топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

272 Глава V. Многообразия

Неформально гомотопию этого отображения в тождественное отображение можно описать так. Мы равномерно растягиваем отрезок [0, 1/4] до отрезка [0, 1], оставляя на этом отрезке отображение линейным. Одновременно на остающемся отрезке отображение χk(t) заменяем на χ(1−s)k(t) , s [0, 1] (в концах отрезка задано отображение χ0; именно его мы хотим получить при s = 1).

Для отображения αβ рассуждения аналогичны.

б) Пусть g : X → Y – отображение, гомотопически обратное h. Опре-

делим отображения H : Y ϕ Di → X hϕ Di и G : X hϕ Di → Y ghϕ Di следующими условиями: H|Y = h, H|Di = idDi и G|X = g, G|Di = idDi .

Из того, что gh idY , следует, что ghϕ ϕ. Поэтому согласно доказанному выше утверждению а) существует гомотопическая эквивалентность α : Y ghϕ Di → Y ϕ Di. Покажем, что отображение αGH гомотопно тождественному. Непосредственно из конструкций отображений α,

здесь χt – гомотопия, связывающая отображения gh и idY .

Гомотопия отображения αGH в тождественное отображение строится

восновном так же, как это делалось в а). Главное отличие заключается

втом, что теперь нет ограничений на то, куда отображается правый конец отрезка [0, 1]. Поэтому в качестве отображения остающегося отрезка (имеется в виду отрезок, остающийся после растяжения отрезка [0, 1/2]) можно взять первоначальное отображение некоторой левой части отрезка. Формально это отображение описывается так:

выбор линейной функции 2 − 2t + s связан с тем, что она равна 1 при

t = 1 +2 s .

Итак, αGH id. Аналогично доказывается, что βHG id, где β – отображение, гомотопически обратное α. Следовательно,

GHα βα(GHα) = β (αGH)α βα id .

Далее получаем

HαG (βHG)HαG = βH(GHα)G βHG id .

Условия GHα id и HαG id означают, что отображения H и αG гомотопически обратны; в частности, H – гомотопическая эквивалентность. 2

жите, что Sn/Sm Sn Sm+1.

19.3.Примеры функций Морса

П р и м е р. Пусть c1, . . . , cn – действительные числа. Функция f(x1,

. . . , xn) = c1 sin x1 + . . . + cn sin xn является функцией Морса на T n тогда

где xi = −εi π2 + 2mπ. Индекс этой критической точки равен количеству тех i, для которых εici < 0. Критическая точка индекса k задаётся указа-

Отметим, что если S1 представить в виде CW -комплекса с одной 0-мерной клеткой и одной 1-мерной, то тор T n = S1 × . . . × S1 будет пред-

n

ставлен в виде CW -комплекса, имеющего клеток размерности k. k

Рассмотренная в примере 19.3 функция Морса задаёт именно это разбиение тора на клетки.

Сфера. Сферу Sn мы будем представлять как подмногообразие в Rn, заданное уравнением x12 + . . . + xn2+1 = 1.

П р и м е р. Функция f(x1, . . . , xn+1) = xn+1 является функцией Морса на Sn с двумя критическими точками индекса 0 и n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сферу Sn можно покрыть 2(n + 1) картами, каждая из которых задаётся неравенством xi > 0 или xi < 0; локальными

координатами для этой карты служат (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn+1). Если

i 6= n + 1, то на соответствующей карте функция f гладкая и не имеет кри-

√

тических точек. На карте xn+1 > 0 функция f имеет вид 1 − x12 − . . . − xn2; здесь x12 + . . . + xn2 < 1 и имеется в виду положительное значение корня.

индекс n.

Аналогичные вычисления для карты xn+1 < 0 показывают, что в точке

f(x1, . . . , xn+1) = c1x12 + . . . + cn+1xn2+1 является функцией Морса на Sn тогда и только тогда, когда числа c1, . . . , cn+1 попарно различны. Эта

функция Морса имеет по две критические точки каждого из индексов 0, 1, 2, . . . , n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. На картах xn+1 > 0 и xn+1 < 0 функция f имеет один и тот же вид, а именно,

f= c1x12 + . . . + cnxn2 + cn+1 (1 − x12 − . . . − xn2) =

=(c1 − cn+1)x12 + . . . + (cn − cn+1)xn2 + cn+1.

Такая функция имеет единственную критическую точку (x1, . . . , xn) = = (0, . . . , 0). Эта критическая точка невырожденная тогда и только тогда, когда все числа c1, . . . , cn отличны от cn+1; индекс невырожденной критической точки равен количеству чисел c1, . . . , cn, меньших cn+1. Точке (x1, . . . , xn) = (0, . . . , 0) на картах xn+1 > 0 и xn+1 < 0 соответствуют

точки (x1, . . . , xn, xn+1) = (0, . . . , 0, ±1) Sn.

Аналогичные вычисления можно провести и для остальных карт xi > 0 и xi < 0. Все критические точки окажутся невырожденными только тогда, когда все числа c1, . . . , cn+1 попарно различны. Ясно также, что для каждого k = 0, 1, . . . , n найдётся ровно один номер i, для которого k

Вещественное проективное пространство. Вещественное проективное пространство RPn мы будем представлять как многообразие, ко-

на RP , причём она тоже будет функцией Морса. При этом каждой

критической точке на RPn соответствуют две критические точки на Sn с тем же самым индексом.

Функция f(x1, . . . , xn+1) = c1x12 + . . . + cn+1xn2+1 обладает требуемым свойством, поэтому справедливо следующее утверждение.

П р и м е р. Функция f(x1, . . . , xn+1) = c1x12 + . . . + cn+1xn2+1

ся функцией Морса на RPn тогда и только тогда, когда числа c1, . . . , cn+1 попарно различны. Эта функция Морса имеет по одной критической точке каждого из индексов 0, 1, 2, . . . , n.

Комплексное проективное пространство. Точки комплексного проективного пространства CPn мы будем задавать однородными коор-

динатами (z1 : . . . : zn).

П р и м е р. Пусть c1, . . . , cn+1 – попарно различные действительные числа. Тогда функция

является функцией Морса на CPn. Эта функция Морса имеет по одной критической точке каждого из индексов 0, 2, . . . , 2n.

соответствуют две вещественные координаты). В этих локальных координатах функция f имеет вид

получим

f(u1, . . . , un) = (c1 − cn+1)|u1|2 + . . . + (cn − cn+1)|un|2 + cn+1.

При этом uk = xk + iyk и |uk|2 = xk2 + yk2.

Рассуждения завершаются точно так же, как в примере 19.3. В комплексном случае индексы критических точек удваиваются по сравнению

(кососимметрическая в вещественном случае). Размерности пространств кососимметрических и косоэрмитовых матриц легко вычисляются; они совпадают с размерностями SO(n) и U(n). Ясно также, что для матрицы ξ˜ = ξX равенство ξ˜ X + Xξ˜ = 0 эквивалентно равенству ξ + ξ = 0. Значит, любая матрица ξ, для которой ξX + Xξ = 0, лежит в касательном пространстве.

Л е м м а. Пусть η – матрица порядка n, которую мы рассматриваем как вектор в Rn2 . Введём в пространстве матриц скалярное произведение (A, B) = tr(AB ). Тогда ортогональная проекция вектора η на касательное пространство к SO(n) или U(n) в точке X равна 12 (η − Xη X).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала случай, когда X = In. В этом случае ортогональное дополнение к косоэрмитовым (кососимметрическим) матрицам состоит из эрмитовых (косоэрмитовых) матриц. Поэтому матрицу η нужно записать в виде суммы эрмитовой и косоэрми-

товой матрицы: η = 1 (η + η ) + 1 (η − η ). Матрица 1 (η − η ) – проекция

2 2 1 2

η на касательное пространство, а матрица 2 (η + η ) – проекция η на ор-

тогональное дополнение к касательному пространству.

Для произвольной точки X можно поступить следующим образом. Сначала перенесём вектор η в точку In: η 7→ηX−1 = ηX . Затем для вектора ηX найдём проекцию на касательное пространство. Она равна

grad f на касательное пространство нулевая. Согласно лемме 19.3 эта

П р и м е р. Пусть A = diag(a1, . . . , an), где 0 6 a1 < . . . < an. Тогда fA (X) – функция Морса на SO(n) или U(n).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно примеру 19.3 точка X критическая

X = diag(±1, . . . , ±1); в вещественном случае произведение диагональных элементов равно 1.

Мы нашли критические точки функции fA. Теперь нужно проверить,

точки X0 выберем наддиагональные и диагональные элементы матрицы ξ. В этих координатах

fA (X) − fA (X0) = Re tr A(X − X0) = Re tr AX0 (eξ − In) =

Числа ξpp чисто мнимые, поэтому вещественная часть первой суммы равна нулю. Кроме того, ξpj = −ξjp, поэтому во второй сумме все чис-

По условию aq > ap > 0 при q > p, поэтому sgn(apεp + aqεq) = sgn(aqεq) при q > p. Значит, если p 6 q, то |ξpq|2 входит со знаком, противопо-

ложным знаку εq. В частности, в квадратичной части fA (X) присутствуют

Многообразия Грассмана. Мы будем пользоваться обозначениями, введёнными в п. 15.5, и доказанными там свойствами многообразий Грассмана. Особенно важен для нас будет символ Шуберта

d(σ) = (σ1 − 1) + (σ2 − 2) + . . . + (σk − k), равное размерности открытой клетки Шуберта e(σ).

Символ Шуберта – это специальное название мультииндекса, которое употребляется при описании клеточной структуры многообразия Грассмана. Каждому символу Шуберта σ соответствует координата Плюккера xσ . Набор координат Плюккера подпространства Π G(n, k)

ветствующем мультииндексу σ. Ясно, что точка eσ принадлежит образу открытой клетки Шуберта e(σ).

d(σ). (Выбор чисел cσ конструктивный; он будет описан в процессе доказательства.)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если числа cσ попарно различны, то соглас-

но примеру 19.3 функция f является функцией Морса на RP −1 с критическими точками eσ . Поэтому все точки i−1 (eσ) являются критическими для функции fi. Выясним, как устроена функция fi в окрестности точки i−1 (eσ).

Мультииндексу σ соответствует карта Uσ на многообразии G(n, k), причём точка i−1 (eσ) является началом координат. Вложение Плюккера в этих локальных координатах устроено следующим образом. Координата Плюккера xτ равна определителю матрицы, образованной столбцами τ1, . . . , τk матрицы, у которой столбцы σ1, . . . , σk образуют единичную матрицу, а остальные столбцы заполнены числами y1, . . . , yk(n−k) . Ясно, что xτ – однородный многочлен от переменных y1, . . . , yk(n−k) , степень которого равна количеству столбцов τ1, . . . , τk, отличных от столб-

если они имеют ровно k − 1 общий элемент. Легко проверить, что если σ и τ – соседние символы Шуберта, то xτ = ±yi. При этом каждому индексу i соответствует ровно один символ Шуберта τ (i), соседний с σ.

Следовательно, квадратичная форма, аппроксимирующая f(y) − cσ , равна

k(n−k)

то критическая точка i−1 (eσ) невырожденная; её индекс равен количеству символов Шуберта τ (i), соседних с σ, для которых cτ (i) < cσ .

Упорядочим символы Шуберта следующим образом: будем считать,

что τ < σ, если τk = σk, τk−1 = σk−1, . . . , τi+1 = σi+1, τi < σi . Константы cτ выберем так, что cτ < cσ при τ < σ. Легко проверить, что для

символа Шуберта σ количество соседних с ним символов Шуберта τ , которые меньше σ, равно d(σ). Действительно, выбросим из символа Шуберта σ элемент σi. Чтобы получить символ Шуберта, который меньше σ, можно добавить любое натуральное число, меньшее σi и отличное от σ1, . . . , σi−1; количество таких чисел равно σi − i.

Итак, при указанном выборе чисел cσ точка i−1 (eσ) является невырожденной критической точкой индекса d(σ). Остаётся проверить, что у функции fi нет других критических точек.

Рассмотрим произвольное k-мерное подпространство Π; пусть σ – его символ Шуберта. Выберем в Π базис v1, . . . , vk, где vi =

Π 6= i−1 (eσ), т. е. хотя бы один из векторов v1, . . . , vk имеет ненулевую координату. Обозначим этот вектор vi; для дальнейших целей удобно выбрать номер i максимально возможным.

Пусть V(t) – матрица, строками которой служат координаты векторов

v1, . . . , vi−1, vi (t), vi+1, . . . , vk; Vτ (t) – матрица, образованная столбцами τ1, . . . , τk матрицы V(t). Для подпространства Πt координата Плюк-

кера xτ (t) равна det Vτ (t).

Ситуация наиболее проста в случае i = k. В этом случае в зависимости от τk структура матрицы Vτ (t) следующая.

Если τk < σk, то последняя строка матрицы Vτ (t) получается из последней строки матрицы V(t) умножением всех элементов на 1 + t. В этом

случае xτ (t) = (1 + t)xτ (0) и xτ0 (t) = xτ0 (0).

Если τk = σk, то последний столбец матрицы Vτ (t) состоит из элемен-

тов 0, . . . , 0, 1. В этом случае xτ (t) = const и xτ0 (t) = 0.

Если τk > σk, то последний столбец матрицы Vτ (t) нулевой. В этом случае xτ (t) = 0.

Таким образом, xτ0 6= 0 лишь при τk < σk и xρ 6= 0 лишь при ρk 6 σk.

ρ,ρk<σk;τ

Константы cσ выбраны так, что из условия ρk < σk следует, что cρ,ρk < cτ ,σk .

Поэтому из равенства ϕ0 (0) = 0 следует, что x2, x2, = 0 для всех τ

ρ ρk τ σk

и ρ, ρk < σk. Но если τ , σk = σ, то xτ ,σk = xσ = 1. Поэтому xρ,ρk = 0 для всех ρ, ρk < σk. С другой стороны, если символ Шуберта ρ состоит из эле-

ментов j и σ1, . . . , σk−1, то xρ = ±vkj, а по условию одно из чисел vkj, j < σk, отлично от нуля. Приходим к противоречию.

Рассмотрим теперь случай, когда i < k. Напомним, что для удобства мы выбрали номер i максимальным, т. е. вектор vi имеет ненулевую координату, а векторы vi+1, . . . , vk имеют нулевые координаты (координаты