Конспекты Экфак 1курс / Учебник по матану (Барабанов)

Множество

Элементыма ематическое понятие,множествобозначающее собрание,

-

бор, совокупность,эток

каких либотеорииобъ

вещей. Эти объекты

ÿ

элементами множества,ллекциюг ворят, что они множеству

àò.

òîì, ÷òî

оставВажнейшå

и единственносновное

в пктов,нятии

ества состоит

не может быть расплы чатым. А именно, для любого называютсобъект a и

любогомножества

M возможныограничениетольк две ситуации: объектпринадлежa

множе-

ñтву M (что об значается a 2 M) или объект a не

мноадлежитеству M (что

обозначается a 62M).

два способа задания принадлежитмно ества: явное указание эле-

Íà áî åå

à

ментов

ë

через свой

. Если некоторый набор объектов a

, a

, : : , a

n

1

2

объединяетсяупотребительныв множ ñòâо,элементовакое множество обозначается игурными скобками:

A = f a

; a

; : : : ; a

n

g:

Предположим,

1

2

P некоторое свойство объектов. Если это свойство выполне-

но для объекта x, чтопишем P (x). Тогда запись

A = f x j P (x) g

обознача

A = f x : P (x) g

èëè

множество A, состоящее из всех

x, которые обладают свойством

P . Â

математических

утв ржде иях полезнымобъектоввает мно

ество, которое не содер-

æèò íè

дного элемента. Оно

называется пустûì ì

ожеством и обозначаетс

;.

Например, множество всех вещественных корней уíêöèè f(x) = x

2

+ 1

является

пустым множеством.

ì ìíîæ -

Пусть A и B два множества. Множество B называется

ñòâà

, если любой элем

множества B принадлежит мноподмножествоеству A. Об значениå:

B A.

следуåнт, что любое множество A

следующими свойства-

Èç

ми: A определенияA ; A.

ìíîæ

состоящее толькобладаетиз элементов множества A,

Подмно

ество A

íî, áûòü ìî

åò, íå èç âñ õ,

толькество,из тех, которые обладают некоторым дополни-

тельным

свойством P ,

ýòî.å. fx 2 A : P (x)g.

Äâà ìíî

ества

называются равными, если каждый элемеíт первого множества

принадлежит второму и наоборот. Другими словами, A = B означает, что A B и

B A. Например,

fx

: (x

2

3)(x

2

1) = 0g = f1; 1;

p

p

3g:

3;

Â

азывания

логическая

à.

îíî ìî

íàç

вается

символикение, котором ìожно сказать, ч

æåò áûòü ë áî

либо жным. Вещь сама по себе не являетс

ысказы-

анием,

утверждение о том, предлоч эта вещь обладает конкретным св йством, есть

Âûñê

.

можно еди ять

для образования новых

ûñê

й. Пустьистинным,

некоторые высказывания.

Утвержде ие о том, чтî

верно илогическими, , называетсоперациямиконъюнкцией этих высказы-

âанийысказываниеазыванияобоз чается

& èëè ^ .

называетсяУтверждениедизъюнкцией"еслио том,верночтоэтихверно, выскто верноилиазываний(возможно," азываобозначаетсятсяверныимпликациейсразу оба.

утверобозначаетсждения),

или не выполнены только д времен

. Утверждение о том, что высказывания и

) .

íыми, если они могут быть

ыполнены

Два утверждения называются

л м). Для каждого конкретнравносильного объект a выражение P (a) есть

сказывание, т. .

равносильны, называется

равносильт стью

обозначается , . Легк

доказать,

что утвер

утверждению ) )&( ) ).

Утверждениео

òîì,

чтоэквивалевы азывание неве но, наз

вается

отрицанием и

ж быть верным (в прим ре: если a число(например,a > 0) или невернûжительным. Утверждение

обычно обозначается : или .

объектов

áûòü ïîëî

÷èñ-

Пусть P есть

некоторое св й

ается:

выскназываетсием.

обозначаетссуществования8x P (x)

любого x верно P (x)".

ние. Оночтобозначае

ÿ 9x : P (x)

чобладающийтся: "существует x

àê é, ÷òî

P (x)". Символ

мотом,

îáú êò x,

свойством P , есть н

вое высказыва-

9

Утверждениеуществуетм, что любой объект x обладает

свойством P , такж

является

я квант ром

.

читчит

"для"для любого".

Символ 8

ывается квантором

Утверждение Оноом, что существуетвсеобщноститолько один объект x, обладающий свой-

ством P , обозначается 9! x : P (x). Читается: "существуаетс единственный x такой, что

P (x)".

íàä ìíîæ

.

и B называется мно-

ОперацииПусть A B два множествами. Объединением множеств A

жество, состоящее из всех объектов, принадлежащих A

èëè B:

A [ B = fx j x 2 A x 2 Bg:

Перес чением множес в A и B называется множество, состоящее из всех объектов,

принадлåжащих как A,

òàê è B:

азностью мно

A \ B = fx j x 2 A & x 2 Bg:

еств A и B называется множество, состоящее из всех элементов

A, которые не принадлежат B:

AnB = fx j x 2 A & x 2= Bg:

множество всех упорядочен-

Прямым произведен ем множеств A

B называе ся

ных пар (a; b), состоящèх из элементов

этих множесòâ:

2

A B = f(a; b) j a 2 A; b 2 Bg:

плоскость.

Пример: пусть A = B = R вещественная

ÿìàÿ. Ò ãäà R R = R

. Пусть A и B произвольные множества. Доказать следующие

равенстваУпражнениемно ств:

B

An(A \ B),

nA = ;,

[

A \ A = A,

×èñë(AnB) \â(BånA) =æ;.

.

тами к торых

я числа,

ñò

Некотîð

множества,элем

ëûå ïî

обоз ачение. N множество

ñåõ

натура ьных чисел, оно содер

î

ëîжительные числа. Иногда

ì

жество N

являютс0. R мно

åñ âî âñ

âåùå

ственных

чисел. Z множество

âñåõ

целых

(ïîëî

èìтолькеют

нуля). Q множество всех рациональных включаетсчисел, . . чисел

èäà

m

гдерицательныхm n ц -

â

n

ëûå

n =6 0. I множество всех иррациональных чисел, . .

чисел,

являющих я рациональными, I = RnQ. Из определений мно ещественныхнепосредствандартное

следует,

N Z Q R.

чисел R

пределены

жительных,сло ения +, умножен я

,

В множес

âå â

акжчто

ношенщественныхпорядк <. Отнîшение означает "<"или -". Эти операц и

обладаютчисе .

следующ ми свойствами,

азыв емыми

операцииакж ак иомами вещественных

математические утвер

о вещественных числах могут быть логиче-

ски выведены только

из этих аксиом, без каких либо ссылок на обычную интуицию.

Сами Всеаксиомы независимы: жденияодна из них не может быть выведена из всех

остальных. Аксиомы удобно разбивать на группы.

I.

Сложение.

+ y = y

x коммутати но ть сложе ия.

1

2 R

èÿ.

2

8x; y; z 2 R

(x + y)

z

x + (y + z)

социативíîñòü ñ îæ

ìíîæ

3 9a

0

:

8x

2 R

a

0

x

íóëÿ. Ýòîò ý

емент a

0

R азывается нулем

обозначается 0.

4. 8x

2 R 9y 2 R : x

+ y

=

0 существование противоположного элементествапо

отношению к сложению. Этот противоположный элемент y обозначается

x.

II. Умножение.

1

2

x y = y x коммутативность умножения.

2

8x; y; z 2 R

(

y) z = x (y z)

ассоциативность ум жения.

a

3

9a

1

2

R

:

8x

2 R

x a

1

= x

èöû. Ýòîò

1

множества R называ тся единицей и обозначается 1.

вованеди обрàтного элемента по

4

2 R (x =6 0 ) 9y 2 R : x y = 1)

отношению к умножению. Этот элемент y обозначается x 1

èëè

1 .

5. 8x; y; z 2 R

x

(x + y) z = (x z) + (yсуществованиеz) ди рибутивность умножения отно

сложения.

Вещественные числа, к торые могут быть получены сложением элемента 1 с са-

сительном м бой конечное

число раз, называются натуральными. N множество таких

чиселМно. жество целых чисел и множество рациональных

чисел

определяются через

множество N:

Z

n 2 N : (x = n

x = (

n))g;

Q = fx j 9m; n 2 Z : x = m n

1

g:

III. Аксиома индукции.

илиПервоеиндукцисвîннымйс во называетсяшагом.

базой индукции, а второе индукционным переходом

IV. Неравенства.

1

2 R

èëè x < y; èëè y < x; èëè x = y.

неравенства.

2

x < y & y < z ) x <

)

3

;y;z 2R

(x < y ) x+z < y +z) согласованнтранзитивностьсложения и неравенства.

4

((x < y & z >

0) ) x z

< y z)

согласованность умножения и

неравенства.

5. 8x 2 R 9n 2 N : x < n аксиома Архимеда.

Абсолютной величиной вещественного числа x называется само это число x, если

x 0, или число

x, åñëè x < 0.

оследняя аксиома о плотности вещественных чисел ормулируется в тер-

минах свойств промежутков.

.

[a; b = fx 2 R : a x bg

Ïромежуткисть a b вещественные числа и a b. Множ

называется

промежутком или отрезкомествок нцами a и b.

èëè èíò

( b) = fx 2 R :

a < x < bg называется

открытым промежутком

замкнутымс нцами a

b.

b) = fx 2 R : a x < bg называются

ïî

(

b = fx 2 R : a < x bg

ïðîмежутками с концами

è b.

; a) =

луоткрытымиМножесрвало(

+1) = fx 2 R : a < xg,

[a;

+1) = fx 2 R : a xg, (

fx 2 R :

x < a;g (

; a

=

fx 2 R :

x ag называются полубесконечными

промежут

.

ìíîæ ñòâà

ÿ

акже промежутками. Длиной про-

Âñå

межуткаперечисленныеконцами a

b называе называются число b

a.

V. Аксиома пл

тности

вещественных

÷èñå .

Пусть [a

n

; b

n

, n = 1; 2;

:

последовательность отрезков, и пусть аждый следу-

предыдущий: [a

; b

[a

; b

для любого n 2 N. Тогда

ющий отрезок

âëîæ

n+1

n+1

n

n

промежуткам:

существует вещественное число, принадлежащее всем этим

9 2 R : 8n 2 N 2 [a

n

; b

n

:

Определение граней и огран ченных множеств.

Пусть X подмножество R a 2 R. Число a называется верхней гранью мно-

жества X, если 8x 2 X x a. Соотв тственно, число a называется нижней гранью

множества X, если 8x 2 X a x.

сверху,

ó

âåðõ

X

ÿ

îãð

ãî уществует

грань.

ÿ

í çó,

åñëè

ó

íèæíÿÿ

X называется огр

, если оно ограничено сверху и ограничено

Ìíîæ

снизу.

àíÿõ.

Теоремаество точных верхних аниченнымнижних

Пусть непустое множество X R ограничено сверху. Тогда среди всех его верхних

граней существует наименьшая.

существуетАналогично,

среди всехнижняянижнихграньграней.

непустого ограниченного снизу множества

ибольшаяверхня грань множества X

я точной верхней гр нью мно-

жестваНаименьшаяX обозначается sup X.

X

ижняя грань множества X нàзывается

точной нижней

гранью

бозназываетсчается inf X.

, inf ; = +1.

Если X = ; пустое

множествНаибольшаяо, то п определению, sup ; =

льство. Пусть множество X ограничено сверху. Это значит, что суще

ствуетДоказатеак

число b

2 R, ÷òî x b ïðè âñåõ x 2 X. Ìíî

ество X

ñòî ,

ãî

âåðхний конец b

есть верхняя грань X, а нижний конец

принадлежит X. Далее

1

1

2 X. Получился отрезок [a

; b

, непукоторо-

âûá åì â íåì произвольный элемент a

1

будем строить

1

â

; b

1

1

.

женных отрезков [a

Пусть n 2 Nпоследовательностьобладаети езок [a ; b

свойствами: b

есть верхняя грань X и

[a ; b \ X =6 ;. Ïîñòðоим отрезок [a

; b

, обладающий

акимирекуррентнож свойствами.

n

n

n

n

n

n

n+1

n+1

n

[a ; b

есть верхняя грань X,

азделим отрезок

точкой . Если

определим [a

; b

= [a

; пополам, если нет то [a

; b

n

= [

; b

. Очевидно, чòî

n+1 n

n

n n

n

n n

n+1 n+1

в обоих случаях b

n+1

есть верхняя грань X.

àê

àê íà ï

åæ òê

Кроме того, в первом случ е [a

; b

\ X = [a ; \ X,

( ; b í

÷èñ

из множества X по

в рхней грани . Во втоðîì

ñëó÷à

ассмо рим множество M N индексопределениюв n, для которых

построен отрезок [a ; b ,

íà ïðîì æóòêå [ ; b

n+1

n+1

n

n

ак как число

íå åñòü

есть некоторые точки множåñòâà X,

M óдовлетворяет аксиоме индукции. Поэтому M = N.

n

n

n

n

n

n

боих случаях [a

; b

\ X =6 ;.

верхняя грань для

X. Таким образом, в

n+1

n+1

n

n

обладающий дву

я свойствами: b

есть верхняя грань X и [a

;

n

n

n

\X =6 ;. Множество

Таким образо

,

; b , n =

последовательность вложенных отрезков [a

обознач

. Докажем,построенач

число есть наименьшая верхняя

грань X.

n

n

1; 2; : : :. По аксиоме плотности вещественных чисел она имеет общую точку, которую

êàê m <

,

÷òî

легкпротивндоказать

по индукции. Число

жительномуm довлетворяет неравенс ву

дположим, от

этого, что существует

акое число x 2 X, что x > .

Ïðèìåíèì

акси му Архимеда к вещественному поло

z

= (b

àê

a )=(x

). Существует

акое натуральное число m,

что z < m. Но тогдачислуz < 2m, 1

1

Длины отрезков [a ; b уменьшаются в 2 раза при увеличении n на 1.

Поэтому

(b

a

m

< x

.

1

1

) 2

n

n

bm

am = (b1

b

a

= (b

a

)=2m

x :

a1)=2mbè

m

m

1

m

1

< x, что невозможно, так как

Из полученного неравенства b

m

< x

следует b

m

b верхняя грань для X

ÿ

x 2 X. Противоречие доказывает, что число являе

m

Предположим, от

противного,

÷òî

вует другая верхняя грань d множества

верхн й гранью X.

существует

ое число m, что (b

a )=2m <

d.

X и d < . По акси ме Архимеда

[a

; b

\ X =6 ;.

Поэтому

1

1

Промежуток [a

m

; b

m

содержит как число , таê и некоторое число x 2 X, так как

m m

x b

m

a

m

= (b

1

a

)=2m

< d:

Из неравенства

x <

1

d следу , что d < x что невозможно для верхней грани d

множества X. Противоречие доказывает, что не существует верх ей грани множества

X, которая была бы меньше, чем . Таким

образом,

число есть

íаименьшая верхняя

грань множества X.