Понятие о векторных диаграммах

Реальные электрические цепи представляют какие-либо комбинации простейших элементов R, C и L.

Чтобы определить связь между током и напряжением в цепи, включающей несколько различных элементов, необходимо уметь складывать гармонические колебания одной частоты, но с разными амплитудами и фазами. Такую задачу аналитически бывает решить сложно, но существует графический метод, позволяющий сделать это достаточно просто и наглядно, – это метод векторных диаграмм.

Д анный метод основан на том, что изменяющуюся по гармоническому закону величину, например, a(t) = A₀·sin(t + ) (или a(t) = A₀·cos(t + )), можно представить как проекцию на ось ординат (или ось абсцисс) радиус-вектора, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью  (рис. 16) – a₁ = A₀·sinωt₁, a₂ = A₀·sinωt₂.

Рис. 16.

Длина такого вектора должна быть равна амплитуде колебаний, т.е. в данном случае равна A₀¹. Начальное его положение при t = 0 должно составлять с осью X угол  ( – начальная фаза колебаний). Совокупность нескольких векторов, изображающих гармонически изменяющиеся величины одной и той же частоты называется векторной диаграммой.

Взаимная ориентация векторов сохраняется в любой момент времени, если складываемые колебания имеют одну и ту же частоту, поэтому для построения векторных диаграмм токов и напряжений достаточно указать их фазовые углы в момент t = 0.

П ри построении векторных диаграмм используется математическая теорема, согласно которой проекция геометрической суммы векторов на любую ось равна алгебраической сумме их проекций на ту же ось. Поэтому задача сложения выражений типа U(t) = U₀·sin(t + ) сводится к простой графической задаче сложения векторов (рис. 17 – u₁ = U₁₀·sinφ₁, u₂ = U₂₀·sinφ₂, u = u₁ + u₂ = U₀·sinφ).²

Рис. 17.

Последовательное соединение элементов

Рассмотрим последовательное соединение емкости, индуктивности и активного сопротивления, к которым приложено переменное напряжение U(t) = U₀·cost (рис. 18).

В случае последовательного соединения в каждый момент времени сила тока во всех участках цепи одна и та же, а сумма мгновенных падений напряжения на элементах равна значению приложенного к цепи напряжения в тот же момент времени:

U(t) = UR(t) + UC(t) + UL(t).	(23)

Рис. 18.

Представим соотношение (23) в виде векторной диаграммы и с ее помощью найдем связь между амплитудными и мгновенными значениями тока и напряжения в рассматриваемой цепи.

а	б
Рис. 19.

U_R совпадает по фазе с током, значит, вектор U_0R направлен так же как вектор I₀, U_C отстает от тока на /2, значит, U_0C развернут на /2 «назад» относительно U_0R, а U_0L, соответственно «вперед» (рис. 19,а). Поскольку эти векторы вращаются с одной частотой  против часовой стрелки, то их взаимное расположение друг относительно друга не изменяется, и найти суммарное напряжение U₀ можно в любой момент времени (рис. 19,б).

Из рис. 19,б видно, что

U02 = U0R2 + (U0L – U0C)2,	(24)
,	(25)

где  – угол между векторами I₀ и U₀.

Воспользовавшись формулами (14), (16) и (19) можно вместо (24) и (25) записать:

,	(26)
.	(27)

Величина называется полным сопротивлением цепи или импедансом, а формула (26) - обобщенным законом Ома. По аналогии с треугольником, образуемым амплитудными значениями падений напряжения, можно построить треугольник сопротивлений (рис. 20) Графически полное сопротивление будет представлять собой гипотенузу прямоугольного треугольника. Один катет такого треугольника равен R – его называют активным сопротивлением. Другой катет равен (·L – ), эту составляющую полного сопротивления называют реактивным сопротивлением и обычно обозначают X:

X = XL – XC = ·L – .

(28)

Рис. 20.

При условии ·L = полное сопротивление цепи минимально и равно активному сопротивлению R₀. Формула (26) показывает, что величина переменного тока в цепи существенно зависит от его частоты. При частоте  = амплитудные значения тока принимают максимальные значения I_0max = U₀/R. Такое явление называют резонансом напряжений, а частоту  = называют резонансной частотой электрической цепи. Величина тока при резонансе получается тем больше, чем меньше активное сопротивление цепи.