топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

так, что его рёбра образуют замкнутую ломаную x1x2x3x4x5x6, а кроме

того, у графа есть рёбра x1x4, x2x5 и x3x6. Если бы граф K3,3 был планарным, то указанная замкнутая ломаная разбивала бы плоскость

на две области и два из указанных трёх рёбер лежали бы в одной из этих областей. Но в таком случае эти рёбра обязаны пересекаться.

Непланарность графа K5 доказывается аналогично. Замкнутая ломаная x1x2x3x4x5 разбивает плоскость на две области. Три из пяти остальных рёбер графа лежат в одной из этих областей. Из этих трёх

З а д а ч а 1.1. а) Можно ли граф K3,3 вложить в лист Мёбиуса (т. е. расположить на листе Мёбиуса так, чтобы его рёбра попарно не пересе-

кались)?

б) Можно ли граф K5 вложить в тор?

Наметим ещё один подход к доказательству непланарности графов K3,3 и K5. Будем предполагать, что все рассматриваемые графы расположены на плоскости, но их рёбра могут при этом пересекаться (рёбра пересекаются в конечном числе точек, и никакое ребро не проходит через вершину). Назовём индексом пересечения двух графов количество точек пересечения рёбер одного графа с рёбрами другого графа, приведённое по модулю 2. (Предполагается, что графы находятся в общем положении, т. е. они пересекаются в конечном числе точек, и точки пересечения отличны от вершин.)

За д а ч а 1.2. Докажите, что индекс пересечения двух циклов равен 0.

Назовём индексом самопересечения графа на плоскости сумму индексов пересечения всех его (неупорядоченных) пар несмежных рёбер; суммирование снова ведётся по модулю 2.

За д а ч а 1.3. а) Предположим, что для любого ребра графа несмежные с ним рёбра образуют цикл. Докажите, что индекс самопересечения

такого графа не зависит от того, как он расположен на плоскости, а зависит только от самого графа.

б) Докажите, что графы K3,3 и K5 непланарные.

Ясно, что если граф содержит подграф, гомеоморфный K3,3 или K5, то он непланарен. В 1930 г. Куратовский [84] доказал, что верно и обратное.

Т е о р е м а 1.4 (Куратовский). Граф непланарен тогда и только тогда, когда он содержит подграф, гомеоморфный K3,3 или K5.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [91]). Нам остаётся доказать трудную часть теоремы Куратовского: если граф непланарен, то он содержит подграф, гомеоморфный K3,3 или K5. Предположим, что существуют непла-

кость графа G0. Одна из областей, на которые рёбра графа G0 разбивают плоскость, содержит вершину xy графа G/xy. Пусть F – подграф графа G0, состоящий из рёбер, которые ограничивают эту область. Граф F разбивает плоскость не более чем на две части, поэтому он не содержит подграфов, гомеоморфных K3,2. Согласно предположению граф G0 содержит подграф, гомеоморфный K3,2. Следовательно, у графа G0 есть ребро e, отличное от рёбер графа F. Это, в частности, означает, что граф F разбивает плоскость на две части. Поэтому он содержит некоторый цикл C. Выброшенная вершина xy и ребро e лежат в разных частях плоскости, заданных циклом C. Для определённости будем считать, что вершина xy лежит внутри C, а ребро e лежит вне C.

Чтобы прийти к противоречию, построим вложение графа G в плоскость. Для ext C, т. е. для части графа G0 G, лежащей вне цикла C, воспользуемся уже имеющимся вложением графа G0. Оставшуюся часть графа G обозначим G − ext C. Она содержит строго меньше рёбер, чем граф G, поскольку ребро e ей не принадлежит. Из минимальности графа G следует, что граф G − ext C планарен. В графе G − ext C вершины x и y соединены ребром, поэтому при любом вложении графа в плоскость вершины x и y лежат либо внутри C, либо вне C. Можно считать, что они лежат внутри C. Поэтому у планарного графа G − ext C есть вложение, для которого цикл C служит границей. Комбинируя указанные вложения графов ext C и G − ext C, получаем вложение графа G.

Ша г 2. Пусть граф G содержит ребро xy. Тогда у графа G − x − y не может быть двух вершин степени 1.

Предположим, что из вершин u и v графа G − x − y выходит по одному ребру. Из минимальности графа G следует, что у него нет вершин, из которых выходит менее трёх рёбер. Поэтому вершины u и v соединены рёбрами с вершинами x и y. Кроме того, вершины x и y соединены ребром, а значит, вершины x, y, u, v порождают в G подграф, содержащий

граф K3,2. В таком случае из шага 1 следует, что у графа G не может быть рёбер, оба конца которых отличны от x, y, u, v. Пусть w – вершина графа G, отличная от x, y, u, v. Из вершины w выходит не менее трёх рёбер, поэтому она соединена ребром с одной из вершин u и v. Согласно предположению каждая из вершин u и v соединена ребром не более чем

содной вершиной, отличной от x и y. Поэтому граф G содержит не более двух вершин, отличных от x, y, u, v. В таком случае граф G является одним из четырёх графов, изображённых на рис. 8.

Ша г 3. Пусть граф G содержит ребро xy. Тогда граф G − x − y является циклом.

Пусть G0 = G − x − y. У графа G0 нет изолированных вершин, поскольку изолированная вершина графа G0 соответствует вершине гра-

26 Глава I. Графы

Итак, либо все вершины цикла C соединены с обеими вершинами x и y, либо они поочередно соединены то с x то с y. В первом случае граф G содержит подграф, гомеоморфный K5, а во втором случае граф G

Другие доказательства теоремы Куратовского можно найти в [125]. Помимо критерия Куратовского известны и другие критерии планар-

ности графов; см., например, [92], [41] и [30]. Одним из наиболее интересных среди этих критериев является критерий Уитни [141], основанный на понятии двойственности для графов.

Графы G и G называют двойственными, если существует взаимно однозначное соответствие между их рёбрами, при котором циклам одного графа соответствуют разделяющие множества другого графа, и наоборот. Под разделяющими множествами здесь подразумеваются минимальные наборы рёбер, после удаления которых увеличивается число связных компонент графа.

Т е о р е м а 1.5 (Уитни). Граф планарен тогда и только тогда, когда существует двойственный ему граф.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [104]). Прежде всего убедимся в том, что для планарного графа можно построить двойственный ему граф. Рассмотрим вложение планарного графа G в плоскость и выберем в каждой из областей, на которые граф G разбивает плоскость, по одной точке. Эти точки будут вершинами графа G . Две вершины графа G соединим ребром, если соответствующие им части плоскости граничат по некоторому ребру графа G. Ясно, что графы G и G двойственны друг другу.

Займемся теперь доказательством трудной части теоремы Уитни: если граф непланарен, то у него нет двойственного графа. При этом мы воспользуемся теоремой Куратовского, т. е. будем доказывать, что если граф содержит подграф, гомеоморфный K3,3 или K5, то у него нет двойственного графа.

Ш а г 1. У графов K3,3 и K5 нет двойственных графов. Предположим, что G – граф, двойственный графу K3,3. У графа K3,3

нет разделяющих множеств, состоящих менее чем из трёх рёбер, и у него есть циклы только длины 4 и 6. Поэтому у графа G нет циклов длины 1 или 2 и из любой его вершины выходит по крайней мере 4 ребра. Из этих двух условий следует, что у графа G есть по крайней мере 5 вершин. Из каждой вершины выходит по крайней мере 4 ребра. Поэтому у графа G есть по крайней мере 5 · 4/2 = 10 рёбер. Получено противоречие, так как у графа K3,3 всего 9 рёбер.

Предположим теперь, что G – граф, двойственный графу K5. У графа K5 нет двойных рёбер и у него есть разделяющие множества только

из 4 и 6 рёбер. Поэтому у графа G нет вершин степени менее 3 и у него есть циклы только длины 4 и 6. Граф G имеет 10 рёбер и не совпадает с K5, поэтому он имеет по крайней мере 6 вершин. Если граф G имеет ровно 6 вершин, то он должен иметь такой вид, как на рис. 12. У такого графа 9 рёбер, а у графа K5 количество

рёбер равно 10. Если же граф G имеет 7 или более вершин (которые по условию имеют степень не менее 3), то количество его рёбер не меньше 7 · 3/2 > 10.

Ш а г 2. Если у графа G есть двойственный граф, то и у любого его подграфа тоже есть двойственный граф.

Достаточно доказать, что если у графа G есть двойственный граф G и e – ребро графа G, то у графа H, полученного из графа G выбрасыванием ребра e, есть

двойственный граф H . Легко проверить, что если e – ребро графа G , соответствующее ребру e графа G, то граф H , полученный из графа G стягиванием ребра e в точку, двойствен графу H.

Ш а г 3. Если у графа G есть двойственный граф, то и у любого графа H, гомеоморфного графу G, тоже есть двойственный граф.

Достаточно доказать, что если у графа G есть двойственный граф G и граф H получен из графа G добавлением вершины степени 2, лежащей на ребре e графа G, то у графа H тоже есть двойственный граф H . Легко проверить, что граф H , полученный из графа G добавлением ещё одного ребра с теми же самыми вершинами, что и у ребра e , двойствен

1.2.Формула Эйлера для планарных графов

Для выпуклого многогранника (в трёхмерном пространстве) справедлива следующая формула Эйлера: если v – число вершин многогранника, e – число рёбер и f – число граней, то v − e + f = 2. Граф, образованный рёбрами выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве, планарен: если из поверхности выпуклого многогранника выколоть одну точку, то получится топологическое пространство, гомеоморфное плоскости.

Для планарных графов формула Эйлера остаётся справедливой и в общей ситуации. Будем называть гранями связные области, на которые разбивает плоскость вложенный в неё планарный граф.

состоящий из s компонент связности, среди которых нет изолированных вершин. Пусть, далее, v – число вершин графа G, а e – число его рёбер. Тогда для любого вложения графа G в плоскость число граней f одно и то же, а именно, f = 1 + s − v + e.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если граф не содержит циклов, то он не разбивает плоскость. Связные компоненты такого графа называют деревьями. Индукцией по числу рёбер дерева легко доказать, что у любого дерева число вершин ровно на 1 больше числа рёбер. В самом деле, удаление любого ребра разбивает дерево на два дерева с меньшим числом рёбер. Поэтому для графа, состоящего из одного или нескольких деревьев, формула Эйлера верна.

Если же граф содержит цикл, то можно рассмотреть область, ограниченную циклом и не содержащуюся в другой области, ограниченной циклом. Для такой области удаление одного граничного ребра уменьшает

С л е д с т в и е. Связный планарный граф (без петель и двойных рёбер) содержит вершину, степень которой не превосходит 5.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Любая грань содержит не менее 3 рёбер, поэтому 3f 6 2e. Подставляя это неравенство в соотношение 3f = 6 − 3v + + 3e, получаем e 6 3v − 6. Предположим, что из любой вершины выходит не менее 6 рёбер. Тогда 6v 6 2e, а значит, 6v 6 2e 6 2(3v − 6) = 6v − 12,

Воспользовавшись тем, что любой планарный граф имеет вершину, степень которой не превосходит 5, легко доказать следующую знаменитую теорему о раскраске карт.

Т е о р е м а 1.7 (о пяти красках). Вершины любого планарного графа (без петель и двойных рёбер) можно раскрасить в пять цветов так, что любые две вершины, соединённые ребром, будут разного цвета.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G – планарный граф с n вершинами. Применим индукцию по n. При n 6 5 утверждение очевидно. Предположим, что утверждение доказано для всех планарных графов, у которых число вершин не превосходит n − 1. Если у графа G есть вершина v, степень которой строго меньше 5, то рассмотрим граф G0, который получается из графа G после выбрасывания вершины v и выходящих из неё рёбер. Согласно предположению индукции вершины графа G0 можно раскрасить в 5 цветов. Вершина v в графе G соединена рёбрами менее чем с 5 вершинами, поэтому её можно окрасить в цвет, отличный от цветов соседних с ней вершин.

Предположим теперь, что у графа G нет вершин, степень которых строго меньше 5. Тогда у него есть вершина v, степень которой равна 5. Вершины графа G, соседние с вершиной v, не могут быть все попарно соединены рёбрами, потому что иначе граф G содержал бы непланарный граф K5. Пусть v1 и v2 – вершины графа G, соединённые рёбрами с вершиной v и не соединённые ребром друг с другом. Рассмотрим сначала граф G0, который получается из графа G после выбрасывания вершины v и выходящих из неё рёбер. Затем рассмотрим граф G00, который получается из графа G0 после проведения дополнительного ребра, соединяющего вершины v1 и v2. Это дополнительное ребро можно составить из рёбер v1v и vv2, поэтому граф G00 планарен. Наконец, стянем в графе G00 дополнительное ребро в точку. В результате получим планарный граф G000, число вершин которого равно n − 2. По предположению вершины этого графа можно раскрасить в 5 цветов. Эта раскраска индуцирует раскраску вершин графа G0, при которой вершины v1 и v2 будут одного цвета. Это означает, что вершины графа G, соседние с вершиной v, имеют не более 4 различных цветов. Поэтому вершину v можно окрасить в цвет, отличный от цветов соседних с ней

графа можно раскрасить в 4 цвета (теорема о четырёх красках), но доказывается это чрезвычайно сложно. Первое опубликованное доказательство теоремы о четырёх красках ([27] и [29]) занимало 150 страниц, но исчерпывающее изложение этого доказательства [28] занимало 740 страниц. Затем появились более простые доказательства. Например, доказательство, приведённое в [112], занимает чуть больше 40 страниц, но и это доказательство весьма сложно. Оно тоже было получено с помощью компьютера.

З а д а ч а 1.4. а) Пусть G – планарный граф, все грани которого содержат чётное число рёбер. Докажите, что вершины этого графа можно раскрасить в два цвета так, что любые две вершины, соединённые ребром, будут разного цвета.

б) Пусть γ – гладкая замкнутая кривая, все самопересечения которой трансверсальны. Докажите, что γ разбивает плоскость на области, которые можно раскрасить в два цвета так, что области, граничащие по некоторой дуге, будут разного цвета.

Из формулы Эйлера можно вывести разные другие формулы. Из них наиболее часто применяется следующая формула.

Т е о р е м а 1.8. Пусть G – планарный граф без изолированных вершин, vi – число его вершин, из которых выходит i рёбер, fj – число граней, ограниченных j рёбрами (с учетом их кратностей).

Тогда P(4 − i)vi + P(4 − j) fj = 4(1 + s) > 8, где s – число компонент

ij

связности графа G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что P ivi = 2e = P jfj (каждое ребро

имеет ровно два конца и принадлежит ровно двум граням). Кроме того, P vi = v и P fj = f. Поэтому из формулы Эйлера следует, что

ij

XX

(4 − i)vi + (4 − j) fj = 4v − 2e + 4f − 2e =

С л е д с т в и е. Если все грани 4-угольные, то 3v1 + 2v2 + v3 > 8. Часто используется также следующее неравенство.

Т е о р е м а 1.9. Если любая грань ограничена циклом, содержа-

З а д а ч а 1.5. Воспользовавшись теоремой 1.9, получите ещё одно доказательство непланарности графов K5 и K3,3.

1.3.Вложения графов в трёхмерное пространство

Вплоскость можно вложить не любой граф. Но любой конечный граф можно вложить в трёхмерное пространство. Более того, граф можно вложить в трёхмерное пространство так, что все его рёбра будут прямолинейными отрезками. Например, если вершины графа разместить на кривой (t, t2, t3), то отрезки, соединяющие вершины графа, не будут пересе-

каться. В самом деле, точки кривой с параметрами t1, t2, t3, t4 являются вершинами тетраэдра, объем которого равен

в частности, противоположные рёбра этого тетраэдра не пересекаются. Обсудим теперь более подробно вложения в R3 графа K6, состоящего из шести вершин, попарно соединённых рёбрами. Выберем в графе K6 три вершины и рассмотрим цикл C1, порождённый этими тремя верши-