топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

ортогонализацией Грама–Шмидта, то такое отображение будет непрерывно.

Такой подход к определению топологии пространства G(n, k) имеет следующее преимущество: пространство G(n, k) получается как факторпространство компактного пространства по действию компактной группы O(k). Из этого, в частности, следует, что пространство G(n, k) компактно и хаусдорфово.

По-другому доказать хаусдорфовость пространства G(n, k) можно, например, так. Фиксируем точку x Rn и рассмотрим на G(n, k) функцию dx, равную расстоянию от точки x до подпространства Π G(n, k). Эта функция непрерывна. Ясно также, что если k-мерные подпространства Π1 и Π2 различны, то точку x можно выбрать так, что x Π1 и x 6Π2.

Втаком случае dx (Π1) = 0 и dx (Π2) 6= 0.

Те о р е м а 15.7. Топологическое пространство G(n, k) являет-

ся многообразием (без края) размерности k(n − k).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в подпространстве Π G(n, k) линейно независимые векторы v1, . . . , vk и рассмотрим прямоугольную матрицу V = V(Π), строками которой служат координаты этих векторов. Для каждого мультииндекса I = {i1, . . . , ik}, где 1 6 i1 < . . . < ik 6 n, можно рассмотреть квадратную матрицу VI , образованную столбцами матрицы V с номерами i1, . . . , ik. Из линейной независимости векторов v1, . . . , vk следует, что найдётся мультииндекс I, для которого det VI 6= 0. Рассмотрим прямоугольную матрицу (VI)−1V . Столбцы этой матрицы

сномерами i1, . . . , ik образуют единичную матрицу порядка k.

Вподпространстве Π можно выбрать другие линейно независимые

векторы w1, . . . , wk. При этом W = AV , где A GLk (R), и WI = AVI . Следовательно, (WI)−1W = (VI)−1A−1AV = (VI)−1V . Это означает, что

Для любого мультииндекса I рассмотрим множество UI G(n, k), состоящее из тех подпространств Π G(n, k), для которых det VI 6= 0. Множества UI покрывают всё пространство G(n, k). Ясно также, что каждое множество UI открыто. Действительно, если det VI 6= 0, то при достаточно малом изменении элементов матрицы V получается матрица

212 Глава V. Многообразия

Остаётся проверить, что если I и J – два мультииндекса, то отображе- , определённое на открытом множестве ϕI (UI ∩ UJ), является

гладким.

Отображение ϕJ ϕ−I 1 устроено следующим образом. Точке x Rk(n−k) сопоставим матрицу ΠI , у которой n − k столбцов заполнены координатами вектора x, а остальные столбцы (соответствующие мультииндексу I) образуют единичную матрицу. Матрице ΠI сопоставим матрицу V , для которой (VI)−1V = ΠI . Наконец, матрице V сопоставим матрицу ΠJ = (VJ)−1V = (VJ)−1VI ΠI . Чтобы устранить неоднозначность выбора матрицы V , будем полагать, что VI – единичная матрица. В таком случае

Уп р а ж н е н и е 5. Докажите, что сопоставление подпространству его ортогонального дополнения индуцирует диффеоморфизм G(n, k) →

→G(n, n − k).

Уп р а ж н е н и е 6. Докажите, что G(n, 1) ≈ RPn−1.

Если в пространстве Rn фиксирован базис, то k-мерному подпро-

Координаты Плюккера определены однозначно с точностью до пропорциональности. Действительно, если в Π выбрать другой базис, то матрица V заменится на матрицу AV , где A GLk (R). При этом каждая координата Плюккера умножится на det A.

Т е о р е м а 15.8 (вложение Плюккера). Координаты Плюккера

отображает G(n, k) на i(G(n, k)). Для этого достаточно проверить, что отображение i инъективно, поскольку взаимно однозначное непрерывное отображение компактного пространства на хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.

c1, . . . , cn−k R – постоянные линейно независимые векторы. Рассмот-

= 0 тогда и только тогда, когда пересечение подпространств, порождённых векторами v1, . . . , vk и c1, . . . , cn−k, отлично от нуля. Таким образом, координаты Плюккера k-мерного подпространства Π удовлетворяют уравнению P aI xI = 0 тогда и только тогда, когда пересечение Π с подпространством, порождённым векторами c1, . . . , cn−k, отлично от нуля. Остаётся заметить, что для двух различных k-мерных подпространств в Rn можно выбрать (n − k)-мерное подпространство так, чтобы его пересечение с одним подпространством было равно нулю, а пересечение с другим подпространством было отлично от нуля.

Проверим теперь, что i – погружение. Рассмотрим карту UI и введём на ней координаты так, как это было объяснено выше. Чтобы избежать запутанных обозначений, ограничимся простым примером, когда UI со-

ляет матрице ΠI набор определителей всех её подматриц порядка k = 3. Если мы рассмотрим только подматрицы, образованные k − 1 столбцами единичной матрицы и ещё одним каким-то столбцом, то получим, что в карте UI отображение i имеет вид

Одна из координат образа равна 1. Это означает, что образ карты UI целиком лежит в стандартной карте проективного пространства, т. е. мы получаем отображение евклидовых пространств. Очевидно, что ранг этого

З а м е ч а н и е. Образ G(n, k) в RP −1 при вложении Плюккера можно явно задать системой уравнений, называемых соотношениями Плюккера. Подробности см. в [15, § 30].

214 Глава V. Многообразия

Помимо многообразия k-мерных подпространств в Rn можно рассмотреть многообразие k-мерных комплексных подпространств в Cn. Чтобы различать эти многообразия, мы будем говорить о вещественных и о комплексных многообразиях Грассмана. Кроме того, в вещественном случае можно рассмотреть ориентированное многообразие Грассмана G+ (n, k), точками которого служат ориентированные k-мерные подпространства. В этом случае наборы векторов считаются эквива-

ентируемо.

б) Докажите, что вещественное многообразие Грассмана G(n, k) ориентируемо тогда и только тогда, когда n чётно.

диффеоморфизме комплексное сопряжение соответствует изменению ориентации плоскости.

Опишем теперь клеточное строение многообразия Грассмана. Для

иdim(Π ∩ Rσj −1) = j − 1.

Ле м м а. Подпространство Π имеет имеет символ Шуберта σ тогда и только тогда, когда в нём можно выбрать векторы

v1, . . . , vk так, что матрица, строками которой служат их координаты, имеет следующий вид:

здесь столбцы из нулей и одной единицы имеют номера σ1, . . . , σk;

но вектором v1 = (x1, . . . , xσ1 , 0, . . . , 0). Из условия dim(Π ∩ Rσ1−1) = 0 следует, что xσ1 6= 0. Поэтому можно считать, что xσ1 = 1; в таком случае

вектор v1 определён однозначно.

В двумерном пространстве Π ∩ Rσ2 вектор v1 можно дополнить до ба-

зиса вектором v2 = (y1, . . . , yσ2 , 0, . . . , 0). Из условия dim(Π ∩ Rσ2−1) = 1 следует, что yσ2 6= 0. Поэтому можно считать, что yσ2 = 1. В таком случае

вектор v2 определён с точностью до замены его на вектор вида v2 + λv1. У этого вектора координата с номером σ1 равна yσ1 + λ. Подходящим образом выбрав λ, можно добиться того, что эта координата обратится в нуль. Теперь вектор v2 определён однозначно. Дальнейшие рассуждения

Множество всех подпространств с заданным символом Шуберта σ называют открытой клеткой Шуберта и обозначают e(σ). Множество e(σ) G(n, k) является образом открытого шара размерности d(σ) = (σ1 − 1) + (σ2 − 2) + . . . + (σk − k) при некотором гомеоморфизме. Открытые клетки Шуберта попарно не пересекаются и покрывают всё многообразие Грассмана.

Множество e(σ) характеризуется тем, что в принадлежащих ему

множества характеризуется тем, что в принадлежащих ему подпростран-

ствах существуют базисы v1, . . . , vk, для которых vi = (vi1, . . . , viσi , 0, . . . , 0), где viσi > 0. Отметим, что базис v1, . . . , vk можно при этом

считать ортонормированным.

Наша цель заключается в том, чтобы построить непрерывное отображение χσ : Dd(σ) → e(σ) G(n, k), обладающее следующими свойствами:

–ограничение χσ на int Dd(σ) является гомеоморфизмом на открытую клетку Шуберта e(σ);

–множество χσ (∂Dd(σ)) содержится в объединении открытых клеток Шуберта e(τ), для которых d(τ) < d(σ).

Применим индукцию по k. База индукции: k = 1. В этом случае символ

Шуберта σ состоит из одного элемента σ1 и d(σ) = σ1 − 1. Множество e(σ) состоит из 1-мерных подпространств, порождённых ненулевыми век-

1-мерное подпространство, натянутое на вектор (x1, . . . , xσ1 , 0, . . . , 0).

Ясно, что ограничение отображения χσ на int Dd(σ) является гомеоморфизмом на e(σ) и множество χσ (∂Dd(σ)) состоит из подпространств, натянутых на ненулевые векторы вида (x1, . . . , xσ1−1, 0, . . . , 0); после умножения на ненулевое число любой такой вектор можно привести к виду

(x1, . . . , xτ1 , 0, . . . , 0), где xτ1 = 1 и τ1 < σ1.

Чтобы построить отображение χσ при k > 2, нам понадобится вспомогательное собственное ортогональное преобразование пространства Rn, переводящее данный единичный вектор u в другой единичный вектор v и оставляющее на месте все векторы, ортогональные u и v. Такое преобразование R(u, v) существует при u 6= −v; это преобразование единственно. Легко проверить, что преобразование

R(u, v)x = x − (u + v, x) (u + v) + 2(u, x)v

1 + (u, v)

обладает требуемыми свойствами (в плоскости, натянутой на u и v, оно является вращением, поскольку переводит u в v, а v – в вектор, симметричный u относительно v). Таким образом, точка R(u, v)x непрерывно зависит от u, v, x. Ясно также, что если u, v Π, то проекции векторов x и R(u, v)x на Π совпадают.

Предположим, что требуемое отображение χσ : Dd(σ) → e(σ) построено для любого символа Шуберта σ = (σ1, . . . , σk) длины k. Рассмот-

рим символ Шуберта σ0 = (σ1, . . . , σk, σk+1) длины k + 1 (как обычно, 1 6 σ1 < σ2 . . . < σk < σk+1 6 n). Вместо отображения χσ0 : Dd(σ0) → e(σ0)

здесь d(σ0) − d(σ) = σk+1 − k − 1.

В подпространстве Π e(σ) можно выбрать ортонормированный

базис v1, . . . , vk, для которого vi = (vi1, . . . , viσi , 0, . . . , 0), где viσi > 0. Пусть e1, . . . , en – канонический базис пространства Rn. Положим

R = R(eσk , vk) ◦ . . . ◦ R(eσ2 , v2) ◦ R(eσ1 , v1).

Легко проверить, что R eσi = vi для всех i = 1, . . . , k. Действительно, преобразования R(eσ1 , v1), . . . , R(eσi−1 , vi−1) оставляют вектор eσi неподвижным, поскольку он ортогонален векторам v1, . . . , vi−1 и eσ1 , . . ., eσi−1 . Преобразование R(eσi , vi) переводит eσi в vi. А преобразования R(eσi+1 , vi+1), . . . , R(eσk , vk) оставляют вектор vi неподвижным, поскольку он ортогонален векторам vi+1, . . . , vk и eσi+1 , . . . , eσk .

i = 1, . . . , k. Отображение ϕ : e(σ) × Dd(σ0)−d(σ) → e(σ0) определим следу-

ющим образом. Точке (v1, . . . , vk, w) сопоставим точку (v1, . . . , vk, R w). Нужно проверить, что пространство, порождённое векторами v1, . . . , vk,

R w, действительно принадлежит e(σ0). Векторы w и R w имеют одинаковые проекции на ортогональное дополнение пространства Rσk , поэтому

R w = ( , . . . , , wσk+1, . . . , wσk+1 , 0, . . . , 0). Линейная независимость векторов v1, . . . , vk, R w следует из того, что (vi, R w) = (R eσi , R w) = = (eσi , w) = wσi = 0 и (R w, R w) = (w, w) = 1.

Сюръективность отображения ϕ следует из того, что обратное отображение ϕ−1 задаётся формулой ϕ−1 (v1, . . . , vk, vk+1) = (v1, . . ., vk, R−1vk+1). Здесь ортонормированный базис v1, . . . , vk, vk+1 выбирается точно так

же, как и для k-мерного подпространства с данным символом Шуберта; ортогональное преобразование R строится по векторам v1, . . . , vk точно так же, как и выше. Легко проверить, что вектор w = R−1vk+1 обладает всеми требуемыми свойствами. А именно:

w = (w1, . . . , wσk+1 , 0, . . . , 0), где wσk+1 = vk+1,σk+1 > 0;

wσi = (eσi , w) = (R eσi , R w) = (vi, vk+1) = 0 при i = 1, . . . , k; (w, w) = (R−1vk+1, R−1vk+1) = (vk+1, vk+1) = 1.

Отображение ϕ−1 непрерывно, поэтому из индуктивного предпо-

§ 16. Касательное пространство

Касательный вектор в точке x Mn легко определить в локальной системе координат, но при переходе к другой системе координат возникают некоторые трудности. Поэтому используется несколько определений касательного вектора, которые бывают полезны в разных ситуациях.

Одно из наиболее естественных определений таково. Касательный вектор в точке x Mn – это некий объект, которому в каждой локальной системе координат (U, ϕ) с началом в точке x соответствует определённый вектор v = (v1, . . . , vn) Rn; при этом в локальной системе координат (V , ψ) тому же самому касательному вектору соответствует вектор w = (w1, . . . , wn), где

Иными словами, w – образ вектора v под действием матрицы Якоби отображения перехода ψϕ−1. Корректность этого определения следует из того, что матрица Якоби композиции двух отображений является произведением матриц Якоби этих отображений.

Основной недостаток этого определения – зависимость от выбора системы координат. Чтобы получить инвариантное определение, можно поступить разными способами.

Касательный вектор как класс эквивалентных кривых. Вектору v Rn можно сопоставить семейство всех гладких кривых γ : (−1, 1) →

→ Rn, для которых γ (0) = 0 и ddtγ (0) = v. Если (U, ϕ) – локальная систе-

ма координат с началом в точке x M, то кривой γ (t) можно сопоставить кривую γh = ϕ−1γ на многообразии Mn; при этом γh(0) = x. Поэтому касательный вектор в точке x M можно определить как класс эквивалентности гладких кривых γh: (−1, 1) → Mn, для которых γh(0) = x. Кривые γh1 и γh2 считаются эквивалентными, если для некоторой системы координат (U, ϕ) с началом в точке x выполняется равенство

локальных координат, а во-вторых, координаты касательного вектора

преобразуются по требуемому закону (1).

Касательный вектор как оператор дифференцирования. Пусть (U, ϕ) – локальная система координат с началом в точке x Mn, v Rn и f – гладкая функция, определённая в некоторой окрестности точки x.

называть производной функции f по направлению векторного поля v. При переходе к другой системе координат (V , ψ) вектор v заменится

Таким образом, число, сопоставляемое функции f, не зависит от выбора системы координат.

Касательному вектору v в точке x Mn мы сопоставили линейный оператор v : C∞ (Mn) → R (вместо C∞ (Mn) можно взять C∞ (U), где U – некоторая окрестность точки x; число v(f) зависит только от поведения функции f в сколь угодно малой окрестности точки x). При этом выполняются следующие свойства:

постоянная функция.

Свойства 1 и 2 вместе с линейностью оператора v можно взять за определение линейного пространства касательных векторов в точке

некоторых v1, . . . , vn Rn. Для этого нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Л е м м а. Пусть f C∞ (U), где U Rn – выпуклая окрестность начала координат, и f(0) = 0. Тогда существуют такие функции

где vi = v(xi).

ство. Это пространство называют касательным пространством в точке x и обозначают TxMn.

У п р а ж н е н и е 2. Пусть J = {f C∞ (Rn) | f(0) = 0}, J2 =

16.1.Дифференциал отображения

Пусть f : Mm → Nn – гладкое отображение, v TxMm – касательный вектор. Тогда можно определить вектор df(v) Tf(x) Nn. Например, если вектор v задан кривой γ (t), то вектор df(v) задаётся кривой f(γ (t)). А если вектор v задан как линейный оператор на гладких функциях, то вектор df(v) задаётся как оператор df(v) (ϕ) = v(ϕ f); действительно,

если ϕ C∞(Uf(x)), то ϕ f C∞ (Vx).

Отображение df : TxMm → Tf(x) Nn линейно; это отображение называют дифференциалом отображения f в точке x.

У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что d(f ◦ g) = df ◦ dg.

Условие, что f – иммерсия (субмерсия) в точке x, эквивалентно тому, то дифференциал отображения f в точке x – мономорфное (эпиморфное) отображение. В такой форме иногда бывает удобнее проверять, что f – иммерсия (субмерсия).

П р и м е р. Рассмотрим отображение из пространства Rn2 всех матриц порядка n в пространство Rn(n+1)/2 симметрических матриц, заданное формулой f(X) = XT X. Тогда во всех точках множества f−1 (In), где In – единичная матрица, отображение f является субмерсией. (Поэтому согласно теореме 15.3 топологическое пространство f−1 (In) = O(n) является многообразием.)

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть U O(n), т. е. UT U = In. Рассмотрим

впространстве всех матриц гладкую кривую γ (t) + U + tA. При отоб-

ражении f она переходит в кривую In + t(UAT + AUT) + o(t), поэтому вектор A переходит в вектор UAT + (UAT)T . Ясно, что любую симметрическую матрицу можно представить в виде X + XT и любую матрицу X