топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

У п р а ж н е н и е 4. Докажите, что пространство унитарных матриц U(n) является многообразием.

16.2.Векторные поля

На множестве TMn = S TxMn можно ввести структуру многообра-

x Mn

зия следующим образом. Пусть (U, ϕ) – локальная система координат на многообразии Mn. Сопоставим касательному вектору в точке x Mn пару (ϕ(x), v), где v = (v1, . . . , vn) – координаты этого касательного вектора в данной системе координат. В результате получим взаимно однозначное отображение

T ϕ : TU = [ TxMn → ϕ(U) × Rn R2n.

x U

Множества TU покрывают TMn. Потребовав, чтобы все отображения T ϕ были гомеоморфизмами, мы зададим на TMn структуру топологического пространства. Карты (TU, T ϕ) задают на этом топологическом пространстве структуру многообразия. Многообразие TMn называют касательным расслоением многообразия Mn.

З а д а ч а 16.1. Докажите, что многообразие TSn гомеоморфно подмножеству в комплексном пространстве Cn+1, заданному уравнением

z12 + . . . + zn2+1 = 1.

Сопоставив касательному вектору v TxMn точку x, получим проекцию p : TMn → Mn. При этом отображение p гладкое.

Гладкое отображение f : Mm → Nn индуцирует гладкое отображение df : TMm → TNn (дифференциал отображения f).

Векторным полем на многообразии Mn называют гладкое сечение проекции p, т. е. такое гладкое отображение s : Mn → TMn, что ps = idMn . Отображение s сопоставляет точке x Mn вектор v TxMn. Гладкость отображения s означает, что в любой локальной системе координат (U, ϕ)

222 Глава V. Многообразия

П р и м е р. На сфере S2n+1 существует векторное поле без особых точек.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Гладкой кривой γ (t) = x + ty + . . . на сфере Sm соответствует вектор y Rm+1, для которого выполняется равенство (x, y) = 0. Действительно, из равенства kγ (t)k = 1 следует, что kxk2 + t(x, y) + . . . = 1, поэтому (x, y) = 0. Размерность пространства, образованного такими векторами, совпадает с размерностью касательного пространства, поэтому любому вектору y Rm+1, для которого выполняется равенство (x, y) = 0, соответствует касательный вектор в точке x Sm.

Сфера размерности 2n + 1 расположена в пространстве размерности 2n + 2. Это означает, что координаты вектора x можно разбить на пары: x = (u1, v1, . . . , un+1, vn+1). Положим y = (−v1, u1, . . . , −vn+1, un+1).

Врезультате получим векторное поле без особых точек на сфере S2n+1. 2

За д а ч а 16.2. Докажите, что на сфере S4n+3 существуют три векторных поля, линейно независимых в каждой точке x S4n+3.

За д а ч а 16.3. а) Докажите, что отображения f, g : S2n+1 → S2n+1, заданные формулами f(x) = x и g(x) = −x, гомотопны.

б) Докажите, что отображения f, g : S2n → S2n, заданные формулами

f(x) = −x и g(x0, x1, . . . , x2n) = (−x0, x1, . . . , x2n), гомотопны.

Т е о р е м а 16.1. На сфере S2n не существует векторного поля без особых точек.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [96]). Предположим, что v(x) – векторное поле без особых точек на сфере Sm, т. е. v : Sm → Rm+1 – такое гладкое отображение, что v(x) 6= 0 и (x, v(x)) = 0 для всех x Sm. Заменив v(x) на v(x)/kv(x)k, получим векторное поле, состоящее из векторов единичной длины.

Матрица Якоби отображения ft (x) имеет вид I + tJ(x), где I – единичная матрица, J(x) – матрица Якоби отображения v(x). В частности, при малых t к отображению ft можно применить теорему об обратной функ-

Пусть 0 < a < b. Рассмотрим множество A = {x Rm+1 | a 6 kxk 6 b}. Если t достаточно мало, то

ft (A) = x Rm+1 | p1 + t2 a 6 kxk 6 p1 + t2 b .

Поэтому, в частности, отношение объёмов множеств ft (A) и A равно

√1 + t2 m+1.

Квычислению отношения объёмов множеств ft (A) и A можно подойти

ипо-другому. Прежде всего покажем, что при достаточно малых t отоб-

ражение ft на множестве A взаимно однозначно. На компактном множестве A все частные производные отображения v(x) равномерно ограничены, поэтому существует такая константа c, что kv(x) − v(y)k 6 ckx − yk

для любых x, y A. Пусть x, y A и ft (x) = ft (y). Тогда x − y = t(v(x) −

−v(y)), а значит, kx − yk 6 c|t| · kx − yk. При |t| < c−1 получаем x = y. Определитель матрицы Якоби отображения ft (x) равен det(I + tJ(x)) =

= 1 + tσ1 (x) + . . . + tm+1σm+1 (x), где σ1, . . . , σm+1 – гладкие функции. При достаточно малых t этот определитель положителен и ft гомео-

морфно отображает A на ft (A), поэтому объём множества ft (A) равен a0 + a1t + . . . + am+1tm+1, где a0 – объём множества A и

ZZ

ak = . . . σk (x) dx1 . . . dxm+1.

a6kxk6b

В итоге получаем, что (√1 + t2)m+1 – многочлен от t степени m + 1. Это возможно лишь в том случае, когда число m + 1 чётно. Но мы рас-

За м е ч а н и е. Теорема о том, что на сфере S2n не существует векторного поля без особых точек, имеет много разных доказательств. Мы сейчас привели весьма нестандартное доказательство этой теоремы. Более стандартное доказательство можно получить с помощью теоремы Пуанкаре–Хопфа (теорема 18.6 на с. 250); для этого нужно воспользоваться также теоремой 19.4 на с. 267 и примером 19.3 на с. 273.

За д а ч а 16.4. а) Пусть f : S2n → S2n – гладкое отображение. Докажите, что существует такая точка x S2n, что f(x) = ±x.

б) Пусть f : RP2n → RP2n – гладкое отображение. Докажите, что у этого отображения есть неподвижная точка.

З а д а ч а 16.5.* [25] Алгеброй с делением называют конечномерное вещественное пространство K с билинейным умножением µ : K × K → → K без делителей нуля (т. е. если v 6= 0 и w 6= 0, то µ(v, w) 6= 0) и с двусторонней единицей e (т. е. µ(e, v) = v = µ(v, e) для всех v K). Докажите, что если dim K > 2, то K содержит подалгебру, изоморфную C.

16.3.Риманова метрика

Риманова метрика на многообразии Mn – это гладкое задание в касательном пространстве TxMn скалярного произведения (u, v). Гладкость означает, что функция f : TMn → R, заданная формулой f(v) = (v, v), является гладкой. Эквивалентное определение гладкости таково: для любых гладких векторных полей X и Y на Mn функция (X, Y) является гладкой

ϕi : Ui → Rn и построим гладкое разбиение единицы {fi}, для которо-

го supp fi Ui.

Для x Ui определим скалярное произведение (· , ·)i в TxMn следующим образом. Пусть векторы v, w TxMn имеют в локальной системе

координат (Ui , ϕi) координаты (v1, . . . , vn) и (w1, . . . , wn). Тогда положим (v, w)i = v1w1 + . . . + vnwn.

Пусть теперь x – произвольная точка Mn и v, w TxMn. Положим

Эта сумма имеет следующий смысл: если значение (v, w)i не определено, то x 6Ui, а значит, fi (x) = 0; в таком случае мы полагаем fi (x) (v, w)i = 0.

При фиксированном x получается выражение вида λ1A1 + . . . + λkAk,

16.4.Дифференциальные формы и ориентируемость

многообразия задаётся аналогично тому, как это делается для TMn. Действительно, пусть (U, ϕ) – локальная система координат с началом в точке x, v TxMn и l Tx Mn. В этой локальной системе координат

вектор v имеет координаты (v1, . . . , vn) и при этом l(v) = l1v1 + . . . + lnvn, где числа l1, . . . , ln одни и те же для всех векторов. Будем считать,

что (l1, . . . , ln) – координаты ковектора l в данной системе координат. Дальше действуем точно так же, как и для TMn.

Гладкое отображение f : Mm → Nn индуцирует отображение касательных расслоений df : TMm → TNn, которое переносит касательные векторы в том же направлении, в котором действует отображение f. Для кокасательных расслоений индуцированное отображение δ f действует в противоположном направлении, т. е. δ f : T Nn → T Mm. Действительно, зададим отображение δ f формулой δ f(l) (v) = l(df(v)). Эта формула показывает, что если l Tf(x) Nn T Nn, то δ f(l) Tx Mm T Mm.

Пусть ΛkxMn – k-я внешняя степень пространства Tx Mn. На множестве ΛkMn = S ΛkxMn естественным образом вводится структура мно-

x Mn

гообразия. Дифференциальной k-формой на многообразии Mn называют гладкое сечение канонической проекции p : ΛkMn → Mn, т. е. такое гладкое отображение s : Mn → ΛkMn, что ps = idMn .

В локальной системе координат форма ω ΛkMn имеет вид

Многообразие Mn называют ориентируемым, если существует набор

Т е о р е м а 16.3. Многообразие Mn ориентируемо тогда и только тогда, когда на нём есть n-форма Ω, не обращающаяся в нуль ни в какой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что многообразие Mn ориентируемо. Пусть {Uα , ϕα} – ориентирующий атлас на многообразии Mn. Пространство n-форм на n-мерном многообразии одномерно; базисная форма ω в Rn имеет вид ω = dx1 . . . dxn. Рассмотрим на Uα

λα (x) = λ(ϕα (x)) – положительная функция на Uα ∩ Uβ .

Можно считать, что покрытие {Uα } не более чем счётно. Пусть fα – такое разбиение единицы, подчинённое покрытию {Uα }, что supp fα Uα

не обращается в нуль. Пусть {Uα , ϕα} – произвольный атлас, ω = dx1. . . dxn – базисная форма в Rn. Форма δ (ϕα)ω, определённая на Uα , пропорциональна Ω, поэтому δ (ϕα)ω = µα Ω, где µα – некоторая функция на Uα. Функция µα не обращается в нуль, поэтому µα > 0 или µα < 0 на всём множестве Uα (мы предполагаем, что множество Uα связно). Если µα < 0, то заменим отображение ϕα на отображение ψα, которое является композицией отображения ϕα и отображения Rn → Rn, заданного формулой (x1, x2, . . .) 7→(x2, x1, . . .). Ясно, что

δ(ψα)ω = δ (ψα)dx1 dx2 . . . dxn =

=δ (ϕα)dx2 dx1 . . . dxn = −µαΩ = ναΩ,

где να = −µα > 0.

Точно так же, как строилась риманова метрика на многообразии Mn, можно построить скалярное произведение в каждом пространстве ΛnxMn. Пусть Mhn – множество векторов единичной длины в ΛnMn. Пространство ΛnxMn одномерно, поэтому из точки x выходят ровно два вектора единичной длины. Из этого следует, что естественная проекция p : Mhn → Mn является двулистным накрытием. Это накрытие называют ориентирующим накрытием многообразия Mn, а многообразие Mhn называют ориентирующей накрывающей. Происхождение такого названия проясняет

компонента связности представляет собой n-форму Ω, нигде не обращающуюся в нуль. Наоборот, если n-форма Ω нигде не обращается в нуль, то множество точек Ω(x)/kΩ(x)k представляет собой одну из компонент связности многообразия Mhn.

касательных пространств, поэтому форму Ω(x) можно рассматривать как

Поднятие пути γ Mn в накрывающее многообразие Mhn соответствует переносу ориентации вдоль пути γ. Перенос ориентации вдоль пути имеет следующий геометрический смысл. Покроем путь γ конечным числом карт ϕi : Ui → Rn так, чтобы каждое множество γ ∩ Ui было связно. Карта ϕi позволяет задать во всех пространствах TxMn для x Ui ориентации согласованным образом. Поэтому если [a, b] γ ∩ Ui , то ориентацию, заданную в точке a, можно перенести в точку b.

У п р а ж н е н и е 8. Дайте определение ориентирующего накрытия, основываясь на геометрическом определении переноса ориентации вдоль пути.

§ 17. Вложения и погружения

Вложения и погружения мы определяли для многообразий без края, поэтому будем предполагать, что рассматриваемые многообразия не имеют края. Для компактных многообразий есть достаточно простая конструкция, позволяющая вложить n-мерное многообразие в R2n+1. Эту конструкцию мы изложим в п. 17.1. Затем с помощью вложений мы в п. 17.2 докажем, что любое замкнутое компактное многообразие триангулируемо.

Для некомпактных многообразий требуется совсем другая конструкция. Она основана на том, что если n > 2m, то любое гладкое отображение Mm → Rn можно сколь угодно малым шевелением превратить в погружение. Поэтому в п. 17.3 мы обсудим погружения многообразий, а затем в п. 17.4 докажем, что любое многообразие размерности n вкладывается в R2n+1 в качестве замкнутого подмногообразия.

Все эти теоремы о вложениях и погружениях доказал Уитни [144]. Более тонкие рассуждения, тоже принадлежащие Уитни, показывают, что любое n-мерное многообразие, где n > 2, можно погрузить в R2n−1, а любое компактное n-мерное многообразие можно вложить в R2n. Современное изложение доказательств этих утверждений приведено в [24].

17.1.Вложения компактных многообразий

Здесь мы докажем, что компактное многообразие Mn можно вложить в R2n+1. Конструкция состоит из двух шагов. Сначала мы докажем, что Mn можно вложить в RN , где N достаточно велико. Затем докажем, что если Mn можно вложить в RN , где N > 2n + 1, то Mn можно вложить

ив RN−1.

Те о р е м а 17.1. Компактное многообразие Mn можно вложить в RN , где N достаточно велико.

Д о к а з а т е л ь с т в о. На компактном многообразии Mn существу-

ет конечный набор карт ϕi : Ui → Rn, i = 1, . . . , k, обладающий следующими свойствами:

1) множество ϕi (Ui) является открытым шаром радиуса 2 с центром в начале координат;

2) прообразы открытых единичных шаров при отображениях ϕi покрывают Mn; эти прообразы будем обозначать Vi .

Построим гладкую функцию λ : Rn → R, для которой

k k

кроме того, 0 < λ(y) < 1 при 2 > kyk > 1. Для этого сначала рассмотрим функцию

Затем положим β (t) = α(x − 1)α(2 − x); функция β положительна на интервале (1, 2). Наконец, положим,

,

Z 2 Z 2

γ (τ) = β (t)dt β (t)dt

τ1

и λ(y) = γ (kyk).

Пусть λi (x) = λ(ϕi (x)). Отображение λi (x)ϕi (x) определено на всём

Ограничение на Ui отображения x 7→λi (x)ϕi (x) является погружени-

Т е о р е м а 17.2. а) Пусть f : Mn → RN – погружение. Тогда если N > 2n, то композиция отображения f и проекции на некоторую гиперплоскость RN−1 RN является погружением.

б) Пусть Mn – компактное многообразие и f : Mn → RN – вложение. Тогда если N > 2n + 1, то композиция отображения f и проекции на некоторую гиперплоскость RN−1 RN является вложением.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Ядро проекции пространства RN на гиперплоскость RNv −1, ортогональную вектору v, состоит из векторов, пропорциональных v. Поэтому композиция отображения f и проекции на гиперплоскость RNv −1 является иммерсией в точке x Mn тогда и только тогда, когда вектор v не принадлежит образу отображения

Чтобы исключить нулевой вектор, будем рассматривать SN−1 вместо RN . Отображение df переводит пропорциональные векторы в пропорциональные, а любой ненулевой вектор оно переводит в ненулевой вектор. Поэтому можно ввести на Mn риманову метрику и построить отображение g : T1Mn → SN−1, где T1Mn – множество касательных векторов единичной длины.

Легко проверить, что T1Mn – многообразие размерности 2n − 1. Действительно, сопоставим касательному вектору квадрат его длины. В ре-

взаимно однозначна.

Остаётся заметить, что взаимно однозначное непрерывное отобра-

17.2.Триангуляция замкнутого многообразия

Пусть Mn – компактное многообразие без края. Докажем, следуя [45], что Mn триангулируемо, т. е. существует гомеоморфизм Mn→|K|, где K – некоторый симплициальный комплекс. Чтобы построить триангуляцию, вложим Mn в RN . Для точки x Mn в RN определены два аффинных подпространства, проходящих через точку x, а именно, касательное подпространство TxMn и нормальное подпространство NxMn, являющееся ортогональным дополнением пространства TxMn. Будем говорить, что сфера радиуса r с центром y касается Mn в точке x, если y NxMn

иky − xk = r.

Ле м м а. Для замкнутого многообразия Mn RN можно выбрать число r > 0 так, что ни одна сфера радиуса меньше r, касающаяся Mn, не содержит точек Mn, отличных от точки касания.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для начала рассмотрим ситуацию, соответ-

ствующую вложению M1 R2. Пусть график гладкой функции y = f(x)

√

пересекает окружность x2 + (y − r)2 = r2 в точке (x0, r − r2 − x02) и при этом в начале координат график касается окружности, т. е. f0 (0) = 0.