топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

82 Глава II. Топология в евклидовом пространстве

мую l, касающуюся кривой γ в точке a. Точка a делит прямую l на луч l+, направление которого совпадает с направлением обхода кривой γ, и луч l−, направление которого противоположно направлению кривой γ. Будем двигать точку a по кривой γ в положительном направлении так, чтобы она совершила один полный обход кривой. Для каждого положения точки a определим N+ как число точек пересечения луча l+ с кривой γ (отличных от точки a). Число N− определим аналогично. Числа N+ и N− изменяются лишь в тех случаях, когда точка a проходит через двойную точку или точку перегиба, а также в тех случаях, когда

прямая l проходит через положение двойной касательной, т. е. точка a проходит через одну из точек касания двойной касательной с кривой γ.

Если точка a проходит через двойную точку или точку перегиба, то N+ уменьшается на 1, а N− увеличивается на 1.

Для ориентированной кривой внешние касательные бывают трёх типов: касательные в точках касания могут быть направлены в одну сторону, могут быть направлены навстречу друг другу, а могут быть направлены прочь друг от друга (рис. 41). Количества внешних касательных таких трёх типов обозначим e1, e2, e3. Аналогично для внутренних

касательных введём обозначения i1, i2, i3. Рассмотрим две точки, в которых касательная

типа e1 (соответственно, i1) касается кривой γ. При прохождении одной из этих точек N+ увеличивается (соответственно, уменьшается) на 2, а при прохождении другой точки N− уменьшается (со-

ответственно, увеличивается) на 2.

Для типа e2 (соответственно, i2) при прохождении каждой из двух точек касания N+ увеличивается (соответственно, уменьшается) на 2.

Для типа e3 (соответственно, i3) при прохождении каждой из двух точек касания N− уменьшается (соответственно, увеличивается) на 2.

При полном обходе кривой N+ увеличивается на 2e1 + 4e2 и уменьшается на 2i1 + 4i2 + 2D(γ) + F(γ) (каждая двойная точка проходится два раза, а точка перегиба – один раз). При полном обходе N+ не изменяется, поэтому 2e1 + 4e2 = 2i1 + 4i2 + 2D(γ) + F(γ). Те же самые рассуждения,

применённые к N−, показывают, что 2e1 + 4e3 = 2i1 + 4i3 + 2D(γ) + F(γ). Сложив оба равенства, получим 4(e1 + e2 + e3) − 4(i1 + i2 + i3) = 4D(γ) +

Аналогичное утверждение можно доказать и для конечнозвенных замкнутых ломаных общего положения, у которых никакие три вершины не лежат на одной прямой и никакие три звена не имеют общей точки: см. [32] и [54].

Равенство

является необходимым условием для того, чтобы существовала кривая γ с соответствующими числами двойных точек, двойных касательных и точек перегиба. Но этого условия не достаточно. Например, если F(γ) = 0, то кривая γ выпуклая, поэтому I(γ) = II(γ) = 0, а из равенства (1) следует лишь, что I(γ) = II(γ). Если же F(γ) 6= 0, то равенство (1) является не только необходимым, но и достаточным условием существования кривой (см. [65]). В случае, когда F(γ) = 0, дополнительно должно выполняться условие I(γ) 6 D(γ)2 − D(γ) и число I(γ) должно быть чётным (см. [103]).

§ 6. Теорема Брауэра и лемма Шпернера

6.1.Теорема Брауэра

Мы будем пользоваться следующими обозначениями:

f : Dn → Dn имеет неподвижную точку.

З а м е ч а н и е. Брауэр доказал эту теорему в работе [42]. До него утверждения, эквивалентные теореме о неподвижной точке, доказали Анри Пуанкаре [106] и латышский математик Боль [36]. Но наиболее распространенное название этой теоремы – теорема Брауэра о неподвижной точке.

Пусть A X. Непрерывное отображение r : X → A называют ретракцией, если r|A = idA, т. е. r(a) = a для любой точки a A. Если существует ретракция r : X → A, то A называют ретрактом пространства X.

З а д а ч а 6.1. Докажите, что A – ретракт пространства X тогда и только тогда, когда любое непрерывное отображение f : A → Y можно продолжить на всё X.

Легко проверить, что теорема Брауэра и теорема 6.2 эквивалентны. В самом деле, предположим, что f : Dn → Dn – непрерывное отображение без неподвижных точек. Для каждой точки x Dn рассмотрим луч с началом f(x), проходящий через точку x. Пусть r(x) – точка, в которой этот луч пересекает сферу Sn−1. Ясно, что r – ретракция диска Dn на Sn−1.

Предположим теперь, что r : Dn →Sn−1 – ретракция. Пусть i : Sn−1 → →Sn−1 – отображение без неподвижных точек, например, i(x) = −x. Тогда отображение ir : Dn → Sn−1 Dn не имеет неподвижных точек.

Теорема 6.2 эквивалентна также следующему утверждению.

Т е о р е м а 6.3. Пусть v(x) – такое непрерывное векторное по-

= r(x) задаёт векторное поле на D , нигде не обращающееся в нуль. Если же v(x) – такое векторное поле на Dn, что v(x) = x для всех x Sn−1

Известно много разных доказательств теорем 6.1–6.3. В большинстве случаев удобнее доказывать теорему о неретрагируемости диска Dn на сферу Sn−1. Мы приведём три таких доказательства, ограничившись случаем гладких отображений.

Перейти к непрерывным отображениям можно с помощью аппроксимации непрерывных отображений гладкими. В самом деле, предполо-

kg(x)k = kx + ϕ(x) f(x)k =

= kr(x) + ϕ(x) [f(x) − r(x) + x] + (ϕ(x) − 1) (r(x) − x)k > > kr(x)k − ϕ(x)kf(x) − r(x) + xk − (1 − ϕ(x))kr(x) − xk >

С другой стороны, по той же самой теореме Стокса получаем

ZZ

Т р е т ь е д о к а з а т е л ь с т в о н е р е т р а г и р у е м о с т и д и с - к а н а с ф е р у (см. [113]).

Предположим, что существует непрерывно дифференцируемая ретракция f : Dn → Sn−1. Для x Dn и 0 6 t 6 1 положим

g(x) = f(x) − x,

ft (x) = x + tg(x) = (1 − t)x + tf(x).

Из непрерывной дифференцируемости отображения g следует, что существует положительная константа c, для которой kg(x) − g(y)k 6 ckx − yk при всех x, y Dn. Отображение ft инъективно при 0 6 t < 1/c. В самом

деле, если ft (x) = ft (y), то kx − yk = ktg(x) − tg(y)k 6 tckx − yk. Поэтому при 0 6 t < 1/c получаем kx − yk = 0.

Частные производные отображения g равномерно ограничены, поэтому якобиан

при малых t обратим. Следовательно, по теореме об обратной функции ft

уже выяснили, ft инъективно отображает Dn в Dn. Поэтому ft биективно отображает Dn на Dn (при t 6 t0).

При 0 6 t 6 t0 этот интеграл равен объему единичного шара Dn. Формула

(1) показывает, что I(t) – многочлен от t. Поэтому I(t) – положительная константа при 0 6 t 6 1.

С другой стороны, f1 (x) = f(x) Sn−1

оно замкнуто. Оказывается, что любое непустое замкнутое подмножество диска Dn может служить множеством неподвижных точек некоторого непрерывного отображения.

Т е о р е м а 6.4 (см. [111]). Пусть F Dn – непустое замкнутое подмножество. Тогда существует непрерывное отображение f : Dn → Dn, для которого F (f) = F.

До к а з а т е л ь с т в о. Для каждой точки x Dn положим d(x, F) =

=inf kx −yk. В результате получим непрерывную функцию на Dn (рас-

y F

стояние от точки x до замкнутого множества F). Определим теперь отображение f : Dn → Dn следующим образом:

Из теоремы Брауэра и теоремы о неретрагируемости диска на сферу можно получить много разных следствий. Приведём несколько таких примеров.

одной пары противоположных сторон прямоугольника, а путь β соединяет точки другой пары противоположных сторон. Тогда если оба пути α и β лежат внутри прямоугольника, то они пересекаются в некоторой точке.

β2 (t)), где s, t [0, 1]. Требуемое утверждение достаточно доказать для квадрата I2 на плоскости с координатами x1 и x2, заданного неравенствами |xi| 6 1, i = 1, 2. Поэтому можно считать, что α1 (ε) = ε и β2 (ε) = ε, где ε = ±1.

Предположим, что α(s) 6= β (t) при всех s, t [0, 1]. Пусть N(s, t) = = max{|αi (s) − βi (t)|}. Рассмотрим отображение F : I2 → I2, заданное

формулой

1

F(s, t) = ( , ) β1 (t) − α1 (s), α2 (s) − β2 (t) .

N s t

Квадрат I2 гомеоморфен диску D2, поэтому согласно теореме Брауэра отображение F имеет неподвижную точку (s0, t0).

Образ отображения F состоит из точек вида (±1, t) и (s, ±1), поэтому s0 = ±1 или t0 = ±1. Ясно, что

и |α2 (s)| 6 1. Следовательно, число ±1 не может иметь тот же знак, что и число β1 (t) 1 или число α2 (s) 1. Приходим к противоречию, так как

6.2.Теорема Жордана как следствие теоремы Брауэра

Теорему Жордана можно вывести из теоремы Брауэра о неподвижной точке. Мы это сделаем, следуя [90]. Напомним, что одно доказательство теоремы Жордана мы уже привели на с. 75–77.

Для доказательства теоремы Жордана нам понадобится теорема 6.6, которую мы доказывали с помощью теоремы Брауэра. Кроме того, нам понадобится теорема Титце о продолжении непрерывного отображения (теорема 4.4 на с. 68).

Предварительно заметим, что если C – жорданова кривая, то множество R2 \ C имеет ровно одну неограниченную связную компоненту. Это следует из ограниченности множества C. Ясно также, что любая связная компонента множества R2 \ C линейно связна и открыта.

Ш а г 1. Множество R2 \ C содержит ограниченную связную компоненту.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество C компактно, поэтому существуют точки a, b C, расстояние между которыми достигает максимума. Можно считать, что a = (−1, 0) и b = (1, 0). Тогда прямоугольник R,

Рис. 42. Жорданова кривая в прямоугольнике

заданный неравенствами |x| 6 1 и |y| 6 2, содержит всю кривую C и пересечение границы прямоугольника R с кривой C состоит в точности из двух точек a и b (рис. 42).

Точки a и b являются серединами двух сторон прямоугольника R. Пусть n и s – середины двух других сторон прямоугольника. Согласно теореме 6.6 отрезок [n, s] пересекает кривую C. Пусть l – ближайшая к n точка пересечения. Точки a и b делят кривую C на две дуги. Пусть Cn – та дуга, на которой лежит точка l, а Cs – другая дуга. Пусть m – самая далекая от n точка множества Cn ∩ [n, s]. Тогда отрезок [m, s] пересекает дугу Cs , потому что иначе путь, идущий сначала из n в l по прямой, затем из l в m по дуге Cn и, наконец, из m в s по прямой, не пересекал бы дугу Cs , а это противоречит теореме 6.6. Пусть p – самая далекая от s точка множества Cs ∩ [m, s], z0 – середина отрезка [m, p].

90 Глава II. Топология в евклидовом пространстве

Покажем, что связная компонента множества R2 \ C, содержащая точку z0, ограничена. Предположим, что точку z0 можно соединить путём γ с точкой, лежащей вне прямоугольника R. Пусть w – первая точка границы прямоугольника R, через которую проходит путь γ. Если w = a или w = b, то слегка пошевелим путь γ, чтобы точка w была отлична от a и b. Для определённости будем считать, что точка w лежит в нижней части прямоугольника R (т. е. ближе к точке s, чем к точке n). Рассмотрим путь из n в s, который сначала идёт из n в l по прямой, затем из l в m по дуге Cn, затем из m в z0 по прямой, затем из z0 в w по пути γ и, наконец, из w в s по границе прямоугольника R, не проходя при этом через a и b. Этот путь не пересекает дугу Cs, что противоречит

R2 \ C, U – замыкание U, ∂U = U \ U – граница множества U. Никакая точка множества ∂U не может принадлежать другой связной компоненте W , потому что W – открытое множество и U ∩ W = . Таким образом, ∂U C. Предположим, что ∂U 6= C. Тогда ∂U содержится в некоторой дуге A кривой C. Покажем, что этого не может быть.

Согласно шагу 1 множество R2 \ C содержит ограниченную связную компоненту, в которой можно выбрать точку z0. Если компонента U сама ограничена, то точку z0 выбираем в U. Пусть D2 – круг с центром z0, содержащий кривую C, S1 = ∂D2 – его граничная окружность. Тогда S1 целиком лежит внутри неограниченной компоненты множества R2 \ C. Дуга A гомеоморфна отрезку [0, 1], поэтому по теореме Титце

Пересечение замкнутых множеств U и D2 \ U содержится в множестве A, а на множестве A отображение f тождественно, поэтому отображение g непрерывно и корректно определено. Легко проверить, что точка z0 не принадлежит образу отображения g и на множестве S1 отображение g