топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

замкнутые, ориентируемые и их ориентации фиксированы. Из теоремы Сарда следует, что у отображения f есть регулярное значение y Nn. Пусть x f−1 (y). Отображение df(x) : TxMn → TyNn является изоморфизмом, поэтому можно выбрать в точках x и y локальные координаты, ориентации которых согласованы с ориентациями многообразий Mn и Nn, и рассмотреть число sgn Jf (x) – знак якобиана отображения f в точке x. Назовём степенью отображения f относительно точки y число

Эта сумма имеет смысл, потому что множество f−1 (y) конечно. Действительно, предположим, что множество f−1 (y) содержит бесконечно много различных точек. Из компактности многообразия Mn следует, что существует последовательность попарно различных точек xi f−1 (y), i N, сходящаяся к точке x0. Тогда f(x0) = y и по теореме об обратной функции у точки x0 есть окрестность U, гомеоморфно отображающаяся на окрестность точки y. В частности, (U \ {x0}) ∩ f−1 (y) = . Приходим к противоречию.

Мы предполагаем, что если множество f−1 (y) пусто, то deg(f, y) = 0.

Пусть f, g : Mm → Nn – гладкие отображения. Будем говорить, что отображения f и g гладко гомотопны, если существует такое глад-

x1, . . . , xk выберем попарно не пересекающиеся окрестности U1, . . . , Uk, диффеоморфно отображающиеся на окрестности V1, . . . , Vk точки y.

= deg(f, y0). Построим аналогичную окрестность точки y для отображения g и рассмотрим пересечение этих двух окрестностей. В результате получим такое открытое множество W 3 y, что любая точка z W явля-

отображения f|∂W n+1 . Тогда deg(f|∂W n+1 , y) = 0.

Теорема 18.2 доказывается точно так же, как и теорема 18.1. Отметим, что ориентируемость многообразия W n+1 существенна. Рассмотрим, например, проекцию листа Мёбиуса на его серединную окружность. Степень ограничения этого отображения на край отлична от нуля: она равна 2, то теорема 18.2 будет

замкнутых ориентированных многообразий, причём многообразие Nn связно. Тогда если x, y Nn – регулярные значения отображения f, то deg(f, y) = deg(f, x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть h: Nn →Nn – диффеоморфизм. Точка x Nn является регулярным значением отображения f тогда и только тогда, когда точка h(x) является регулярным значением отображения hf. Если диффеоморфизм h сохраняет ориентацию, то непосредственно из определения степени видно, что deg(f, x) = deg(hf, h(x)). Поэтому достаточно доказать, что существует диффеоморфизм h: Nn → Nn, обладающий следующими свойствами:

а) h сохраняет ориентацию; б) h(x) = y;

в) отображение hf гладко гомотопно f.

Действительно, точка y является регулярным значением гомотопных отображений f и hf, поэтому deg(hf, y) = deg(f, y).

Диффеоморфизмы h0 и h1 называют изотопными, если они гладко гомотопны, причём все промежуточные отображения ht тоже являются диффеоморфизмами. Ясно, что любой диффеоморфизм (ориентируемого многообразия), изотопный тождественному диффеоморфизму, сохраняет ориентацию. Поэтому остаётся доказать следующее утверж-

дественному и переводит x в y.

дифференциальное уравнение dxdt = λ(x)c, где c Rn – фиксированный

вектор. Пусть Ft (x) – решение этого дифференциального уравнения с начальным условием F0 (x) = x. Ясно, что Ft+s = Ft ◦ Fs, поэтому Ft – диффеоморфизм, изотопный тождественному. Отображение Ft оставляет неподвижными все точки вне единичного шара и сдвигает все точки внутри единичного шара в направлении вектора c. Пусть kxk < 1 и kyk < 1. Положим c = y − x. Тогда для некоторого t > 0 диффеоморфизм Ft переводит x в y и оставляет неподвижными все точки вне единичного шара.

Та же самая конструкция позволяет построить требуемый диффеоморфизм h: Nn → Nn в том случае, когда точки x, y Nn принадлежат одной карте ϕ : U → Rn, где ϕ(U) – открытый единичный шар.

Будем считать точки x, y Nn эквивалентными, если существует диффеоморфизм, который изотопен тождественному и переводит x в y. Предыдущие рассуждения показывают, что классы эквивалентности – открытые множества. Но связное многообразие Nn нельзя нетривиальным образом представить в виде объединения попарно не пересекающихся открытых множеств. Это означает, что класс эквивалентности ровно

Теорема 18.3 показывает, что если Nn – связное многообразие (и оба многообразия Mn и Nn замкнутые ориентированные), то можно говорить о степени deg f гладкого отображения f : Mn → Nn, поскольку deg(f, x) не зависит от выбора регулярного значения x.

За м е ч а н и е. Для замкнутых, но не обязательно ориентируемых многообразий Mn и Nn можно рассмотреть степень по модулю два (для неориентируемых многообразий нельзя определить знак якобиана, но −1 ≡ 1 (mod 2)). Для такой степени теоремы 18.1, 18.2 и 18.3 остаются справедливыми.

За д а ч а 18.1. Пусть M2 – сфера с g ручками, где g > 1. Докажите, что степень любого гладкого отображения f : S2 → M2 равна нулю.

За д а ч а 18.2. Докажите, что deg(fg) = (deg f) (deg g).

За д а ч а 18.3. Пусть P(z) – многочлен степени n. Докажите, что отображение C → C, заданное формулой z 7→P(z), продолжается до гладкого отображения CP1 → CP1. Вычислите степень этого отображения.

За д а ч а 18.4. Пусть R(z) – несократимое отношение двух многочленов, степени которых равны m и n. Докажите, что отображение,

заданное формулой z 7→R(z), продолжается до гладкого отображения CP1 → CP1. Вычислите степень этого отображения.

Ле м м а 1. Пусть y0 – изолированная особая точка векторного поля w, f : Rn → Rn – диффеоморфизм. Тогда индекс особой точки y0 векторного поля w равен индексу особой точки f(x0) векторного поля df(w).

При доказательстве леммы 1 мы отдельно рассмотрим диффеоморфизмы, сохраняющие ориентацию, и диффеоморфизмы, изменяющие ориентацию. В первом случае доказательство легко получить с помощью следующего утверждения.

Ле м м а 2. Любой диффеоморфизм f : Rn → Rn, сохраняющий ориентацию, изотопен тождественному диффеоморфизму.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого a Rn отображение x 7→a +

f(x) = P xi gi (x), где g1, . . . , gn – гладкие отображения, причём gi (0) =

=∂ f (0). Положим

∂xi

F(x, t) = x1 g1 (tx) + . . . + xn gn (tx).

В результате получим изотопию, связывающую отображение f и линейное преобразование

Остаётся доказать, что линейное преобразование, сохраняющее ориентацию, изотопно тождественному преобразованию. Матрицу с положительным определителем можно представить в виде SU, где S – симметрическая положительно определённая матрица, U – ортогональная матрица с положительным определителем. Для преобразования S можно выбрать базис, в котором его матрица имеет диагональный вид с положительными элементами на диагонали. Для преобразования U можно выбрать базис, в котором его матрица имеет блочно-диагональный вид

Перейдём к доказательству леммы 1. Предположим сначала, что диффеоморфизм f : Rn → Rn сохраняет ориентацию. Пусть ft – изотопия, связывающая отображение f и тождественное отображение. Индекс особой точки ft (y0) векторного поля dft (w) не зависит от t, поэтому

индекс при t = 1 равен индексу при t = 0. Но это как раз и есть требуемое утверждение.

Предположим теперь, что диффеоморфизм f изменяет ориентацию.

Пусть s(x1, x2, . . . , xn) = (−x1, x2, . . . , xn) – симметрия относительно гиперплоскости x1 = 0. Тогда диффеоморфизм sf сохраняет ориентацию.

Поэтому достаточно убедиться, что индексы векторных полей w и ds(w) в точках x0 и s(x0) совпадают. Если w(x) = (w1, w2, . . . , wn), то

ds(w(s(x))) = (−w1, w2, . . . , wn) = sw(x).

За д а ч а 18.8 (Пуанкаре). Предположим, что интегральные траектории векторного поля v на плоскости касаются некоторой окружности C

вi точках внутренним образом и в e точках внешним образом, причём внутри C расположена единственная особая точка. Докажите, что индекс этой особой точки равен 1 + (i − e)/2.

За д а ч а 18.9. Пусть f – гладкая функция на плоскости. Докажите, что индекс изолированной особой точки векторного поля v = grad f может принимать значения 1, 0, −1, −2, . . . и не может принимать других значений.

ции. Вектор ej (x) задаётся кривой ϕ(x1, . . . , xj + t, . . . , xn). Отображе-

В частности, если ϕ(x) – особая точка векторного поля v, то этот касательный вектор лежит в пространстве, порождённом векторами e1 (x), . . . , en (x). Это означает, что отображение dv переводит касательное пространство в особой точке векторного поля v само в себя.

Особую точку y векторного поля v называют невырожденной, если линейный оператор dv : TyMn → TyMn невырожден.

Т е о р е м а 18.4. Невырожденная особая точка y векторного поля v является изолированной и её индекс равен ±1; знак индекса совпадает со знаком определителя оператора dv : TyMn → TyMn.

в точке y и будем рассматривать v как отображение из Rn в Rn. По условию в начале координат якобиан этого отображения не равен нулю, поэтому по теореме об обратной функции существует окрестность U начала координат, которая диффеоморфно отображается на свой образ. (Из этого, в частности, следует, что особая точка в U ровно одна.) Отождествив окрестность U и её образ с Rn, получим диффеоморфизм v : Rn → Rn. Этот диффеоморфизм сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда det(dv) > 0. Согласно лемме 2 на с. 247 диффеоморфизм v : Rn → Rn, сохраняющий ориентацию, изотопен тождественному диффеоморфизму. В таком случае индекс особой точки равен 1. Если же диффеоморфизм v изменяет ориентацию, то он изотопен симметрии относительно гиперплоскости. Степень отображения Sn−1 → Sn−1 в таком случае равна −1,

Одно из важнейших свойств векторных полей на замкнутых многообразиях заключается в том, что сумма индексов особых точек постоянна. Для доказательства этого нам потребуется следующее утверждение, которое используется и при доказательстве многих других теорем.

чем на ε. Тогда число ε > 0 можно выбрать так, что каждая точка y Mε однозначно представляется в виде y = x + ξ, где

xMn и ξ TxMn.

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть N – множество пар (x, ξ), где x Mn

и ξ – вектор, ортогональный TxMn Rm. На множестве N можно ввести структуру многообразия размерности m следующим образом. Введём на многообразии Mn локальные координаты (u1, . . . , un) и в каждой точке x этой локальной системы координат выберем ортонормированную систему векторов ε1, . . . , εm−n, ортогональных TxMn; мы предполагаем, что вектор εi гладко зависит от x. Паре (x, ξ) сопоставим набор ко-

ординат (u1, . . . , un, ξ1, . . . , ξm−n), где ξ = ξ1ε1 + . . . + ξm−nεm−n. В этих координатах отображение, заданное формулой (x, ξ) 7→x + ξ, имеет вид

(u1, . . . , un, ξ1, . . . , ξm−n) 7→x(u1, . . . , un) + ξ1ε1 + . . . + ξm−nεm−n Rm, где x(u1, . . . , un) Mn Rm – точка многообразия, имеющая локальные

координаты (u1, . . . , un). Матрица Якоби этого отображения равна

250 Глава V. Многообразия

TxMn. В этой записи матрицы Якоби подразумевается, что каждый вектор записывается как столбец его координат.

Векторы e1, . . . , en образуют базис пространства TxMn, а векторы ε1, . . . , εm−n образуют базис ортогонального дополнения этого пространства. Поэтому при ξ = 0 отображение (x, ξ) 7→x + ξ локально взаимно однозначно. Компактность многообразия Mn позволяет выбрать ε > 0 так, что ограничение отображения F на множество Nε = {(x, ξ) N | kξk 6 6 ε} взаимно однозначно. Отображение Fε : Nε → Rm является взаимно однозначным погружением компактного многообразия, поэтому Fε – вложение. В частности, Mε = Fε (Nε) – компактное многообразие с кра-

чек для всех векторных полей с изолированными особыми точками

с невырожденными особыми точками (случай вырожденных особых точек мы обсудим в конце доказательства). Воспользуемся обозначениями из доказательства теоремы 18.5. Продолжим векторное поле v

что и векторное поле v. Теорема 18.4 показывает, что индексы особых точек векторного поля v˜ такие же, как и для особых точек векторного

y = x + ξ, представляет собой гиперплоскость, ортогональную вектору ξ. Вектор v(x) лежит в этой гиперплоскости, поэтому (v˜ (y), ξ) = (ξ, ξ) > 0.

равна сумме индексов особых точек векторного поля v˜ (y).