топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

когда после выбрасывания любых его k − 1 вершин (и выходящих из них рёбер) получается связный граф.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [100]). Мы докажем более общее утверждение, а именно, если p(G, x, y) – наибольшее число независимых путей из вершины x в вершину y, а q(G, x, y) – наименьшее чис-

деле, пусть γ1, . . . , γp – независимые пути из x в y; x1, . . . , xq – точки (отличные от x и y), для которых любой путь из x в y проходит через одну из них. Из независимости путей γ1, . . . , γp следует, что каждый из них проходит не более чем через одну из точек x1, . . . , xq. С другой стороны, любой путь из x в y проходит через одну из точек x1, . . . , xq, поэтому p > q.

Предположим, что G – граф с минимальным числом рёбер, для которого не выполняется равенство p(G, x, y) = q(G, x, y). Тогда p = = p(G, x, y) < q(G, x, y) = q. У графа G есть рёбра, отличные от ребра xy. Пусть λ – одно из таких рёбер, G−λ – граф, полученный из гра-

фа выбрасыванием ребра , и A / – граф, полученный из графа

G λ G = G λ G

стягиванием ребра в одну точку. Число рёбер графов − и A

λ G λ G

строго меньше числа рёбер графа G, поэтому согласно предположе-

разделяющие x и y и состоящие менее чем из q элементов. Множеству Jˆ соответствует множество J вершин графа G, разделяющее x и y. При этом |J| 6 |Jˆ | + 1 и |J| > q. Следовательно, |J| = |Jˆ | + 1. Это означает, что оба конца ребра λ принадлежат множеству J.

Пусть Hx – множество вершин z I J, для которых в G есть путь из x в z, не проходящий через остальные вершины из множества I J; Hy определяется аналогично. Любой путь из x в y в графе G проходит через одну из вершин множества J, поэтому, в частности, он проходит через одну из вершин множества I J. Первая из таких вершин лежит в Hx, а последняя лежит в Hy. Поэтому множества Hx и Hy разделяют вершины

x и y в графе G, а значит, |Hx| > q и |Hy| > q.

Пусть z Hx ∩ Hy. Тогда в G есть пути из x в z и из z в y, не проходящие через вершины множества I J, отличные от z. Из этих двух

путей можно составить один путь γ из x в y. Путь γ проходит ровно через одну вершину множества I J, а именно, вершину z. Поэтому, в частности, путь γ не проходит через ребро λ, поскольку оба конца

34 Глава I. Графы

ребра λ лежат в J. Следовательно, путь γ принадлежит графу G − λ, а значит, путь γ проходит через одну из вершин множества I. Но такой вершиной может быть только вершина z. Кроме того, путь γ проходит через одну из вершин множества J; такой вершиной тоже может быть только вершина z. Таким образом, z I ∩ J, т. е. Hx ∩ Hy I ∩ J. Поэтому

|Hx| + |Hy| = |Hx ∩ Hy| + |Hx Hy| 6 |I ∩ J| + |I J| = |I| + |J|,

но этого не может быть, поскольку |Hx| > q, |Hy| > q, |I| < q и |J| = q. 2

С л е д с т в и е. Пусть G1 и G2 – k-связные подграфы одного

итого же графа. Тогда если |G1 ∩ G2| > k, то граф G1 G2 k-связен.

До к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме Менгера–Уитни после выбрасывания произвольных k − 1 вершин графа G1 G2 графы G1 и G2 остаются связными. У графов G1 и G2 есть общая вершина, отличная от выброшенных вершин, поэтому граф G1 G2 тоже остаётся связным. 2 Важным примером n-связных графов являются графы, образованные рёбрами выпуклых многогранников в n-мерном пространстве. Будем называть граф n-реализуемым, если его можно реализовать как набор

рёбер (невырожденного) выпуклого многогранника в Rn.

Т е о р е м а 1.12 (Балинский [31]). Любой n-реализуемый граф является n-связным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Pn – многогранник в Rn, рёбра которого образуют рассматриваемый граф. Требуется доказать, что если выбросить произвольные вершины A1, . . . , An−1 и выходящие из них рёбра, то в результате получится связный граф. Пусть V – аффинное простран-

не поднимаясь при этом на гиперплоскость H2, и, в частности, не проходя через вершины A1, . . . , An−1 и выходящие из них рёбра. Из другой вершины B мы точно так же попадаем в некоторую вершину многогранника F2l = Pn ∩ H2. Остаётся заметить, что вершины многогранника F2l образуют связный граф.

С л у ч а й 2. V содержит внутренние точки многогранника Pn. Размерность пространства V не превосходит n − 2. Поэтому су-

ществует гиперплоскость H, содержащая пространство V и ещё хотя бы одну вершину An многогранника Pn, не лежащую в V . Пусть H1 и H2 –

Рис. 16. Уничтожение ребра e

если в результате такой операции возникнут вершины степени 2, удалим их, т. е. заменим одним ребром два ребра с общей вершиной, из которой не выходит никаких других рёбер (рис. 16).

Мы рассматриваем только графы без петель и двойных рёбер, поэтому уничтожать можно не любое ребро: после уничтожения ребра могут появиться петли или двойные рёбра.

Ш а г 1. Любой 3-связный планарный граф G, число рёбер которого больше 6, имеет ребро e, уничтожив которое, получим 3-связный планарный граф G0.

Планарность графа, который получается после уничтожения ребра, очевидна. Для 3-связных графов мы докажем одно общее утверждение, из которого вытекает утверждение шага 1.

Пусть Π = {π0, . . . , πn} – набор несамопересекающихся путей в графе G. Сопоставим графу G и набору путей Π 1-мерный комплекс GΠ, у которого могут быть петли и двойные рёбра. Вершинами комплекса GΠ будут те вершины графа G, которые являются концами путей πi Π, и те вершины графа G, через которые проходят по крайней мере два пути πi. Рёбрами комплекса GΠ будут дуги путей πi, высекаемые на этих путях вершинами GΠ.

Л е м м а. Пусть G – 3-связный граф. Тогда существует такой набор путей {π0, . . . , πn}, что для Π(k) = {π0, . . . , πk}, где 1 6 k 6 n, выполняются следующие свойства:

1)комплекс GΠ(k) является 3-связным графом;

2)GΠ(1) = K4;

3)GΠ(n) = G;

4)при k = 1, . . . , n − 1 путь πk+1 не пересекает граф GΠ(k) в точ-

ках, отличных от концов пути πk+1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Набор путей {πi } для графа G будем строить по индукции. Прежде всего докажем, что любой 3-связный граф G содержит подграф, гомеоморфный K4. Пусть x и y – две различные вершины графа G. По условию существуют независимые пути σ1, σ2 и σ3 из x в y. Из этих трёх путей только один путь может быть ребром. Пусть для

определённости пути σ2 и σ3 проходят через вершины z2 и z3, отличные от x и y. После выбрасывания точек x и y остаётся связный граф, поэтому точки z2 и z3 можно соединить путём σ, не проходящим через x и y. Путь σ может частично проходить по σ2 и σ3, но у него есть участок, не проходящий по σ2 σ3 и соединяющий вершины v σ2 и w σ3. Вершины x, y, v, w и высекаемые ими на путях σ, σ1, σ2, σ3 дуги образуют подграф, гомеоморфный K4.

Среди всех подграфов графа G, гомеоморфных K4, выберем подграф T , которой содержит наибольшее число вершин графа G. Пусть x, y, v, w – его вершины. В качестве π0 выберем путь vw, а в качестве π1 выберем путь vxwy. Тогда GΠ(1) = K4.

Предположим, что пути π0, . . . , πk уже построены и GΠ(k) 6= G. Тогда выполняется одно из двух условий:

а) существует вершина z графа G, которая лежит на ребре графа GΠ(k) , но не является вершиной графа GΠ(k) ;

б) условие а) не выполняется, но существует вершина z графа GΠ(k) , из которой выходит ребро графа G, не являющееся ребром графа GΠ(k) .

Действительно, из связности графа G следует, что если некоторая вершина графа G не принадлежит графу GΠ(k) , то существует ребро графа G, один конец которого принадлежит графу GΠ(k) , а другой не принадлежит.

Вслучае а) рассмотрим ребро e графа GΠ(k) , содержащее вершину z. Пусть z1 и z2 – концы ребра e, а z0 – вершина графа GΠ(k) , отличная от z1 и z2. Из 3-связности графа G следует, что в нём существует путь из z

вz0, не проходящий через z1 и z2. Поэтому в графе G существует путь из некоторой внутренней точки ребра e в некоторую точку (не обязательно

вершину) графа GΠ(k) , не имеющий с графом GΠ(k) общих точек, отличных от концов пути. В качестве πk+1 выберем такой путь, содержащий наибольшее число вершин графа G.

Вслучае б) любое ребро графа GΠ(k) является также и ребром графа G. В графе G существует путь σ, идущий из вершины z в некоторую

точку графа GΠ(k) и не имеющий других общих точек с графом GΠ(k) . Пути π0, . . . , πk выбирались так, чтобы они содержали наибольшее число вершин графа G. Поэтому путь σ ведёт из вершины z в вершину графа G,

не соседнюю с z. В качестве пути πk+1 выберем путь σ, проходящий через наибольшее число вершин графа G.

Вслучае б) в графе проводится дополнительное ребро; это не может нарушить 3-связность графа.

Вслучае а) либо на одном ребре выбирается дополнительная вершина u и из нее проводится ребро в уже имеющуюся вершину, либо на двух рёбрах выбираются дополнительные вершины u и v и проводится ребро uv. Ясно, что после выбрасывания любых двух вершин нового

Рис. 17. Три варианта уничтожения ребра

графа, отличных от u и v, граф остаётся связным. Выбрасывание вершины u эквивалентно выбрасыванию ребра в старом графе, на котором лежит вершина u. После выбрасывания одного ребра 3-связный граф превращается по крайней мере в 2-связный граф. Поэтому новый граф 3-связен.

Остальные требования, которым должен удовлетворять путь πk+1,

{π0, . . . , πn} – набор путей для 3-связного графа G, содержащего более 6 рёбер. Этот граф отличен от K4, поэтому n > 1. У графа G нет вершин степени 2, поэтому путь πn состоит из одного ребра графа G. После уничтожения этого ребра получаем 3-связный граф GΠ(n−1) , что

Теперь нужно сделать второй шаг – научиться строить по выпуклому многограннику P0, соответствующему графу G0, выпуклый многогранник P, соответствующий графу G. В планарном графе G уничтожаемое ребро может быть одного из трёх видов, изображённых на рис. 17. Этим трём видам уничтожаемых рёбер графов соответствуют три вида добавляемых рёбер многогранников; они изображены на том же рисунке.

Требуемое преобразование многогранников можно попытаться построить, слегка пошевелив грани F1 и F2, чтобы они оказались в разных плоскостях (в исходном многограннике P0 они лежат в одной плоскости, а в многограннике P они должны лежать в разных плоскостях). Но при этом возникает одна трудность: если плоскость грани проходит через n-гранный угол, где n > 4, то шевелить её нельзя, потому что иначе нарушится структура графа рёбер многогранника. Например, для многогранника, изображённого на рис. 18, нельзя шевелить ни грань F1,

Рис. 19. Граф Gh

Требуется упорядочить вершины графа Gh так, чтобы в последовательности вершин каждая вершина была бы соединена рёбрами не более чем с тремя предыдущими. При этом в качестве четырёх первых вершин нужно взять заданные вершины k1, k2, k3 и k4, порождающие цикл в графе Gh.

В графе Gh все грани 4-угольные, поэтому можно воспользоваться следствием теоремы 1.8 (см. с. 30). В результате получим, что граф Gh имеет по крайней мере 8 вершин степени 3 (вершин степени 1 и 2 у него, очевидно, нет). В частности, граф Gh имеет вершину степени 3, отличную от вершин k1, k2, k3 и k4. Эту вершину мы выберем в качестве последнего члена последовательности и обозначим её kn (здесь n – число вершин графа Gh). Пусть K(n) – граф, полученный из графа Gh выбрасыванием вершины kn и выходящих из неё рёбер.

Предположим, что вершины kn, kn−1, . . . , km уже выбраны и, кроме того, построены графы K(n), K(n − 1), . . . , K(m). Если m > 5, то нужно выбрать вершину km−1 и построить граф K(m − 1). По условию вершины k1, k2, k3 и k4 заданы так, что порождаемый ими граф является циклом. В частности, степень каждой из этих вершин не меньше 2. Если граф K(m) содержит изолированную вершину или вершину степени 1, то такую вершину можно выбрать в качестве вершины km−1. Если же степень любой вершины графа K(m) не меньше 2, то возможны два случая.

С л у ч а й 1. В графе K(m) подграф, порожденный вершинами

k1, k2, k3 и k4, изолирован.

Выбросим из графа K(m) вершины k1, k2, k3 и k4. К полученному графу снова можно применить следствие теоремы 1.8 и найти в этом