топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

vjσj = 1 мы не учитываем). При таком условии xτ (t) 6= 0 лишь в том слу-

чае, когда τi 6 σi, τi+1 = σi+1, . . . , τk = σk, а xτ0 (t) 6= 0 лишь в том случае, когда τi < σi, τi+1 = σi+1, . . . τk = σk; при этом xτ0 (0) = xτ (0). Запишем символ Шуберта

τ= (τ1, . . . , τi , τi+1, . . . , τk) = (τ1, . . . , τi , σi+1, . . . , σk)

ввиде τ , τi , где τ = (τ1, . . . , τi−1); общую часть σi+1, . . . , σk мы игнорируем. В таких обозначениях ненулевые члены числителя выражения для

ϕ0 (0) принимают почти такой же вид, как и раньше; единственная разница

З а м е ч а н и е. Первая явная конструкция функции Морса на многообразии Грассмана приведена в [146]. Наше изложение следует [66]; см также [26]. Более простое построение функции Морса на многообразии Грассмана приведено в [7], но оно использует свойства коммутатора векторных полей.

Глава VI

Фундаментальная группа

В п.2.1 мы дали определение фундаментальной группы π1 (X, x0) произвольного линейно связного пространства X с отмеченной точкой x0. Там же доказаны основные свойства фундаментальной группы, которыми мы будем здесь пользоваться при вычислении фундаментальных групп некоторых конкретных топологических пространств.

§ 20. CW -комплексы

Точно так же, как доказывалась теорема 2.1 на с. 42, можно доказать, что любой конечный связный CW -комплекс гомотопически эквивалентен CW -комплексу с единственной вершиной (0-мер- ной клеткой) e0. В дальнейшем при вычислении фундаментальной группы CW -комплекса X мы будем предполагать, что у него ровно одна вершина e0. Мы будем также предполагать, что e0 – отмеченная точка (при изменении отмеченной точки фундаментальная группа заменяется на изоморфную группу; изоморфизм индуцирован отображением ω 7→α−1ωα, где α – путь из одной отмеченной точки в другую).

20.1.Основная теорема

Если клеточное строение пространства X задано явно, то его фундаментальная группа легко вычисляется. А именно, 1-мерные клетки соответствуют образующим группы, а 2-мерные клетки соответствуют соотношениям. Поясним это подробнее. Одномерный остов X1 представляет собой букет окружностей, поэтому π1 (X1, e0) – свободная группа с образующими α1, . . . , αk, где k – количество 1-мерных клеток в X. Характеристическое отображение 2-мерной клетки χ2i : D2 → X индуцирует отображение βi : ∂D2 → X1 X. Выберем в S1 произвольную отмеченную точку s. Отображению βi соответствует элемент фундаментальной группы π1 (X1, βi (s)). Этому элементу можно сопоставить элемент группы π1 (X1, e0), выбрав путь из βi (s) в e0. Таким образом, i-й двумерной

клетке мы сопоставили элемент группы π1 (X1, e0). Обозначим его тоже βi; элемент βi определён с точностью до сопряжения. Легко проверить,

единичным элементом группы π1 (X, e0), т. е. мы получаем соотношение bi = 1, где bi – некоторое слово в алфавите a±1 1, . . . , a±k 1. Соотношения

bi = 1 и abia−1 = 1 эквивалентны, поэтому неоднозначность выбора элемента βi с этой точки зрения несущественна.

Т е о р е м а 20.1. Группа π1 (X, e0) порождена элементами a1,

. . . , ak и любое соотношение в этой группе сводится к соотношениям b1, . . . , bl . (Это означает, что если слову β в алфавите

α±1 1, . . . , α±k 1 соответствует слово b в алфавите a±1 1, . . . , a±k 1, представляющее единичный элемент группы π1 (X, e0), то β N,

где N – минимальная нормальная подгруппа в π1 (X1, e0), содержащая элементы β1, . . . , βl .)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим S1 в виде CW -комплекса с одной 0-мерной клеткой и одной 1-мерной клеткой; 0-мерную клетку будем считать отмеченной точкой s. Согласно теореме о клеточной аппроксимации любое непрерывное отображение (S1, s) → (X, e0) гомотопно клеточному отображению (S1, s) → (X1, e0). Поэтому вложение X1 → X индуцирует эпиморфизм фундаментальных групп π1 (X1, e0) → π1 (X, e0), т. е.

элементы a1, . . . , ak порождают группу π1 (X, e0).

Та же самая теорема о клеточной аппроксимации показывает, что вложение X2 → X индуцирует изоморфизм фундаментальных групп. Действительно, вложение X1 → X индуцирует эпиморфизм фундаментальных групп, поэтому достаточно проверить, что если две петли в X1 (с началом e0) гомотопны в пространстве X, то они гомотопны и в пространстве X2. Гомотопия в пространстве X двух петель в X1 представляет собой отображение H : I2 → X. Представим квадрат I2 как CW -комплекс с 4 вершинами, 4 рёбрами и одной 2-мерной клеткой. Ограничение отображения H на ∂I2 является клеточным, поэтому отображение H гомотопно клеточному отображению H0 : I2 → X2, причём гомотопия неподвижна на ∂I2. Отображение H0 является искомой гомотопией в пространстве X2.

попарно не гомеоморфны (теорема 11.5 на с. 161). С помощью фундаментальной группы это доказывается совсем просто. Напомним, что коммутантом группы G называют группу G0, состоящую из произведений элементов вида aba−1b−1, где a, b G. Тождество

изоморфны тогда и только тогда, когда n1 = n2 и ε1 = ε2.

З а д а ч а 20.1. а) Докажите, что любая подгруппа конечного индекса группы π1 (nT 2) изоморфна π1 (mT 2) для некоторого m и при этом m − 1 делится на n − 1.

б) Докажите, что любая подгруппа конечного индекса группы π1 (nP2) изоморфна либо π1 (mP2), где m − 2 делится на n − 2, либо π1 (mT 2), где 2(m − 1) делится на n − 2.

П р и м е р. Фундаментальная группа поверхности nT 2, из которой вырезано k > 1 дисков, является свободной группой ранга 2n + k − 1.

цию.)

П р и м е р. Фундаментальная группа поверхности nP2, из которой вырезано k > 1 дисков, является свободной группой ранга n + k − 1.

Используя свойства фундаментальной группы, можно получить ещё одно доказательство того, что окружность S1 = ∂D2 не является ретрактом диска D2. А именно, предположим, что существует ретракция

r : D2 → S1. Тогда композиция отображений A −→i X −→r A является тождественным отображением, поэтому оно индуцирует тождественный гомоморфизм фундаментальных групп. Но композиция отображений

поскольку π1 (A) = Z и π1 (X) = 0.

Более тонкие алгебраические рассуждения позволяют доказать следующие утверждения. Напомним, что на с. 85 доказано общее утверждение

отом, что край компактного многообразия не может быть его ретрактом.

За д а ч а 20.2. Пусть X – лист Мёбиуса, A – его край. Докажите, что A не является ретрактом пространства X.

З а д а ч а 20.3. а) Пусть X – тор T 2, из которого вырезан открытый диск D2. Докажите, что A = ∂D2 не является ретрактом пространства X.

б) Докажите аналогичное утверждение, заменив T 2 на сферу с g ручками.

З а д а ч а 20.4. Пусть X – замкнутая неориентируемая поверхность, из которой вырезан открытый диск D2. Докажите, что A = ∂D2 не является ретрактом пространства X.

Разберём теперь более сложный пример вычисления фундаментальной группы. При этом основная трудность связана с описанием клеточной структуры пространства.

П р и м е р (см. [59]). Пусть M3g – многообразие единичных каса-

произвольное векторное поле с изолированными особыми точками. Можно считать, что все особые точки лежат внутри диска D2 M2g.

Сумма индексов особых точек векторного поля на поверхности M2g

равна 2 − 2g, поэтому степень отображения ∂D2 → S1, заданного формулой x 7→v(x)/kv(x)k, равна 2 − 2g. Отображение ∂D2 → S1 гомотопно любому другому отображению той же самой степени. Эту гомотопию можно представить как векторное поле на кольце D2 \ Dε2, где Dε2 – концентрический с D2 диск. В результате можно построить векторное поле на M2g \ Dε2, состоящее из векторов единичной длины; при этом

«раздув» одну вершину (рис. 109); здесь имеется в виду вершина, соответствующая дуге, на которой векторное поле не постоянно. Замыкание (4g + 1)-угольника естественным образом отображается в M3g с помощью векторного поля v. А именно, все вершины отображаются в 0-мер- ную клетку; каждая внутренняя точка x отображается в пару (x, v(x)); каждой точке «раздутой» стороны соответствует однозначно определённый предельный касательный вектор в центре диска Dε2; остальные стороны отображаются на соответствующие 1-мерные клетки.

Помимо этой 2-мерной клетки рассмотрим ещё 2-мерные клетки, состоящие из всех единичных векторов в точках одной из сторон 4g-уголь- ника.

Легко проверить, что дополнение к объединению всех замкнутых 2-мерных клеток представляет собой открытую 3-мерную клетку. Действительно, дополнение состоит из единичных касательных векторов во внутренних точках 4g-угольника, причём в каждой точке x берутся все векторы, отличные от v(x). Такое множество гомеоморфно прямому произведению открытого 4g-угольника на (0, 1).

Образующие a1, . . ., ag, b1, . . ., bg соответствуют сторонам 4g-уголь- ника. Образующая c соответствует 1-мерной клетке над центром дис-

g

ка Dε2. Соотношение Q (ai bia−i 1bi−1) = c2−2g задаётся (4g + 1)-угольной

i=1

клеткой (степень отображения «раздутой» стороны на 1-мерную клетку c равна 2 − 2g). Соотношения ai ca−i 1c−1 = 1 и bicbi−1c−1 = 1 задаются 4-угольными клетками. 2 З а д а ч а 20.5. Докажите, что M30 ≈ RP3. (Здесь M30 – многообразие

единичных касательных векторов к S2.)

20.3.Фундаментальная группа пространства SO(n)

При вычислении фундаментальной группы не обязательно выяснять клеточное строение данного пространства. Часто бывает достаточно рас-

и рассмотрим отображение SO(n + 1) → Sn, которое сопоставляет матрице A вектор Ae. Это отображение является локально тривиальным расслоением со слоем SO(n). Запишем точную последовательность этого расслоения:

π2 (Sn) → π1 (SO(n)) → π1 (SO(n + 1)) → π1 (Sn).

вокруг фиксированной оси переходят во вращения вокруг фиксированной оси, а образующая фундаментальной группы переходит в образующую

ортонормированный базис u1, u2, u3 так, что f(u1) = f(u2) = f(u3). Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем ортонормированный базис e1, e2, e3 и рассмотрим отображение ϕ : SO(3) → R3, заданное формулой

композиция отображения ϕ и проекции на плоскость x + y + z = 0 (эта плоскость ортогональна прямой l). Согласно предположению начало координат не принадлежит образу отображения ψ, поэтому можно рассмотреть композицию отображения ψ и проекции из начала координат на единичную окружность S1 на данной плоскости. В результате получим отображение ψ : SO(3) → S1. Рассмотрим ограничение отображения ψ на подгруппу S1 → SO(3), состоящую из поворотов вокруг прямой l.

Выясним, как устроена кривая ψ (S1). Пусть t – параметр на окружности S1 (угол поворота вокруг оси l). При повороте на угол t = 2π/3

векторы e1, e2, e3 переходят в e2, e3, e1. На плоскости x + y + z = 0 этому соответствует преобразование (x, y, z) 7→(y, z, x). Легко убедиться,

что это преобразование – поворот на угол 2π/3. Действительно, коси-

разом. При изменении t от 0 до 2π/3 она идёт из точки (x0, y0, z0) в точку (y0, z0, x0). Следующий участок кривой, для t от 2π/3 до 4π/3, получается из предыдущего поворотом на угол 2π/3. Оставшаяся часть кривой получается ещё одним поворотом на угол 2π/3. Кривая ψ (S1) устроена

290 Глава VI. Фундаментальная группа

аналогично. При изменении t от 0 до 2π/3 точка ψ (t) поворачивается

Спинорная группа. Если n > 3, то π1 (SO(n)) = Z2. Это означает, что SO(n) двулистно накрывается некоторым односвязным многообразием. Это многообразие обозначают Spin(n). Оно, как и SO(n), является группой. Группу Spin(n), которую называют спинорной группой, можно построить следующим образом.

Алгеброй Клиффорда Cn называют ассоциативную алгебру с единицей, порождённую образующими e1, . . . , en, которые удовлетворяют соотношениям ei2 = −1 и ei ej + ejei = 0 при i 6= j. Пусть Rn – линейное подпространство в Cn, натянутое на векторы e1, . . . , en. Легко

эту подгруппу обозначают pin(n). Группа Spin(n) – это некоторая часть группы pin(n). Чтобы описать, какая именно часть, нам понадобится разложение линейного пространства Cn в прямую сумму Cn0 Cn1, где пространство Cni порождено произведениями вида ej1 . . . ej2k+i

ние пространств Cn0 и Cn1 состоит только из нуля, потому что применение соотношений ei2 = −1 и eiej + ejei = 0 не может изменить чётность числа образующих, входящих в произведение. Группа Spin(n) – это та часть группы pin(n), которая лежит в Cn0. По-другому можно сказать так: группа Spin(n) состоит из произведений u1u2 . . . u2k, где ui Sn−1.

Для построения гомоморфизма Spin(n) → SO(n), являющегося двулистным накрытием, нам потребуется инволютивный антиизоморфизм алгебры Cn, заданный формулой ei1 . . . eik 7→eik . . . ei1 ; при таком отображении элементы ei2 и ei ej + ejei остаются неподвижными, поэтому мы действительно получаем отображение алгебры Cn в себя. Это отображение мы будем обозначать u 7→u . Ясно, что (u ) = u и (uv) = v u .