топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

42 Глава I. Графы

Топологические пространства X и Y называют гомотопически эквивалентными, если существуют такие непрерывные отображения f : X → Y и g : Y → X, что отображения f ◦ g и g ◦ f гомотопны тождественным отображениям пространств Y и X, соответственно. Для гомотопической эквивалентности пространств X и Y используется обозначение X Y .

Топологическое пространство называют стягиваемым, если оно гомотопически эквивалентно точке.

У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что пространство Rn стягиваемо. Топологическое пространство X называют линейно связным, если

любые две его точки x0 и x1 можно соединить путём, т. е. существует непрерывное отображение f отрезка I = [0, 1] в X, для которого f(0) = x0

иf(1) = x1.

Уп р а ж н е н и е 2. Докажите, что линейно связное пространство

связно.

З а д а ч а 2.2. Докажите, что следующие топологические пространства матриц линейно связны: а) пространство вещественных матриц порядка n с положительным определителем; б) пространство SO(n),

букет X Y можно определить как подмножество в X × Y , состоящее из таких точек (x, y), что x = x0 или y = y0. Аналогично для пространств X1, . . . , Xn с отмеченными точками x1, . . . , xn можно определить букет

X1 . . . Xn = X1 . . . Xn/{x1, . . . , xn}. Букет n окружностей изображён на рис. 20.

Т е о р е м а 2.1. Любой конечный связный 1-мерный комплекс гомотопически эквивалентен букету окружностей.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что концы ребра A 1-мер- ного комплекса X не совпадают. Тогда A представляет собой отрезок, а не окружность, поэтому существует гомотопия ft : A → A, связывающая тождественное отображение f0 = idA и постоянное отображение f1 : A → A. Докажем, что в таком случае про-

странства X и X/A гомотопически эквивалентны. Гомотопию ft : A → A можно продолжить до такой гомотопии Ft : X → X, что F0 = idX . Иными словами, отображение множества (A × I) (X × {0}) X × I можно продолжить до отображения всего множества X × I. Это продолжение строится следующим образом. Пусть оба конца ребра B принадлежат ребру A. Тогда отображение задано на трёх из четырёх сторон квадрата B × I; на рис. 21 эти стороны изображены сплошными линиями, а четвертая сторона квадрата изображена пунктиром. Все точки луча, выходящего из точки P, отобразим в одну и ту

же точку (образ точки пересечения луча с одной из трёх выделенных сторон). Если один конец (или оба конца) ребра B не принадлежит ребру A, то на одной боковой стороне (или на обеих боковых сторонах) отображение задаём произвольно. Затем аналогично строим продолжение отображения для рёбер, граничащих с A и B, и т. д.

Пусть p : X → X/A – естественная проекция. Отображение F1 обладает следующим свойством: F1 (A) = A. Поэтому существует (единственное) отображение q : X/A → A, для которого F1 = q ◦ p. Для доказательства гомотопической эквивалентности пространств X и X/A достаточно проверить, что q ◦ p idX и p ◦ q idX/A. Гомотопия Ft по построению связывает отображения F1 = q ◦ p и F0 = idX . А так как Ft (A) A при всех t, то p ◦ Ft = qt ◦ p, где qt – некоторая гомотопия, связывающая отображения q0 = idX/A и q1 = p ◦ q.

Последовательные переходы от 1-мерного комплекса X к 1-мерному комплексу X/A приводят в конце концов к 1-мерному комплексу, у которого нет рёбер с несовпадающими концами. Такой комплекс представляет

Нетрудно убедиться, что связный 1-мерный комплекс, содержащий n0 вершин и n1 рёбер, гомотопически эквивалентен букету n1 − n0 + 1 окружностей. Чтобы доказать это, построим максимальное дерево, т. е. стягиваемый подкомплекс, содержащий все вершины. Фиксируем для этого некоторую вершину P0 и рассмотрим множества Sn, n = 1, 2, . . . , состоящие из тех вершин, для которых самый короткий путь до P0 проходит ровно через n рёбер. Соединим каждую вершину из множества

46 Глава I. Графы

F(s, t) = fs (h(t)). Семейство путей, один из которых изображён на рис. 25, представляет собой гомотопию, связывающую петли f1h и α−1 (f0h)α. 2

Т е о р е м а 2.3. Фундаментальные группы гомотопически эквивалентных линейно связных топологических пространств изоморфны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что линейно связные топологические пространства X и Y гомотопически эквивалентны. Тогда существуют отображения f : X → Y и g : Y → X, для которых fg idY и gf idX . Согласно теореме 2.2 гомоморфизмы g f : π1 (X, x0) →

→ π1 (X, gf(x0)) и f g : π1 (Y , y0) → π1 (Y , fg(y0)) являются композициями тождественного отображения и изоморфизма, т. е. изоморфизмами.

Рассмотрим гомоморфизмы

(Здесь f (1) и f (2) – гомоморфизмы фундаментальных групп с разными отмеченными точками, индуцированные одним и тем же отображением f.) Гомоморфизм g f (1) – изоморфизм, поэтому g – эпиморфизм. Гомоморфизм f (2) g – изоморфизм, поэтому g – мономорфизм. В итоге получаем, что g – изоморфизм. 2

Из теорем 2.1 и 2.3 следует, что фундаментальная группа связного 1-мерного комплекса изоморфна фундаментальной группе некоторого букета окружностей. А именно, фундаментальная группа связного 1-мер- ного комплекса, содержащего n0 вершин и n1 рёбер, изоморфна фундаментальной группе букета n1 − n0 + 1 окружностей.

2.2.Накрытия 1-мерных комплексов

накрытия. Если дискретное множество D состоит ровно из n точек, то говорят, что накрытие n-листно. Прообраз точки x0 X называют слоем над точкой x0. Слой n-листного накрытия состоит ровно из n точек.

За д а ч а 2.3. а) Пусть Kn — полный граф с n вершинами, p : Kn →

→G – некоторое накрытие. Докажите, что число листов этого накрытия нечётно.

б) Докажите, что существует накрытие p : Kn → G с любым нечётным числом листов.

В этой главе мы будем рассматривать только накрытия 1-мерных комплексов.

Прямую R можно рассматривать как 1-мерный комплекс с вершинами

ет единственное поднятие пути γ (t) с началом в точке x˜ 1. Пример отображения exp показывает, что поднятие замкнутого пути не обязательно будет замкнутым путём (рис. 28). Накрытие p : Xh → X индуцирует го-

моморфизм p : π1 (Xh, x˜ 0) → π1 (X, x0), где x0 = p(x˜ 0). Класс петли γ (t)X с началом в точке x0 принадлежит подгруппе p π1 (Xh, x˜ 0) π1 (X, x0) тогда и только тогда, когда поднятие этой петли с началом в точке x˜ 0 за-

мкнуто. Если рассмотреть другую точку x˜ 1 из прообраза точки x0, то груп-

пы G0 = p π1 (Xh, x˜ 0) и G1 = p π1 (Xh, x˜ 1) не обязательно будут совпадать. В самом деле, G1 = α−1G0α, где α – проекция пути в Xh, соединяющего

точки x˜ 0 и x˜ 1. Совпадение групп G0 и G1 эквивалентно тому, что поднятие петли γ с началом в точке x˜ 0 замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто поднятие этой петли с началом в точке x˜ 1. Ясно также, что для петли γ с началом и концом в точке x0 любое её поднятие соединяет некоторые точки прообраза точки x0. Поэтому для любой петли γ с нача-

48 Глава I. Графы

лом x0 её поднятия, начинающиеся в разных точках прообраза точки x0, одновременно замкнуты или одновременно незамкнуты лишь в том случае,

В таком случае накрытие p называют регулярным. Пример нерегулярного накрытия изображён на рис. 29. По-другому то же самое накрытие изображено на рис. 30.

p : π1 (Xh, x˜ 0) → π1 (X, x0). Прежде всего покажем,Изучим теперь более подробно гомоморфизм

Рис. 30. Другое изображение нерегулярного накрытия

Концы путей ωh(s, t) образуют путь γh, проецирующийся в γ1, причём началом (и концом) пути γh служит точка x˜ 0. Поэтому γh совпадает с γh1, а значит, γhs (t) = ωh(s, t) – гомотопия, соединяющая петли γh0 и γh1.

Для подгруппы H = p π1 (Xh, x˜ 0) π1 (X, x0) =

= G можно рассмотреть правые смежные клас-сы Hg , g G. Смежные классы Hg1 и Hg2 сов-

G → p−1 (x0). Покажем, что это отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между правыми смежными классами и точками

множества p−1 (x0). Пусть γh1 и γh2 – поднятия с началом x˜ 0 петель γ1 и γ2. Конец пути γh1 совпадает с концом пути γh2 тогда и только тогда, когда γh1γh2−1 – замкнутый путь с началом x0, т. е. γh1γh2−1 H. Остаётся заметить, что рассматриваемое отображение G → p−1 (x0) является отображением на всё множество p−1 (x0). В самом деле, в точку x˜ 1 p−1 (x0) отображается элемент группы π1 (X, x0), соответствующий проекции пути в Xh

сначалом x˜ 0 и концом x˜ 1; проекция этого пути является петлей в X

сначалом x0. Итак, доказано следующее утверждение.

Т е о р е м а 2.4. Если p : Xh → X – накрытие и p(x˜ 0) = x0, то существует взаимно однозначное соответствие между множеством смежных классов π1 (X, x0)/p π1 (Xh, x˜ 0) и слоем p−1 (x0).

В общем случае множество смежных классов не имеет естественной структуры группы. Например, если однозначно определено произведение классов Hg и Hg−1, то для всех g G должно выполняться равенство HgHg−1 = H, т. е. gHg−1 = H. Это означает, что H – нормальная подгруппа в G, т. е. p – регулярное накрытие. Ясно также, что если H – нормальная подгруппа, то Hg1Hg2 = Hg1 g2, так как g1H = Hg1.

Итак, если накрытие p регулярное, то множество G/H, находящееся во взаимно однозначном соответствии с множеством p−1 (x0), имеет естественную структуру группы. В таком случае, фиксировав точку x˜ 0 p−1 (x0), множество p−1 (x0) тоже можно снабдить структурой группы. Эта группа допускает более геометрическое описание, чем факторгруппа π1 (X, x0)/p π1 (Xh, x˜ 0). Дело в том, что для регулярных накрытий в соответствие G/H ↔ p−1 (x0) можно вставить промежуточную группу Aut(p):

G/H ↔ Aut(p) ↔ p−1 (x0).

Здесь Aut(p) – группа автоморфизмов накрытия p, которую мы сейчас определим.

x˜ 0 X в заданную точку x˜ 1 X. Пусть y˜ 0 X – произвольная точка. Рассмотрим путь γh0, соединяющий точки x˜ 0 и y˜ 0. Пусть γ = pγh0 – проекция пути γh0, а γh1 – поднятие пути γ с началом в точке x˜ 1. Тогда автоморфизм f переводит путь γh0 в путь γh1, а значит, f(y˜ 0) = y˜ 1. Таким образом,

50 Глава I. Графы

изображённого на рис. 29, тождествен.

Т е о р е м а 2.6. а) Накрытие p : Xh → X регулярно тогда и только тогда, когда группа Aut(p) транзитивно действует на слое p−1 (x0), т. е. переводит любой элемент слоя в любой другой эле-

на слое p−1 (x0). Пусть ω – замкнутый путь с началом и концом в точке

класс гомотопных петель, содержащий петлю α. Сопоставим классу [α] следующий автоморфизм gα накрытия p. Пусть x˜ 0 p−1 (x0) – фиксированная точка слоя, y˜ 0 Xh – произвольная точка. Соединим x˜ 0 и y˜ 0 путём γh и рассмотрим путь γ = pγh. Положим gα (y˜ 0) = y˜ 1, где y˜ 1 – конец поднятия пути γα с началом x˜ 0.

Ядром гомоморфизма π1 (X, x0) → Aut(p) служит подгруппа π1 (Xh, x˜ 0).

из x˜ 0 в x˜ i. Петле αi соответствует автоморфизм, переводящий x˜ 0 в x˜ i.