топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

3.2.Многочлен от трёх переменных

В[101] введён полиномиальный инвариант f(G; t, x, y), удовлетворяющий соотношению f(G) = xf(G/e) + yf(G − e) (для всех рёбер e, в том числе и для петель) и принимающий на графе Kn значение tn.

У п р а ж н е н и е 2. а) Докажите, что если G – связное дерево, содержащее n рёбер, то f(G) = t(x + ty)n.

б) Докажите, что если G – цикл длины n, то f(G) = t(x + ty)n + + (t − 1)xn.

Коэффициенты многочлена f имеют следующую комбинаторную интерпретацию.

Т е о р е м а 3.5. Пусть G – граф, содержащий v вершин и e рёбер. Тогда

=0 j=1

где bij – количество таких i-элементных подмножеств Y множества рёбер графа G, что после уничтожения в графе G всех рёбер, принадлежащих множеству Y , получается граф, содержащий j компонент связности.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно из определения многочлена f видно, что его можно вычислять следующим образом. Разобьём рёбра графа G на два множества X и Y . Затем все рёбра из множества X стянем, а все рёбра из множества Y уничтожим. Такому набору операций соответствует моном t jxe−iyi . Чтобы вычислить многочлен f, нужно рассмотреть все подмножества Y и сложить все полученные мономы. 2

Сл е д с т в и е 1. Коэффициенты многочлена f неотрицатель-

ны.

Сл е д с т в и е 2. Если графы K и H не имеют общих вершин, то f(K H) = f(K) f(H).

С л е д с т в и е 3. Если пересечение графов K и H состоит в точности из одной вершины, то f(K H) = t−1 f(K) f(H).

K и H. Предположим, что после выбрасывания из K и H рёбер, принадлежащих Y1 и Y2, получаются графы, содержащие j1 и j2 компонент связности. Тогда после выбрасывания из K H рёбер, принадлежащих множеству Y1 Y2, получается граф, содержащий j1 + j2 − 1 компонент связности (общая вершина графов K и H соединяет две компоненты

Следствие 3 позволяет строить примеры неизоморфных графов с одинаковыми многочленами f(G). А именно, мы берём графы K и H и поочерёдно отождествляем одну из вершин графа K с разными вершинами графа H. При этом могут получаться неизоморфные графы, но у них многочлен f(G) будет одним и тем же. Есть ещё одно преобразование графов, при котором получаются графы с одинаковыми многочленами f(G).

Т е о р е м а 3.6. Пусть u1 и u2 – вершины графа K, v1 и v2 – вершины графа H. Предположим, что граф G1 получен из графов K и H отождествлением вершин u1 и v1, u2 и v2, а граф G2 получен из графов K и H отождествлением вершин u1 и v2, u2 и v1. Тогда

f(G1) = f(G2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в множествах рёбер графов K и H подмножества X1 и X2. Такие подмножества находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножествами в множествах рёбер каждого из графов Gi, i = 1, 2. При этом в графе G1 ребро, соединяющее вершины v1 и v2, входит в множество X = X1 X2 тогда и только тогда, когда оно входит в множество X в графе G2. Поэтому в графах G1 и G2 число компонент связности графа, образованного рёбрами из множества X,

3.3.Многочлен Ботта–Уитни

Многочлен Ботта–Уитни R(G, t) определяется соотношением

которое выполняется только для рёбер e, которые не являются петлями. Значение многочлена R на графе, состоящем из одной вершины и n петель, равно (t − 1)n; значение многочлена R на объединении графов такого вида равно произведению значений на отдельных графах.

У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что R(G, 1) = 0. Многочлен Ботта–Уитни имеет следующую интерпретацию.

Т е о р е м а 3.7. Пусть G – граф, H – некоторое множество его рёбер, H – дополнение H в графе G (т. е. такой граф, что его рёбрами являются те рёбра графа G, которые не входят в H;

вершины у графа H те же самые, что и у графа G). Граф H гомотопически эквивалентен объединению попарно не пересекающихся букетов окружностей. Пусть b1 (H) – количество всех окружностей в этих букетах. Тогда

X

H G

где e(H) – число элементов множества H; суммирование ведётся по всем подмножествам рёбер, включая пустое множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть граф G состоит из нескольких изолированных вершин с петлями. Если общее количество этих петель равно m, то

а значит, b1 (H) = b1 (H/e). Пусть теперь e H, т. е. H = H1 {e}. Тогда e(H) = e(H1) + 1, а значит, (−1)e(H) = −(−1)e(H1) . Кроме того, дополне-

Т е о р е м а 3.8. Пусть граф G состоит из двух графов G1 и G2, которые либо не пересекаются, либо имеют одну общую вершину

ине имеют общих рёбер. Тогда R(G) = R(G1)R(G2).

До к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся равенством (3). Представим

множество H в виде H = H1 H2, где Hi состоит из рёбер графа Gi. Тогда e(H) = e(H1) + e(H2) и b1 (H) = b1 (H1) + b1 (H2), где H1 и H2 – до-

С л е д с т в и е 1. Если у графа G есть свободное ребро (т. е. ребро, из одного конца которого не выходит других рёбер), то R(G) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что если граф G1 состоит из одного ребра, то R(G1) = 0. Граф G со свободным ребром можно представить в виде объединения графа G1 и некоторого графа G2, пересекающего G1 в одной вершине. Поэтому R(G) = R(G1)R(G2) = 0. 2

С л е д с т в и е 2. Если граф G является циклом, то R(G) = t −1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть e – ребро графа G. Тогда граф G − e имеет свободное ребро, поэтому R(G − e) = 0. Граф G/e является циклом

Глава II

Топология в евклидовом пространстве

§ 4. Топология подмножеств евклидова пространства

4.1.Расстояние от точки до множества

Пусть A Rn – произвольное подмножество. Для произвольной точ-

ки x Rn величину d(x, A) = inf kx − ak называют расстоянием от точ-

a A

З а м е ч а н и е. Теорема 4.1 верна и для произвольного метризуемого топологического пространства. Доказательство в точности то же самое. Это замечание относится и к теореме 4.2.

Пусть A, B Rn – произвольные подмножества. Величину d(A, B) =

=inf ka − bk называют расстоянием между множествами A и B.

a A, b B

точка c0 C, что d(A, C) = d(A, c0). Если множество A тоже компактно, то существует ещё и такая точка a0 A, что d(A, C) = = d(a0, c0).

С л е д с т в и е. Пусть A и B – непересекающиеся замкнутые подмножества Rn. Тогда существуют непересекающиеся открытые множества U A и V B, замыкания которых тоже не пересекаются.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f : Rn → [−1, 1] – такая непрерывная функция, что f(A) = {−1} и f(B) = {1}. В качестве U и V можно выбрать

С помощью леммы Урысона можно доказать, что существует продолжение любой непрерывной функции, заданной на замкнутом подмножестве евклидова пространства.

Т е о р е м а 4.4 (Титце). Пусть X Rn – замкнутое подмножество, f : X → [−1, 1] – непрерывная функция. Тогда существует непрерывная функция F : Rn → [−1, 1], ограничение которой на X совпадает с f.

3r1 = 1 и rk → 0 при k → ∞. Построим последовательность непрерывных функций f1, f2, . . . на множестве X и последовательность непрерывных функций g1, g2, . . . на Rn следующим образом. Положим f1 = f. Пусть функции f1, . . . , fk уже построены. Рассмотрим замкнутые непересекающиеся множества

Ak = {x X | fk (x) 6 −rk} и Bk = {x X | fk (x) > rk}.

К этим множествам можно применить лемму Урысона и найти непре-

рывное отображение gk : Rn → [−rk, rk], для которого gk (Ak) = {−rk} и gk (Bk) = {rk}. На множестве Ak функции fk и gk принимают значения,

заключенные между −3rk и −rk; на множестве Bk они принимают значения, заключенные между rk и 3rk; во всех остальных точках множества X эти функции принимают значения, заключенные между −rk и rk. Положим

fk+1 = fk − gk|X . Функция fk+1 непрерывна на X и |fk+1 (x)| 6 2rk = 3rk+1 при всех x X.

∞

к некоторой непрерывной функции F(x) = P gk (x). При этом

k=1

(g1 + . . . + gk)|X = (f1 − f2) + (f2 − f3) + . . . + (fk − fk+1) = = f1 − fk+1 = f − fk+1.

что A ∩ X = , поэтому по теореме Урысона существует непрерывная функция ϕ : Rn → [0, 1], для которой ϕ(A) = {0} и ϕ(X) = {1}. Положим

Теорема Титце и её следствие верны также и для отображений в Rm; для доказательства достаточно применить теорему Титце покоординатно.

Теорема Титце часто используется для построения продолжений непрерывных отображений. Вот весьма интересный пример её приме-

обратные гомеоморфизмы. Согласно теореме Титце их можно продолжить