
топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии
.pdf§ 20. |
CW -комплексы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
291 |
|||||
|
Сопоставим каждому |
элементу u |
|
pin(n) отображение ϕ(u) : |
R |
n |
→R |
n, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
заданное формулой ϕ(u)x |
= uxu |
|
. Прежде всего нужно проверить, что |
||||||||||||||||||||
элемент uxu действительно лежит |
в Rn, т. е. представляется |
|
в ви- |
||||||||||||||||||||
де линейной |
комбинации |
|
элементов e1, . . . , en. Достаточно рассмот- |
||||||||||||||||||||
реть |
случай, |
когда |
u S |
n−1 |
. Пусть u |
= |
u e |
и |
x = |
x e . |
|
Тогда |
|||||||||||
j |
|
|
P |
i i |
|
|
i |
i |
|
|
|
||||||||||||
ux |
= |
− ui xi |
+ |
i |
j i |
. |
В |
|
|
|
|
uxu |
|
P |
|
|
часть, |
||||||
|
|
P |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i6= j
лежащая в Rn по очевидным причинам. Оставшаяся часть имеет вид P uixj ukei ejek, где суммирование ведётся по тройкам попарно различных чисел. Но eiej ek = −ekej ei, поэтому указанная сумма равна нулю.
Проверим, далее, что ϕ(u) – ортогональное преобразование. Прежде всего заметим, что если u = u1 . . . uk, где ui Sn−1, то u u = uu = (−1)k.
Кроме того, как мы уже говорили, |
|
|
xiei |
2 |
= − |
P |
xi2 = −kxk2. Поэтому |
|||||||||||||||||||||
|
ϕ |
(u)x |
|
2 = |
|
uxu uxu |
= |
( |
|
1) |
P |
|
|
|
|
|
= |
|
|
x |
|
2. |
|
|
||||
k |
|
|
k |
|
− |
|
|
− − |
|
|
|
|
− |
k |
|
k |
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|||
|
|
Т е о р е м а 20.3. |
Отображение ϕ : pin(n) |
→ |
O(n) является эпи- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
и Ker ϕ|Spin(n) = |
|||||||||||||||
морфизмом групп. При этом ϕ |
|
(SO(n)) = Spin(n) |
||||||||||||||||||||||||||
= {1, −1}. |
|
|
|
|
Ясно, |
|
что |
ϕ(uv)x |
|
= uvx(uv) |
|
= uvxv |
|
|
||||||||||||||
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. |
|
|
|
|
u |
= |
= ϕ(u)ϕ(v)x. Поэтому ϕ – гомоморфизм групп.
Покажем, что если u Sn−1, то ϕ(u) – симметрия относительно гиперплоскости, ортогональной вектору u. Представим x в виде λu + w, где
Нужно проверить, что ϕ(u)x = |
− |
λu + w. Но ϕ(u)x = u(λu + w)u = |
||||||||||||||||
w u. |
|
uwu |
|
|
− u |
|
|
|
|
|
|
|
проверить, |
что |
|
|||
u uu |
+ |
|
= |
+ |
uwu . |
|
Остаётся |
2 |
||||||||||
= λ |
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uwu = w |
|||
(в рассматриваемом случае |
u |
= u). Если |
ui wi = 0 |
и |
P |
ui = 1, то |
||||||||||||
i,j |
|
i |
j i i j i |
i,j |
ui |
wjej |
|
|
wj ej |
P |
|
|
||||||
uwu = |
u w u e e e = |
P |
2 |
|
= |
|
|
= w. Любое |
ортогональное |
|||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
- |
преобразование можно представить в виде композиции симметрий от носительно гиперплоскостей, поэтому ϕ – эпиморфизм. Ясно также, что ортогональное преобразование сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда оно является композицией чётного числа симметрий относительно гиперплоскостей. Поэтому ϕ−1 (SO(n)) = Spin(n).
Предположим, что u Spin(n) и ϕ(u)x = x для всех x. Тогда, в частно-
сти, uei u = ei, поэтому uei u u = eiu. Но u u = 1 для u Spin(n). Значит, uei = eiu. Наоборот, если uei = ei u для всех i и u Spin(n), то ϕ(u)x = x
для всех x. Несложно проверить, что если |
u = |
ai1...i2k ei1 . . . ei2k , |
то |
||||||||||||||||
ei uei |
= |
−eiuei |
= |
|
(−1) |
ε(i) |
ai1...i2k ei1 |
. . . |
ei2k , где |
ε |
(i) |
P |
|
/0 |
1 |
, . . . , i |
2k |
}, |
|
−1 |
|
|
P |
|
|
|
|
= 0, если i |
|
{i |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и ε(i) = 1, если i {i1, . . . , i2k}. Поэтому для элемента u Cn |
равенство |
||||||||||||||||||
ei u = uei |
выполняется для всех i тогда и только тогда, когда u = λ · 1, где |
||||||||||||||||||
λ R. Следовательно, Ker ϕ|Spin(n) = {1, −1}. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Итак, группа Spin(n) двулистно накрывает SO(n). Остаётся проверить, что это накрытие нетривиальное, т. е. пространство Spin(n) связно.

292 |
Глава VI. Фундаментальная группа |
Для этого достаточно проверить, что в Spin(n) есть путь, соединяющий точки 1 и −1. Этот путь можно задать формулой
(e1 cos t + e2 sin t) (e1 cos t − e2 sin t) = − cos 2t − e1e2 sin 2t, где t [0, π/2].
§ 21. Теорема Зейферта–ван Кампена
21.1.Эквивалентные формулировки
Предположим, что линейно связное топологическое пространство X является объединением линейно связных множеств U1 и U2, причём множество U1 ∩ U2 тоже линейно связно. Выберем точку x0 U1 ∩ U2 и рассмотрим фундаментальные группы π1 (U1 ∩U2, x0), π1 (U1, x0) и π1 (U2, x0). Предположим, что эти группы заданы наборами образующих S, S1, S2 и соотношений R, R1, R2. Для краткости будем одинаково обозначать отображение топологических пространств и индуцированное им отображение фундаментальных групп. При вложении ψi : Ui → X элемент si Si
вэлемент ψi si π1 (X, x0), поэтому в π1 (X, x0) можно рассмотреть наборы элементов (алфавиты) ψ1S1 и ψ2S2; при этом каждый элемент образа отображения ψi : π1 (Ui , x0) → π1 (X, x0) можно записать в алфавите ψiSi. Возьмём теперь элемент s S и рассмотрим его образ в π1 (Ui , x0) при вложении ϕi : U1 ∩ U2 → Ui. Элемент ϕis можно записать в алфавите Si , а элемент ψiϕi s можно записать в алфавите ψi Si. При этом
вгруппе π1 (X, x0) выполняется соотношение ψ1ϕ1s = ψ2ϕ2s, поскольку
|
|
ψ1ϕ1 = ψ2ϕ2 |
(обе композиции |
задают одно |
||
|
и то же отображение – вложение U1 ∩ U2 в X). |
|||||
|
|
|||||
|
|
Итак, в |
группе π1 (X, x0) |
есть элементы |
||
|
|
ψ1S1 и ψ2S2, причём эти элементы связаны |
||||
|
|
соотношениями ψ1R1, ψ2R2 |
и ψ1ϕ1s = ψ2ϕ2s, |
|||
|
s S. Рассмотрим группу |
G, |
порождённую |
|||
|
|
|||||
|
|
образующими ψ1S1, ψ2S2 |
и |
соотношения- |
||
|
|
ми ψ1R1, ψ2R2 и ψ1ϕ1s = ψ2ϕ2s, s S. Есте- |
||||
|
|
ственно ожидать, что группа |
G изоморфна |
|||
|
π1 (X, x0). Если не накладывать никаких огра- |
|||||
|
|
|||||
Рис. 110. |
Контрпример |
ничений (кроме линейной связности), то это |
||||
утверждение неверно; соответствующий пример |
||||||
|
|
можно построить для X = S1 (см. рис. 110). Но если на рассматриваемые пространства наложены некоторые ограничения, то это утверждение верно. Например, в 1931 г. Зейферт [121] доказал, что оно верно в случае, когда U1 и U2 – подкомплексы симплициального комплекса, а в 1933 г.

§ 21. Теорема Зейферта–ван Кампена |
293 |
ван Кампен [133] доказал, что оно верно в случае, когда U1 и U2 открыты в X.
Теорема Зейферта (для CW -комплексов) очевидным образом следует из теоремы 20.1 на с. 283, но при одном дополнительном предположении: в качестве образующих фундаментальных групп выбраны 1-мерные клетки, а в качестве соотношений выбраны 2-мерные клетки. Поэтому, прежде чем двигаться дальше, дадим инвариантное определение группы G, не зависящее от выбора систем образующих и соотношений.
Пусть G0, G1, G2 – группы, заданные наборами образующих S, S1, S2 и соотношений R, R1, R2. Для группы G задана коммутативная диаграмма
гомоморфизмов |
|
|
|
|
|
|
|
|
G1 |
AA ψ1 |
|
ϕ1 |
|
|== |
|||
|
|
| |
A |
||
|
|
| |
|
A |
|
G0 |
| |
|
|
G. |
|
B |
|
|
|||
|
|
|
>> |
||
|
|
B |
|
} |
|
|
|
|
} |
||
|
|
|
B |
} |
|
ϕ2 |
|
!! |
} |
ψ2 |
|
|
|
|
G2 |
|
|
Предположим, что для некоторой группы G0 задана коммутативная диа- |
|||||
грамма гомоморфизмов |
|
|
|
|
|
|
|
|
G1 |
|
0 |
ϕ1 |
|
|== |
CCψ1 |
||
|
|
| |
|
C |
|
|
| |
|
!! |
||
|
| |
|
|
||
G0 |
B |
|
|
G0. |
|
|
|
|
== |
||
|
B |
|
|
{ |
|
|
|
B |
|
{ |
|
ϕ2 |
|
B |
{ 0 |
||
|
!! |
{ |
ψ2 |
||
|
|
|
G2 |
|
|
Покажем, что в таком случае существует единственный гомоморфизм σ : G → G0, для которого σψi = ψi0. Пусть F – свободная группа с образующими ψ1S1 и ψ2S2; N – минимальная нормальная подгруппа F,
содержащая слова |
|
ψ1R1, ψ0 2R2 и ψ1ϕ1s(ψ2ϕ2s)−1, s S. Для элемента |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
si Si положим σψisi = ψi si . Любое отображение образующих свобод- |
|||||||||||||||
ной группы F в произвольную группу однозначно продолжается до гомо- |
|||||||||||||||
морфизма, поэтому получаем гомоморфизм |
|
: F → G0. 0Если |
|
(N) = 1, |
|||||||||||
σ |
σ |
||||||||||||||
то гомоморфизм0 |
|
|
индуцирует гомоморфизм σ : G → G , для которого |
||||||||||||
σ |
|||||||||||||||
σψi = ψi . Поэтому нужно лишь проверить, что |
|
(N) = 1 (единственность |
|||||||||||||
σ |
|||||||||||||||
гомоморфизма σ следует из того, что элементы ψ1S1 и ψ2S2 порождают |
|||||||||||||||
группу G). Если ri Ri, то |
σψi ri = ψi0ri = 1, поскольку слово ri пред0 |
- |
|||||||||||||
ставляет единичный элемент0 |
группы0 0 |
Gi. Если s S, то |
σψi ϕis = ψi ϕi s, |
||||||||||||
поэтому из равенства ψ1ϕ1 = ρ = ψ2 |
ϕ2 следует, что |
σψ1ϕ1s = |
σψ2ϕ2s. |
|

294 Глава VI. Фундаментальная группа
Рассмотрим всевозможные коммутативные диаграммы гомомор-
физмов |
|
|
|
|
|
|
G1 |
@@ ψ1 |
|
ϕ1 |
|== |
|||
|
| |
@ |
||
|
| |
|
|
@ |
G0 |
| |
|
|
G |
B |
|
|
||
|
|
|
>> |
|
|
B |
|
~ |
|
|
|
~ |
||
|
B |
~ |
||
ϕ2 |
!! |
~ |
ψ2 |
|
|
|
G2 |
|
|
с фиксированными гомоморфизмами ϕ1 и ϕ2. Группу G, входящую в такую диаграмму, называют амальгамой групп G1 и G2 по отношению к группе G0 (и гомоморфизмам ϕ1 и ϕ2), если выполняется упомянутое выше универсальное свойство: для любой другой группы G0, входящей в аналогичную коммутативную диаграмму, существует единственный гомоморфизм σ : G → G0, для которого σψi = ψi0. Чтобы получить инвариантное определение группы G, остаётся проверить, что амальгама определена однозначно с точностью до изоморфизма.
Пусть G и G0 – две амальгамы по отношению к одним и тем же группам. Тогда существуют гомоморфизмы σ : G → G0 и σ0 : G0 → G, для которых σψi = ψi0 и σ0ψi0 = ψi. Рассмотрим гомоморфизм σ0σ : G → G. Он обладает следующим свойством: σ0σψi = σ0ψi0 = ψi. По условию гомоморфизм G → G, обладающий таким свойством, единствен. С другой стороны, тождественный гомоморфизм таким свойством обладает, поэтому σ0σ = idG. Аналогично σσ0 = idG0, а значит, σ – изоморфизм групп.
21.2.Доказательство
Т е о р е м а 21.1 |
(ван Кампен). Пусть U1 и U2 – открытые ли- |
||
нейно связные подмножества пространства X = U1 U2, причём |
|||
множество U1 ∩ U2 тоже линейно связно. Рассмотрим коммута- |
|||
тивную диаграмму |
|
|
|
|
|
π1 |
(U1) |
|
|
ϕ1 q88 |
MMψ1 |
|
|
qqq |
MM&& |
π |
1 (U1 ∩ |
U ) |
π (X), |
|
M2M |
q881 |
|
|
|
M |
q |
|
|
ϕ2 M&& |
qqψ2 |
|
|
π1 (U2) |
индуцированную вложениями (все фундаментальные группы берутся с одной и той же отмеченной точкой x0 U1 ∩ U2). Тогда группа π1 (X) является амальгамой групп π1 (U1) и π1 (U2) по отношению к группе π1 (U1 ∩ U2) и гомоморфизмам ϕ1 и ϕ2.
§ 21. Теорема Зейферта–ван Кампена |
295 |
Теорему ван Кампена удобнее доказывать в терминах образующих и соотношений, а не в терминах амальгам; выше мы объяснили, что обе формулировки эквивалентны.
Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [50]). Рассмотрим коммутативную диаграмму
|
|
|
π1 |
(U1) |
|
0 |
|
|
ϕ1 |
u:: |
IIψ1 |
||
|
|
uuu |
II$$ |
|||
π |
(U1 |
U ) |
|
|
H. |
|
1 |
∩II2 |
|
|
u:: |
||
|
|
I |
|
u |
||
|
|
u |
|
|||
|
|
ϕ2 |
I |
u |
|
0 |
|
|
$$ |
u ψ |
|
||
|
|
|
π1 (U2) |
|
2 |
|
Требуется доказать, что |
существует |
|
единственный гомоморфизм |
σ : π1 (X) → H, для которого σψi = ψi0. Единственность гомоморфизма σ легко выводится из следующего утверждения.
Ш а г 1 (образующие). Образы групп π1 (U1) |
и π2 (U2) при гомо- |
||||
морфизмах ψ1 и ψ2 порождают группу π1 (X). |
|
концом |
|||
Рассмотрим произвольную петлю |
α |
: [0, 1] → X |
с началом и |
||
|
−1 |
|
|||
в точке x0. Отрезок [0, 1] покрыт двумя открытыми множествами |
α |
(U1) |
|||
и α−1 (U2). Пусть δ – число Лебега этого покрытия. Выберем на отрез- |
|||||
ке [0, 1] точки 0 = t1 < t2 < . . . < tn+1 = 1 так, что |
tk+1 − tk < δ. Тогда |
образ каждого отрезка [tk, tk+1] целиком лежит в одном из множеств U1 или U2. Петля α представляет собой композицию путей (не обязательно замкнутых) α1α2 . . . αn, где αk – ограничение отображения α на отрезок [tk, tk+1]. Чтобы представить α в виде композиции петель, соединим каждую точку α(tk) Ui с точкой x0 путём βk, целиком лежащим в Ui; при этом если α(tk) U1 ∩ U2, то путь βk должен целиком лежать
в |
U U . В таком случае, если путь α |
|
целиком лежит в U , то петля |
|
−11 ∩ 2 |
k |
i −1 |
αkβk+1 |
|
βk αkβk+1 тоже целиком лежит в Ui , поэтому класс петли βk |
лежит в образе группы π1 (Ui) при гомоморфизме ψi. При этом петля α представляет собой композицию петель α1β2, β2−1α3β3, . . . , βn−−11αn−1βn,
βn−1αn.
Единственность гомоморфизма σ теперь легко доказывается. Дей-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
ствительно, |
представим элемент |
α π1 (X) в виде α = k=1 |
ψi(k) γk, |
где |
|||||||
|
|
1 |
i(k) |
|
i |
|
|
|
iQ |
i(k) |
|
γk |
|
π |
(U |
). Из равенства σψi = ψ0 |
следует, что |
σψ (k) γk = ψ0 |
γk. |
||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σα = |
ψ0 |
|
γ |
. |
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
i(k) |
k |
|
|
|
|
k=1

296 Глава VI. Фундаментальная группа
Формула (1) полностью определяет гомоморфизм σ. Остаётся лишь
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
проверить, что это определение корректно, т. е. α = |
ψ0 |
|
γk |
зависит |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зависит от представле |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
лишь от |
n |
и не |
|
|
Q |
|
|
|
|
- |
||
|
|
|
|
|
|
|
ния α = |
ψi(k) γk. Для этого достаточно |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
следующее утверждение. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
доказатьQ |
2 |
|
(соотношения). |
Если |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш а г |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
γk π1 (Ui(k)) и |
|
n |
ψi(k) γk = 1, |
то |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
ψi0(k) γk = 1. |
|
n |
kQ1 |
|
|
озна- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
kQ1 |
Равенство |
|
ψi(k) γk = 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
отображение |
||||
Рис. 111. Отображение квад- |
чает, что |
существует |
|||||||||||||||||
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
рата |
f : I2 → X, |
обладающее |
следующими |
свойствами:
– ограничение отображения f на нижнюю сторону квадрата I2 пред-
n
ставляет класс петли Q ψi(k) γk;
k=1
– отображение f переводит остальные стороны квадрата I2 в отмеченную точку x0 (рис. 111).
Пусть δ – число Лебега покрытия квадрата I2 открытыми множествами f−1 (U1) и f−1 (U2). Разобьём I2 на прямоугольники вертикальными и горизонтальными отрезками так, чтобы длина диагонали каждого прямоугольника была меньше δ. При этом в набор таких отрезков мы включим все вертикальные отрезки, делящие нижнюю сторону квадрата на n равных отрезков (предполагается, что каждый из этих равных отрезков соответствует одному из путей γi; в частности, концы этих отрезков отображаются в отмеченную точку x0).
По построению каждый прямоугольник целиком отображается в U1 или в U2. Пусть a – вершина одного из прямоугольников. Соединим точку f(a) с отмеченной точкой x0 путём ωa. При этом будем предполагать, что
если a Ui , то ωa Ui (в частности, если a U1 ∩ U2, то ωa U1 ∩ U2), а если a = x0, то ωa = x0 (постоянный путь).
Рассмотрим один из прямоугольников разбиения. Пусть α12, α23, α34, α41 – его стороны (рис. 112). Легко проверить, что в пространстве X петля β12β23β34β41, где βpq = ω−p 1 f(αpq)ωq, стягиваема. Для этого нужно убедиться, что соответствующее отображение S1 → X можно продолжить до отображения D2 → X. Требуемое отображение D2 → X можно построить следующим образом. Сначала отобразим D2 на прямоугольник с отрезками, выходящими из его вершин (рис. 113). На пря-


298 Глава VI. Фундаментальная группа
казать, что произведение элементов группы H, соответствующих нижней стороне квадрата, равно 1. Обозначим это произведение Π0 (рис. 114).
n |
Рассмотрим |
произведение всех соотношений ви- |
|
да β120 β230 β340 |
β410 = 1 для прямоугольников, непосред- |
||
|
|||
|
|||
|
ственно примыкающих к нижней стороне квадрата. |
n 1 Это произведение нужно записывать так, чтобы об-щие стороны прямоугольников входили в него с про-
2
|
|
|
|
|
|
|
|
тивоположными ориентациями. При таком условии |
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
в результате получим Π0 = Π1, где Π1 – произведение |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
элементов группы H, соответствующих второму снизу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
горизонтальному отрезку. (Элементы, соответствую- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 114. |
|
Произ- |
щие двум крайним вертикальным сторонам, не уни- |
||||||
ведения |
Πi |
чтожаются, но эти стороны целиком отображаются |
|||||||
в отмеченную точку x0, поэтому им соответствует |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
единичный элемент группы.) Затем аналогично получаем Π1 = Π2, . . . , |
Πn−1 = Πn. Но весь верхний горизонтальный отрезок отображается в от-
меченную точку x0, поэтому Πn = 1. |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
С л е д с т в и е. Если n |
> |
3, то π1 |
n = |
π1 (M |
n |
|
{x}), где x |
– |
про- |
|
(M ) |
|
\ |
|
|||||
извольная точка многообразия Mn. |
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е. Это утверждение можно доказать и без использования теоремы ван Кампена. Действительно, рассмотрим триангуляцию K многообразия Mn. Можно считать, что точка x лежит внутри симплекса n триангуляции K. Тогда пространство Mn \ {x} гомотопически эквивалентно симплициальному комплексу, который получается из K удалением симплекса n. Если n > 3, то 2-мерный остов не изменяется при удалении n-мерного симплекса.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в качестве U1 окрестность точки x, гомеоморфную Rn; в качестве отмеченной точки пространств Mn
и |
|
n |
\ {x} выберем произвольную точку |
множества U |
{x}. Множество |
||||||||||||||||
M |
|
|
|
n |
|
1 \ |
|
|
|
|
|||||||||||
{x} |
замкнуто, |
поэтому |
множество U |
= M |
|
\ |
{x} открыто. Ясно, что |
||||||||||||||
|
U |
|
= R |
n |
|
{x} |
|
S |
n−1 |
2 |
|
|
поэтому |
π (U |
U2) = 1. |
||||||
U |
1 ∩ |
|
|
\ |
|
|
. По условию |
n > 3, |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
того, |
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 1 ∩ |
|
n |
\ {x}) |
|||||
Кроме |
|
π1 (U1) = 1. |
Следовательно, группы π1 (M ) и π1 (M |
|
|||||||||||||||||
задаются одним и тем же набором образующих и соотношений. |
|
|
2 |
21.3.Группа узла
Узлом называют образ окружности при непрерывном отображении f : S1 → R3, а группой узла K называют группу π1 (R3 \ K, x0), где x0 R3 \ K – произвольная точка. Узел K называют полигональным, если отображение f кусочно линейно зависит от параметра ϕ на окруж-


300 |
Глава VI. Фундаментальная группа |
Рис. 117. Диаграмма узла |
Рис. 118. Окрестность перекрёстка |
–ни в какую точку не проецируется более двух различных точек узла;
–множество перекрёстков (точек плоскости, в которые проецируются две различные точки узла) конечно и проекции касательных к узлу
вдвух точках, соответствующих перекрёстку, не совпадают.
Для полигонального узла тоже можно выбрать плоскость проекции, обладающую аналогичными свойствами. При этом аналогом касательных к гладкому узлу являются прямые, содержащие звенья полигонального узла.
Диаграммой узла называют его проекцию на плоскость, для которой выполняются указанные выше условия. При этом на перекрёстках должно быть показано, какая ветвь узла проходит сверху, а какая снизу (рис. 117).
Рассмотрим вместо узла K узел K0, который совпадает с диаграммой узла K всюду, кроме малых окрестностей перекрёстков, а на перекрёстках одна из ветвей проходит сверху, а другая остаётся в плоскости диаграммы (рис. 118). Ясно, что группы узлов K и K0 изоморфны, поскольку пространства R3 \ K и R3 \ K0 гомотопически эквивалентны. При вычислении группы узла мы будем предполагать, что он расположен в пространстве
|
|
|
|
|
|
именно так, как узел K0. Мы огра- |
|||
|
|
|
|
|
|
ничимся одним простым |
приме- |
||
|
|
|
|
|
|
ром – вычислим группу трилист- |
|||
|
|
|
|
|
|
ника, изображённого на рис. 117. |
|||
|
|
|
|
|
|
Но группу любого узла можно |
|||
|
|
|
|
|
|
вычислить тем |
же |
самым спосо- |
|
|
|
|
|||||||
|
|
бом. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р. |
Группа |
трилист- |
|
|
|
|
|
|
|
ника порождена |
образующими |
||
Рис. 119. Множества U1 |
и U2 |
x и y, связанными соотношением |
|||||||
xyx = yxy. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. |
В качестве U1 и U2 выберем открытые под- |
множества R3 \ K, схематично изображённые на рис. 119. Множество Ui получается из полупространства выбрасыванием n дуг, где n – количество