

y

=

lim sin y

= 1:

4 sin

2 = lim

x!0

x2

x!0

x2

y!0

4y2

y!0

y

6

Поскольку os x ! 1 при x ! 0, òî

sin x

1

lim

tg x

= lim

= 1:

x!0

x

!0

x

os x

7. Сделаем замену переменноé: x = sin y. Òîãäà

lim

ar sin x

= lim

y

= 1:

x

sin y

x!0

y!0

8. Сделаем замену переменной: x = tg y. Тогда

lim

ar tg x

= lim

y

= 1:

x

tg y

x!0

y!0

Дополнительные сведения о пределах

Теорема. Предельный переход в неравенствах.

имеют пределы, соответ-

1. Пусть последовательности a = (an

1

è b = (bn)1

ственно, A и B (конечные или бесконечные). Пусть an bn

при всех n 2 N. Тогда

A B.

n=1

n=1

èëè

. Ïóñ ü

f(x) g(x

зада ы на некотором

2. Ïóñ ü a

промежутк (a; b)чисëевым концом в

òочкеункцииa имеют

правосторонние

пределы при

x ! a + 0, равные,

соответс

ííî, A

B (конечные или бесконечные). Пусть f(x)

g(x) при всех x 2 (a; b). Тогда A B.

оказываются по

овой схеме от

Д казательство. Оба у

ждения

роннеãî

существуютутверàêèå

Æ > 0 è Æ

> 0,

ñëè a < x < Æ , ò

òèâ

. Докажем второе

ждение äля случая, когда aдинак, A B числа. Пу ь

A > B.

Выберем положительное число " = (A

B)=2.

Ïî

опр делению правостпро-

Пусть Ж минимальное из чисел числаЖ Ж . Если a < x < Ж, чтовыполнены

сразу

îáà

jf(x)

Aпределаj < ",

åñëè a < x < Æ , òî jg(x)

Bj < ".

g

f

неравенств :

g

f

g

f

Но тогда

расстояние между числами A и B должно быть меньше 2", так как A > B

è

jf(x)

Aj < ";

jg(x)

Bj < ":

A = (A f(x)) + f(x) jf(x) Aj + f(x) < " + g(x) = " + (g(x) B) + B < 2" + B:

Таким образом, jA

Bj < 2", ÷òî

ó " = (A B)=2.

Доказательства первого у верждения,противоречита акже втîðîãî

ждения при a =

или при беск нечном пределе A или B остаютсявыбкачествеутверуп ажнения.

òîé æå

ный, т. . никакпоследовательноединственностидругое чи ло или бесконечность не

могут

áûòü

Теорема

òü

предела.

äà ýòîò

единствен-

1. Пусть

(an)1

имеет предел A. Т

До азате ьство. Докажем тольк

ут ерждение 1,

ак как доказатпределомльство утвер

последова ельности.

n=1

2. Пусть ункция f имеет предел A при x ! a. Тогда этот предел динственный.

2

по ностью

. Îò ïð òèâí

о, пусть A

и B другое чис-

, ò êæ

являющ еся пре елом

послед вательности (an)1

. Выберем " < jB Aj=2.

жденияТог à условия ja

Aаналогичноj < " ja

Bj < " не могут

выполнятьсячислодновременно. Но по

определению пределаn

они должныn

выполняться для всех достаточно больших чисел

n.

n=1

Определение непре ывнойНепрерывныеункции точкеункции.

óñòü a 2 R, O

окрестность точки a и

f определена по крайней мере

на множестве O.

f, определенная в

Ïриращением ункции f в точке a называетсункция ункция

окрестности нуля равенством

f(h) = f(a + h)

f(a):

a

a

приращением аргумента

f.

Аргумент h этой ункции часто

Функция f называется непрерывнойназываютточке

a, если существует ункцииравен нулю

предел af в нуле:

lim

f(h) = 0:

Условие

h!0

a

ункции

точке можно выразить через определение пре-

дела на языкнепрерывности" Ж:

автоматически.

jf(a + h)

f(a)j < ":

jf(a + h)

f(a)j < " âûïîëíåíî

8" > 0 9Æ > 0 :

åñëè jhj < Æ

a + h 2 O;

8" > 0 9образом:Ж > 0 если jx

aj < Ж и x 2потомуO; jf(x)

f(a)j < ":

Отметим, что условие a + h 2 O необх димо добавить потому, что ункция f

должна быть

â òî÷ê a + h.

Напротив,

словие h =6 0, присутствующее

общем

определена

à, ìîæ

исключить,

÷òî ïðè h = 0

еравенство

Е ли выполн ть замену переменной x = a + h,

последнее

определение записы-

âàåòñя следующопределениим

По определению предела это значит, что

lim f(x) = f(a):

Последнее равенство

ÿ

x!a

ной из наиболее популярных орм опр деления

ункцииявляетсf точк

a.

Существенным от

определений пред ла у кции f в точк a и

непрерыв-

епрерывностиункции f в точкличиемa

я участие самого

значения f(a) в

делении.

что ункцявляетсf может имåть предел в точк a,

последнемдаж если îíà â

ýòîé òî÷ê íå

например,

при раскрытии

.

Åñëè

меНапомним,ïðåä

åíà,ïðè h ! 0

дставить о

неопределенностейпри h ! 0 спра-

ва или при h ! 0 слева,

òî

получится

дностороннийназванное односторонней

непрерывноñòью слева или, соответственно,

.

Функция f называется непрерывной свойстсправалева точкеункции,a если

lim

af(h) = 0:

h!0 0

Функция f называется непрерывной справа в точке a, если

lim

f(h) = 0:

h!0+0

a

чтобыЛеммаляонатого,былачтобысвязинепрерывнанепрерывностиункция fслевабылав непрерывнаодностороннейк a

непрерывностиa необхсправадимо.точкдостаточно,a.

льство.

Н обходимость î÷åâ äíà,

акточкак

ункция, имеющая

f(a) в точкзате a имеет пределы

слева и справа

непрерывнаточк a, равные f(a).

определению

Äокажем достаточность. Выберем

число "

> 0. Ïî

одн сторонней непрерывности существуютпроизвольноетак числа Ж

Æ , ÷òî åñëè

Æ

< h <

Определим Ж как

наименьшее из чисел+Ж

Ж . Тогда

åñëè

jhj < Æ è h =6 0, òî

jf(a + h)

f(a)j < ". Следовательно,

предел

ункции

af в точке h = 0 существует

0, òî jf(a + h)

f(a)j < "

+

f(a)j < ".

åñëè 0 < h < Æ , òî òîæå jf(a + h)

и равен нулю.

+

Класси икация разрывов

P è a

à P . Åñëè

Пусть у кция f

íà íà

ÿ f

í

является

промежуткточк a, то a называетсвнутренняяточкой

ð

f. На гр икопределнепрерывнойточк разрыва соответствует

линии гра ика,

азрываоткуд

ункципояв л сь называние

аких точек.

ассмотрим два односторонних

предела ункции fразрывточке a:

L =

lim

f(x);

R =

lim

f(x):

Åñëè õ

ÿ áû

x!a 0

x!a+0

дин из этих п е елов не существует или бесконечный, то точка a

называеотся

азрывом вт рого

ðîäà.

непрерывности тем

íåò

òî ýòî

Åñëè

пределы

L è R

îáà

сущест уют,

Пример: ункция f(x) = 1=x при x =6 0 и f(0) = 1.

это значенменее отлича тся

может быть

двум причинам:

L =6 R, ëèáî L = R

îò f(a). Â

случае разрыâ

я устранимым:

нействительно,д

åñëè

Пример: f(x) = sin x при x =6 0

f(0)называетс= 0. Э у ункцию можно делать непрерыв-

ункция станетпоследнпрерывнойåì

точке a.

очке равенством f(a) = L(= R), то

переопределить ункцию f тольклибов одной

íîé,

переоп еделитьx

f(0) = 1.

и правосторонний пределы существуют, конечны

Åñ

L =6 R,

.е. левосторонний

и разесличны, то разрыв

я скачком,

число R

L называется величиной

Примерстранимыйск чк ункция

çí ñêà

числа: f(x) =

1 ïðè x < 0, f(x) = 1 ïðè x > 0

скачка. У

f

разрыв или

÷îê

называются

аз ывами первого рода.

Пусть

g заданыназываетсокрестнîñòè

a и непрерывны в точке a. Тогда

и f(0) = 0. Здесь

ñê ÷ê

в точк a = 0 равна 2.

ункции f(x)+ g(x), f(x)g(x) непрерывны

точки

a (где , числа), а ункция

f(x)=g(x) ункцииывнавеличинаточк

a, åñëè g(a) =6 0.

частного.

Теорема о непрерывности суммы,

изведения,следует

Доказ тельство.

Заключение теоремы

соответствующих свойств пре-

делов. Нàпример,

lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x) = f(a)g(a);

x!a

x!a

x!a

что означает непрерывность произведен я.

ункцию h = gнепрерывностиЖf. Пусть X Y1

промежутки и a 2 X. Обозначим b = f(a). Пусть

Теорема о

композиц

непрерывных ункций.

Пусть заданы ункции f : X ! Y , g : Y

1

! Z è Y Y

. Определим сложную