Параллельное соединение элементов

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно соединенные элементы R, L и C (рис. 21).

Рис. 21.

Пусть U(t) = U₀·cost. Напряжение на всех элементах цепи одинаково и равно U(t). Мгновенное значение тока в неразветвленной части цепи I(t) равно сумме токов в параллельных участках:

I(t) = IR(t) + IC (t) + IL(t).

(29)

В этом случае удобно строить векторную диаграмму для токов.

С учетом, что ток через сопротивление находится в фазе с приложенным напряжением, ток через участок, содержащий С, опережает напряжение на , а через участок, содержащий L, отстает от напряжения на , векторную диаграмму можно изобразить следующим образом (рис. 22).

Рис. 22.

Из диаграммы видно, что

I0 = .

(30)

При этом

I0R·R = = I0L··L = U0.

(31)

Воспользовавшись векторной диаграммой и формулой (31), нетрудно получить выражения для амплитуды тока через неразветвленную часть цепи и для сдвига по фазе между приложенным напряжением и током

,	(32)
.	(33)

Из векторной диаграммы следуют и выражения для мгновенных значений тока в ветвях цепи

IR = ,	(34)
IL = ,	(35)
IC = U0··C·cos(t + ).	(36)

При условии, что ·L = , сдвиг фаз между током в неразветвленной части цепи и напряжением равен нулю ( = 0). При этом токи I_L и I_C находятся в противофазе и численно равны. Эти токи могут превосходить ток в подводящих проводах, что требует особенно внимательного соблюдения правил техники безопасности. Такая ситуация называется резонансом токов. При этом происходит периодический обмен энергией между электрическими и магнитными полями в емкости и индуктивности, а источник питания только компенсирует потери энергии на нагревание сопротивления R.

Резонанс токов в цепи с параллельным соединением элементов приводит к тому, что ток во внешней цепи имеет наименьшее значение.

Если убрать сопротивление R, то ток в подводящих проводах будет равен нулю, хотя в контуре, состоящем из L и C, ток может быть очень большим. Это устройство используется в резонансных усилителях, в которых колебательный контур настраивается на частоту сигнала, который требуется усилить.

Мощность переменного тока

Напомним, что мощностью называется физическая величина, численно равная работе в единицу времени. Элементарная работа dA по переносу заряда dq, совершенная за время dt на участке цепи с падением напряжения U, определяется выражением

dA = U·dq.

Тогда мгновенная мощность:

,

(37)

где U(t) и I(t) – мгновенные значения напряжения и силы тока.

В цепях синусоидального переменного тока, содержащих активное сопротивление R, индуктивность L и емкость C, ток, в общем случае, сдвинут по фазе относительно напряжения на угол φ:

U(t) = U₀·cosωt,

I(t) = I₀·cos(ωt + φ),

где U₀ и I₀ – амплитудные значения напряжения и силы тока, ω – круговая частота. Тогда элементарная работа dA за время dt:

dA = U(t)·I(t)·dt = I0·U0·cosωt·cos(ωt + φ)·dt.

(38)

Мгновенная мощность переменного тока также является величиной переменной. Для оценки энергетических свойств электроустановок используется значение средней мощности.

Для определения средней мощности P достаточно подсчитать работу тока за один период колебания T:

(39)

Воспользуемся формулой произведения косинусов:

.

(40)

Интеграл от первого слагаемого в квадратных скобках есть среднее значение косинуса за период и, следовательно, обращается в ноль. Таким образом, получили

.

(41)

Величину P = I·U·cosφ называют активной мощностью или средней мощностью, или просто мощностью переменного тока. Активная мощность в системе СИ измеряется в ваттах (1 Вт = 1 В ´ 1 А). Прибор, предназначенный для регистрации активной мощности, называется ваттметром (подробнее об устройстве и принципе действия ваттметра см. раздел «Ваттметр» в главе «Электроизмерительные приборы»).

Кроме активной мощности в теории переменных токов рассматривают полную (кажущуюся) мощность S = I·U и реактивную мощность Q = I·U·sinj.

Для того чтобы понять смысл реактивной мощности, рассмотрим энергетические процессы в цепи переменного тока, содержащей индуктивность L. В такой цепи потребление мощности в каждый момент времени не сводится только к выделению тепла. В той части периода, где ток нарастает, в катушке индуктивности L возбуждается магнитное поле, на что расходуется энергия источника. Когда же ток начинает уменьшаться, энергия, запасенная магнитным полем катушки, возвращается обратно источнику. Таким образом, индуктивность является то потребителем, то генератором энергии, а в среднем за период расход энергии в индуктивности равен нулю.

Аналогичные колебания происходят в цепи переменного тока, содержащей емкость C. В этом случае энергия запасается в электрическом поле конденсатора. Реактивная мощность Q не совершает никакой полезной работы, однако, она оказывает существенное влияние на режим функционирования электрических цепей. Поэтому расчет проводов и других элементов цепей переменного тока производят, исходя из полной мощности, которая учитывает активную и реактивную составляющие.

Очевидно, что активная P, реактивная Q и полная S мощности имеют одинаковую размерность. Однако в электротехнике, в отличие от единиц активной мощности, для удобства полную мощность принято измерять в вольт-амперах (ВА), а единица измерения реактивной мощности Q – вольт-ампер реактивный (ВАр).

Каким образом величины P, S и Q связаны между собой?

Для наглядности рассмотрим векторную диаграмму напряжений для последовательной цепи переменного тока, содержащей R, L и C, изображенную на рис. 23.

а	б	в

Рис. 23.

Сумма коллинеарных векторов U_L и U_C и перпендикулярного им вектора U_R равна вектору U, который отображает общее падение напряжения в цепи. Он сдвинут относительно вектора тока I на угол j. Вектора U, U_R и (U_L + U_C) образуют треугольник напряжений А0В (прямоугольный), причем катет АВ численно характеризует падение напряжения на чисто реактивной, а 0В – на чисто активной нагрузках:

АВ = U·sinj, 0В = U·cosj.

(42)

Разделив стороны векторного треугольника напряжений на величину силы тока I, получаем треугольник сопротивлений A′0′B′ (рис. 23,б), который уже не будет векторным. Умножив стороны треугольника напряжений на I, получаем треугольник мощностей A″0″B″, также не векторный (рис. 23,в). Очевидно, что эти три треугольника подобны. Сопоставляя стороны треугольника мощностей и треугольника напряжений, заключаем:

0″A″ = I·U = S ← полная мощность,	(43)
0″B″ = I·U·cosj = S·cosj = P ← активная мощность,	(44)
А″B″ = I·U·sinj = S·sinj = Q ← реактивная мощность.	(45)

И, как видно из треугольника A″0″B″, справедливо соотношение:

S2 = P2 + Q2.

(46)

То есть полная мощность является геометрической суммой активной и реактивной мощностей.

Стороны треугольника сопротивлений и треугольника мощностей по построению связаны следующим образом:

P = I2·R,	(47)
Q = I2·(XL – XC) = I2·X,	(48)
S = I2·Z,	(49)

где R – активное сопротивление цепи, X – реактивное сопротивление, X_L = wL – индуктивное сопротивление, X_C = – емкостное сопротивление, – полное сопротивление (импеданс) цепи переменного тока.

Если известны индуктивная Q_Li и емкостная Q_Ci составляющие реактивной мощности и активная P_i мощность каждого i-го потребителя, то полная мощность, на которую должен рассчитываться источник, составляет

.

(50)

Величина cosj, стоящая в выражении для активной мощности (см. формулу (44)), показывает, какая часть полной мощности цепи приходится на долю активной мощности, поэтому cosj называют коэффициентом мощности.

Из формулы (50) видно, что коэффициент мощности можно увеличить, уменьшая второе слагаемое под корнем. Большинство промышленных потребителей (трансформаторы, электродвигатели) потребляют индуктивную реактивную мощность. Для уменьшения такой реактивной мощности параллельно индуктивной нагрузке включают емкость.

1 Подробнее о целесообразности введения эффективных значений тока и напряжения см. в разделе «Мощность переменного тока».

1 При построении векторной диаграммы можно вместо амплитудных значений использовать эффективные (см. предыдущий раздел).

2 Подробнее см. в разделе «Приложения. Построение векторных диаграмм».