топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

i6= j

лежащая в Rn по очевидным причинам. Оставшаяся часть имеет вид P uixj ukei ejek, где суммирование ведётся по тройкам попарно различных чисел. Но eiej ek = −ekej ei, поэтому указанная сумма равна нулю.

Проверим, далее, что ϕ(u) – ортогональное преобразование. Прежде всего заметим, что если u = u1 . . . uk, где ui Sn−1, то u u = uu = (−1)k.

= ϕ(u)ϕ(v)x. Поэтому ϕ – гомоморфизм групп.

Покажем, что если u Sn−1, то ϕ(u) – симметрия относительно гиперплоскости, ортогональной вектору u. Представим x в виде λu + w, где

преобразование можно представить в виде композиции симметрий от носительно гиперплоскостей, поэтому ϕ – эпиморфизм. Ясно также, что ортогональное преобразование сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда оно является композицией чётного числа симметрий относительно гиперплоскостей. Поэтому ϕ−1 (SO(n)) = Spin(n).

Предположим, что u Spin(n) и ϕ(u)x = x для всех x. Тогда, в частно-

сти, uei u = ei, поэтому uei u u = eiu. Но u u = 1 для u Spin(n). Значит, uei = eiu. Наоборот, если uei = ei u для всех i и u Spin(n), то ϕ(u)x = x

Итак, группа Spin(n) двулистно накрывает SO(n). Остаётся проверить, что это накрытие нетривиальное, т. е. пространство Spin(n) связно.

Для этого достаточно проверить, что в Spin(n) есть путь, соединяющий точки 1 и −1. Этот путь можно задать формулой

(e1 cos t + e2 sin t) (e1 cos t − e2 sin t) = − cos 2t − e1e2 sin 2t, где t [0, π/2].

§ 21. Теорема Зейферта–ван Кампена

21.1.Эквивалентные формулировки

Предположим, что линейно связное топологическое пространство X является объединением линейно связных множеств U1 и U2, причём множество U1 ∩ U2 тоже линейно связно. Выберем точку x0 U1 ∩ U2 и рассмотрим фундаментальные группы π1 (U1 ∩U2, x0), π1 (U1, x0) и π1 (U2, x0). Предположим, что эти группы заданы наборами образующих S, S1, S2 и соотношений R, R1, R2. Для краткости будем одинаково обозначать отображение топологических пространств и индуцированное им отображение фундаментальных групп. При вложении ψi : Ui → X элемент si Si

вэлемент ψi si π1 (X, x0), поэтому в π1 (X, x0) можно рассмотреть наборы элементов (алфавиты) ψ1S1 и ψ2S2; при этом каждый элемент образа отображения ψi : π1 (Ui , x0) → π1 (X, x0) можно записать в алфавите ψiSi. Возьмём теперь элемент s S и рассмотрим его образ в π1 (Ui , x0) при вложении ϕi : U1 ∩ U2 → Ui. Элемент ϕis можно записать в алфавите Si , а элемент ψiϕi s можно записать в алфавите ψi Si. При этом

вгруппе π1 (X, x0) выполняется соотношение ψ1ϕ1s = ψ2ϕ2s, поскольку

можно построить для X = S1 (см. рис. 110). Но если на рассматриваемые пространства наложены некоторые ограничения, то это утверждение верно. Например, в 1931 г. Зейферт [121] доказал, что оно верно в случае, когда U1 и U2 – подкомплексы симплициального комплекса, а в 1933 г.

ван Кампен [133] доказал, что оно верно в случае, когда U1 и U2 открыты в X.

Теорема Зейферта (для CW -комплексов) очевидным образом следует из теоремы 20.1 на с. 283, но при одном дополнительном предположении: в качестве образующих фундаментальных групп выбраны 1-мерные клетки, а в качестве соотношений выбраны 2-мерные клетки. Поэтому, прежде чем двигаться дальше, дадим инвариантное определение группы G, не зависящее от выбора систем образующих и соотношений.

Пусть G0, G1, G2 – группы, заданные наборами образующих S, S1, S2 и соотношений R, R1, R2. Для группы G задана коммутативная диаграмма

Покажем, что в таком случае существует единственный гомоморфизм σ : G → G0, для которого σψi = ψi0. Пусть F – свободная группа с образующими ψ1S1 и ψ2S2; N – минимальная нормальная подгруппа F,

294 Глава VI. Фундаментальная группа

Рассмотрим всевозможные коммутативные диаграммы гомомор-

с фиксированными гомоморфизмами ϕ1 и ϕ2. Группу G, входящую в такую диаграмму, называют амальгамой групп G1 и G2 по отношению к группе G0 (и гомоморфизмам ϕ1 и ϕ2), если выполняется упомянутое выше универсальное свойство: для любой другой группы G0, входящей в аналогичную коммутативную диаграмму, существует единственный гомоморфизм σ : G → G0, для которого σψi = ψi0. Чтобы получить инвариантное определение группы G, остаётся проверить, что амальгама определена однозначно с точностью до изоморфизма.

Пусть G и G0 – две амальгамы по отношению к одним и тем же группам. Тогда существуют гомоморфизмы σ : G → G0 и σ0 : G0 → G, для которых σψi = ψi0 и σ0ψi0 = ψi. Рассмотрим гомоморфизм σ0σ : G → G. Он обладает следующим свойством: σ0σψi = σ0ψi0 = ψi. По условию гомоморфизм G → G, обладающий таким свойством, единствен. С другой стороны, тождественный гомоморфизм таким свойством обладает, поэтому σ0σ = idG. Аналогично σσ0 = idG0, а значит, σ – изоморфизм групп.

21.2.Доказательство

индуцированную вложениями (все фундаментальные группы берутся с одной и той же отмеченной точкой x0 U1 ∩ U2). Тогда группа π1 (X) является амальгамой групп π1 (U1) и π1 (U2) по отношению к группе π1 (U1 ∩ U2) и гомоморфизмам ϕ1 и ϕ2.

Теорему ван Кампена удобнее доказывать в терминах образующих и соотношений, а не в терминах амальгам; выше мы объяснили, что обе формулировки эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [50]). Рассмотрим коммутативную диаграмму

σ : π1 (X) → H, для которого σψi = ψi0. Единственность гомоморфизма σ легко выводится из следующего утверждения.

образ каждого отрезка [tk, tk+1] целиком лежит в одном из множеств U1 или U2. Петля α представляет собой композицию путей (не обязательно замкнутых) α1α2 . . . αn, где αk – ограничение отображения α на отрезок [tk, tk+1]. Чтобы представить α в виде композиции петель, соединим каждую точку α(tk) Ui с точкой x0 путём βk, целиком лежащим в Ui; при этом если α(tk) U1 ∩ U2, то путь βk должен целиком лежать

лежит в образе группы π1 (Ui) при гомоморфизме ψi. При этом петля α представляет собой композицию петель α1β2, β2−1α3β3, . . . , βn−−11αn−1βn,

βn−1αn.

Единственность гомоморфизма σ теперь легко доказывается. Дей-

k=1

296 Глава VI. Фундаментальная группа

Формула (1) полностью определяет гомоморфизм σ. Остаётся лишь

свойствами:

– ограничение отображения f на нижнюю сторону квадрата I2 пред-

n

ставляет класс петли Q ψi(k) γk;

k=1

– отображение f переводит остальные стороны квадрата I2 в отмеченную точку x0 (рис. 111).

Пусть δ – число Лебега покрытия квадрата I2 открытыми множествами f−1 (U1) и f−1 (U2). Разобьём I2 на прямоугольники вертикальными и горизонтальными отрезками так, чтобы длина диагонали каждого прямоугольника была меньше δ. При этом в набор таких отрезков мы включим все вертикальные отрезки, делящие нижнюю сторону квадрата на n равных отрезков (предполагается, что каждый из этих равных отрезков соответствует одному из путей γi; в частности, концы этих отрезков отображаются в отмеченную точку x0).

По построению каждый прямоугольник целиком отображается в U1 или в U2. Пусть a – вершина одного из прямоугольников. Соединим точку f(a) с отмеченной точкой x0 путём ωa. При этом будем предполагать, что

если a Ui , то ωa Ui (в частности, если a U1 ∩ U2, то ωa U1 ∩ U2), а если a = x0, то ωa = x0 (постоянный путь).

Рассмотрим один из прямоугольников разбиения. Пусть α12, α23, α34, α41 – его стороны (рис. 112). Легко проверить, что в пространстве X петля β12β23β34β41, где βpq = ω−p 1 f(αpq)ωq, стягиваема. Для этого нужно убедиться, что соответствующее отображение S1 → X можно продолжить до отображения D2 → X. Требуемое отображение D2 → X можно построить следующим образом. Сначала отобразим D2 на прямоугольник с отрезками, выходящими из его вершин (рис. 113). На пря-

298 Глава VI. Фундаментальная группа

казать, что произведение элементов группы H, соответствующих нижней стороне квадрата, равно 1. Обозначим это произведение Π0 (рис. 114).

n 1 Это произведение нужно записывать так, чтобы об-щие стороны прямоугольников входили в него с про-

2

Πn−1 = Πn. Но весь верхний горизонтальный отрезок отображается в от-

З а м е ч а н и е. Это утверждение можно доказать и без использования теоремы ван Кампена. Действительно, рассмотрим триангуляцию K многообразия Mn. Можно считать, что точка x лежит внутри симплекса n триангуляции K. Тогда пространство Mn \ {x} гомотопически эквивалентно симплициальному комплексу, который получается из K удалением симплекса n. Если n > 3, то 2-мерный остов не изменяется при удалении n-мерного симплекса.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в качестве U1 окрестность точки x, гомеоморфную Rn; в качестве отмеченной точки пространств Mn

21.3.Группа узла

Узлом называют образ окружности при непрерывном отображении f : S1 → R3, а группой узла K называют группу π1 (R3 \ K, x0), где x0 R3 \ K – произвольная точка. Узел K называют полигональным, если отображение f кусочно линейно зависит от параметра ϕ на окруж-

–ни в какую точку не проецируется более двух различных точек узла;

–множество перекрёстков (точек плоскости, в которые проецируются две различные точки узла) конечно и проекции касательных к узлу

вдвух точках, соответствующих перекрёстку, не совпадают.

Для полигонального узла тоже можно выбрать плоскость проекции, обладающую аналогичными свойствами. При этом аналогом касательных к гладкому узлу являются прямые, содержащие звенья полигонального узла.

Диаграммой узла называют его проекцию на плоскость, для которой выполняются указанные выше условия. При этом на перекрёстках должно быть показано, какая ветвь узла проходит сверху, а какая снизу (рис. 117).

Рассмотрим вместо узла K узел K0, который совпадает с диаграммой узла K всюду, кроме малых окрестностей перекрёстков, а на перекрёстках одна из ветвей проходит сверху, а другая остаётся в плоскости диаграммы (рис. 118). Ясно, что группы узлов K и K0 изоморфны, поскольку пространства R3 \ K и R3 \ K0 гомотопически эквивалентны. При вычислении группы узла мы будем предполагать, что он расположен в пространстве

множества R3 \ K, схематично изображённые на рис. 119. Множество Ui получается из полупространства выбрасыванием n дуг, где n – количество