топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

наименьшее целое число m, для которого по крайней мере одна точка x X принадлежит m элементам покрытия U и никакая точка x X не принадлежит более чем m элементам покрытия U. Будем говорить, что топологическая размерность компактного подмножества X Rn равна k, если k – наименьшее неотрицательное целое число, обладающее следующим свойством: для любого ε > 0 существует конечное покрытие множества X замкнутыми множествами диаметра меньше ε, имеющее порядок k + 1.

Из того, что диаметр множества Uj меньше ε, следует, что Uj целиком лежит в некотором множестве n \ , т. е. Uj не пересекает грань

. Каждая вершина ai принадлежит некоторому множеству Uj. При этом множество Uj уже не может содержать других вершин симплекса n.

которую Ui не пересекает. Получим соответствие ϕ : {0, . . ., m}→{0, . . . , n}. Для k = 0, . . . , n рассмотрим Ak – объединение тех множеств Ui, для ко-

нера (см. с. 92) можно вывести, что множества Ak имеют общую точку x. В самом деле, пометим все точки симплекса n по следующему правилу: каждой точке сопоставим наименьший номер k множества Ak, которому она принадлежит. Согласно лемме Шпернера среди симплексов p-го барицентрического подразделения симплекса n есть симплекс с полным набором пометок. Выберем в нём произвольную точку xp. Из последовательности {xp} выберем сходящуюся подпоследовательность {xpq }. Точка

x = lim xpq принадлежит всем множествам Ak. В самом деле, каждому

q→∞

множеству Ak принадлежит одна из вершин симплекса, в котором мы

72 Глава II. Топология в евклидовом пространстве

выбирали точку xpq , а длина ребра такого симплекса стремится к нулю

множествами сколь угодно малого диаметра, имеющего порядок n + 1. Рассмотрим (m + 1)-е барицентрическое подразделение симплекса n. Для каждой вершины m-го барицентрического подразделения рассмотрим множество, состоящее из содержащих ее замкнутых n-мерных симплексов (m + 1)-го барицентрического подразделения. Эти множества образуют требуемое покрытие. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть первое барицентрическое подразделение. Барицентр принадлежит n + 1 множествам, а все остальные точки принадлежат меньшему

В определении топологической размерности участвует метрическая величина – диаметр множеств покрытия. Тем не менее, топологическая размерность действительно является топологическим инвариантом, т. е. сохраняется при гомеоморфизмах.

Т е о р е м а 4.8. Пусть X и Y – гомеоморфные компактные подмножества евклидова пространства. Тогда их топологические размерности равны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть топологические размерности X и Y равны kX и kY . По условию существует гомеоморфизм h: X → Y . Для данного ε > 0 рассмотрим покрытие пространства Y открытыми шарами диаметра ε и рассмотрим также покрытие пространства X прообразами этих шаров при отображении h. Пусть δ – число Лебега этого открытого покрытия компактного пространства X. Согласно определению топологической размерности существует покрытие пространства X замкнутыми множествами U1, . . . , Um диаметра меньше δ, име-

Теперь мы можем доказать знаменитую теорему Брауэра об инва-

множествами малого диаметра, имеющее порядок n, индуцирует покрытие

симплекса h( m) замкнутыми множествами малого диаметра, имеющее

4.4.Канторово множество

Каждое число x [0, 1] можно записать в виде x = a13−1 + a23−2 +

Пусть Ck – множество чисел x [0, 1], у которых есть троичная за-

Т е о р е м а 4.10. Любое замкнутое подмножество A C является ретрактом пространства C, т. е. существует непрерывное отображение r : C → A, ограничение которого на A тождественно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Замкнутое множество A [0, 1] компактно, поэтому для любой точки c C существует точка a A, для которой d(c, A) = d(c, a). Таких точек a не может быть больше двух. Рассмотрим сначала случай, когда для точки c C существуют две такие точки a1 и a2, причем a1 < a2. В таком случае a1 < c < a2. Дополнение множества C всюду плотно, поэтому можно выбрать y 6C так, что a1 < y < c < a2. Для каждой точки x C ∩ [a1, y) положим r(x) = a1, а для каждой точки x C ∩ (y, a2] положим r(x) = a2. Построим таким образом отображе-

ние r для всех точек c C, для которых d(c, A) = d(c, a1) = d(c, a2). Построенное отображение определено корректно, потому что интервал

(a1, a2) не содержит точек множества A, а значит, отрезок [a1, a2] для точки c и отрезок [a01, a02] для точки c0 6= c не могут пересекаться.

Предположим, что c C – точка, для которой отображение r пока ещё не построено. Тогда существует ровно одна точка a A, для которой d(c, A) = d(c, a). Положим r(c) = a.

Для точки a A отображение r может определяться либо первым

С помощью теоремы 4.10 можно доказать следующее весьма неожиданное утверждение.

Т е о р е м а 4.11 (Александров [1]). Любое непустое компактное множество X Rn является образом канторова множества C при некотором непрерывном отображении.

Мы построили непрерывное отображение g : A→X, где A C – замкнутое подмножество. Согласно теореме 4.10 существует непрерывная

С л е д с т в и е (Пеано). Существует сюръективное отображение отрезка I на k-мерный куб Ik.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала построим непрерывное отображение f : C → Ik. Канторово множество C замкнуто, поэтому по теореме Титце отображение f можно продолжить до непрерывного отображения

§ 5. Кривые на плоскости

5.1.Теорема Жордана

Жордановой кривой называют образ C окружности S1 при непрерывном инъективном отображении f : S1 → R2. Инъективность означает, что f(x1) 6= f(x2) при x1 6= x2. В «Курсе анализа» [77] Жордан попытался доказать, что множество R2 \ C несвязно и состоит в точности из двух линейно связных компонент (теорема Жордана). Его доказательство было не вполне строгим. Первое полное доказательство теоремы Жордана предложил Веблен [134].

Мы уже доказывали теорему Жордана в том случае, когда кривая C представляет собой конечнозвенную ломаную (см. с. 19). Из кусочно-

Т е о р е м а 5.1. Если C – жорданова кривая, то множество R2 \ C не является линейно связным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведём к кривой C опорные прямые и выберем на них точки A1 и A2, лежащие на кривой C. На двух дугах кривой C, заданных точками A1 и A2, можно выбрать точки B1 и B2 так,

76 Глава II. Топология в евклидовом пространстве

что отрезок B1B2 не будет пересекать кривую C (рис. 35); действительно, каждая из этих двух дуг является компактным множеством, поэтому пересечение дуги с любой прямой, параллельной опорным прямым, компактно. На отрезке B1B2 выберем точку A3. Если бы точки A3 и B3 можно было бы соединить путём, не пересекающим кривую C, то мы получили

Докажем теперь следующее вспомогательное утверждение: незамкнутая дуга кривой не разбивает плоскость.

Т е о р е м а 5.2. Пусть A – простая дуга на плоскости, т. е. образ отрезка I при непрерывном отображении f : I → R2. Тогда мно-

жество R2 \ A связно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x, y R2 \ A. Множество A компактно, поэтому можно выбрать положительное число d так, что расстояния от x и y до A больше 3d. Отображение f равномерно непрерывно, поэтому A можно разбить на дуги A1, . . . , Ak (дуга Ai соединяет точки ai и ai+1) так, что расстояние от точки ai до любой точ-

d . Ясно, что d 6 d. Каждую дугу Ai разобьём на дуги Ai1, . . . , Aiki (дуга Aij соединяет точки aij и ai,j+1) так, что расстояние от точки aij до любой точки дуги Aij меньше d0/4. Пусть Gi – граф, образованный сторонами квадрата с центрами в точках aij ; стороны всех этих квадратов параллельны двум фиксированным прямым и длины сторон квадратов равны d0/2. Графы Gi и Gj пересекаются тогда и только тогда, когда |i − j| 6 1.

Граф G = G1 . . . Gk разбивает плоскость на связные области, среди которых есть ровно одна неограниченная область F. Каждая точка дуги A принадлежит какой-то ограниченной области, поэтому A не пересекает F. Следовательно, достаточно доказать, что x, y F.

Предположим, что точка x принадлежит ограниченной области графа G. Граф G является 2-связным, поэтому в G найдётся цикл C, внутри которого лежит точка x. Выберем цикл C так, что он принадлежит графу Gi Gi+1 . . . Gj, причем разность j − i минимальна. Покажем, что в таком случае j − i 6 1. Предположим, что j − i > 2. Можно считать, что число рёбер цикла C, не принадлежащих Gj−1, минимально. Цикл C содержит по крайней мере по одному ребру из непересекающихся графов Gj−2 и Gj (имеются в виду ребра, не принадлежащие Gj−1). Кроме того, после выбрасывания всех рёбер графа Gj−1 нарушается связность цикла C. Это означает, что цикл C содержит по крайней мере два непересекающихся участка, проходящих по графу Gj−1. Эти два участка можно соединить путём γ, проходящим по рёбрам графа Gj−1. Путь γ разбивает

цикл C на два цикла. Точка x лежит внутри одного из этих циклов. Но у каждого из этих циклов число рёбер, не принадлежащих Gj−1, строго меньше, чем у цикла C. Получено противоречие.

Итак, точка x принадлежит внутренней области графа Gi Gi+1. Но этого не может быть, так как точка x лежит вне круга радиуса 3d с центром ai , а граф Gi Gj+1 лежит внутри этого круга. Полученное противоречие означает, что точка x принадлежит неограниченной области графа G. Точка y принадлежит той же самой области, поэтому x и y

Мы уже доказали, что жорданова кривая разбивает плоскость. Теперь можно доказать оставшуюся часть теоремы Жордана.

Т е о р е м а 5.3. Жорданова кривая C разбивает плоскость в точности на две линейно связные области, причем границей обеих этих областей служит кривая C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ω – одна из линейно связных областей, на которые кривая C разбивает плоскость, c – произвольная точка кривой C. Если из кривой C выбросить сколь угодно малую дугу δ, содержащую точку c, то оставшаяся дуга A = C \ δ не разбивает плоскость. Поэтому точку x Ω можно соединить с точкой y, лежащей в другой компоненте связности, путём γ, не пересекающим A. Путь γ должен пересекать кривую C, поэтому он пересекает дугу δ. У пути γ есть участок, который соединяет точку x с точкой дуги δ и целиком принадлежит области Ω (за исключением точки дуги δ). Таким образом, граница области Ω содержит всюду плотное подмножество кривой C, а значит, она содержит и всю кривую C, поскольку граница – замкнутое множе-

Ω1 точку x1 можно соединить путём γ1j с некоторой точкой дуги δj. При этом можно добиться, чтобы пути γ11, γ12 и γ13 пе-

ресекались только в точке x1. Для этого в окрестности точки пересечения эти пути нужно перестроить так, как показано на рис. 36.

Для точек x2 и x3 пути γ2i и γ3i определим аналогично. Добавив к путям γij, где i, j = 1, 2, 3, части дуг δi, получим вложение графа K3,3