топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

крытая в Rn+ окрестность точки 0 не гомеоморфна открытому в Rn множеству. Для n = 2 это доказано при доказательстве теоремы 11.1 на с. 155. В общем случае для доказательства этого утверждения требуется многомерный аналог теоремы Жордана.

Уп р а ж н е н и е 2. а) Пусть Mn – многообразие без края. Докажите, что его подмногообразие является многообразием без края.

б) Пусть Mn – многообразие с краем. Докажите, что его подмногообразие может быть либо многообразием с краем, либо многообразием без края.

Уп р а ж н е н и е 3. Докажите, что край многообразия является многообразием без края.

З а д а ч а 15.1. Пусть Mn – связное многообразие, Nn – его подмногообразие (размерности многообразий одинаковые). Докажите, что если многообразие Nn замкнутое, то Nn = Mn.

15.2.Отображения многообразий

Если f : Mm → Nn и g : Nn → Mm – гладкие взаимно обратные отображения, то отображение f называют диффеоморфизмом, а многообразия Mm и Nn называют диффеоморфными. Из теоремы об обратной функции следует, что если многообразия Mm и Nn диффеоморфны,

то отображение f называют иммерсией, или погружением, в точке x,

202 Глава V. Многообразия

а если rank f(x) = n, то отображение f называют субмерсией. Отображение f, которое во всех точках x Mm является иммерсией (субмерсией), называют иммерсией (субмерсией). Отображение f, которое является погружением и гомеоморфно отображает Mm на f(Mm) Nn называют

вложением.

Т е о р е м а 15.2. а) Гладкое отображение f : Mm → Nn, являющееся иммерсией в некоторой точке a, в окрестности этой точки устроено как стандартное вложение Rm → Rm × Rn−m. Чтобы привести иммерсию локально к такому виду, достаточно изменить систему координат в образе, т. е. в окрестности точки f(a).

б) Гладкое отображение f : Mm → Nn, являющееся субмерсией в некоторой точке a, в окрестности этой точки устроено как стандартная проекция Rn × Rm−n → Rn. Чтобы привести субмерсию локально к такому виду, достаточно изменить систему координат в прообразе, т. е. в окрестности точки a.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (Ua, ϕ) и (Vf(a) , ψ) – локальные системы координат с началами в точках a Mm и f(a) Nn; при этом будем

считать, что f(Ua) Vf(a) . Запишем отображение f в локальных координатах, т. е. рассмотрим отображение f˜ = ψ fϕ−1. Для отображения f˜ мож-

но рассмотреть матрицу Якоби J = ∂ f˜ i (x) . Если f – иммерсия, то ранг

∂xj

матрицы J в начале координат равен m, а если f – субмерсия, то ранг равен n. Поэтому для иммерсии можно выбрать i1, . . . , im {1, . . . , n}, а для субмерсии можно выбрать j1, . . . , jn {1, . . . , m} так, что в начале координат

∂xm

Не теряя общности, будем считать, что ik = k (соответственно, jk = k).

Существует отображение Fh, матрица Якоби которого как раз и является такой матрицей. А именно, в случае иммерсии полагаем

Fh(x1, . . . , xm, y1, . . . , yn−m) =

= (f˜ 1 (x), . . . , f˜ m (x), f˜ m+1 (x) + y1, . . . , f˜ n (x) + yn−m),

а в случае субмерсии полагаем

Fh(x1, . . . , xm, y1, . . . , ym−n) = (f˜ (x, y), y1, . . . , ym−n); сокращённо эти отображения можно записать в виде Fh(x, y) = f˜ (x) + (0, y)

иFh(x, y) = (f˜ (x, y), y).

Вначале координат определитель матрицы Якоби отображения Fh отличен от нуля, поэтому согласно теореме об обратной функции в некоторой окрестности начала координат у отображения Fh есть гладкое обратное отображение Fh−1.

Вслучае иммерсии заменим отображение ψ на Fh−1ψ (иными словами, мы изменяем локальную систему координат в образе отображения f). В новых локальных координатах отображение f устроено следующим образом:

ψ fϕ−1 ˜ ( ) h( , 0) h−1 ( , 0). x 7−−−− → f x = F x 7→F x

В случае субмерсии заменим отображение ϕ на Fhϕ (иными словами, мы изменяем локальную систему координат в прообразе отображения f). В новых локальных координатах отображение f устроено следующим образом:

(f˜ (x, y), y) 7→Fh−1 (x, y) 7→ψ fϕ−1 f˜ (x, y),

т. е. (x0, y) 7→x0, где x0 = f˜ (x, y). Остаётся заметить, что в малой окрестности начала координат при фиксированном y отображение x 7→f˜ (x, y) локально эпиморфно, поскольку определитель матрицы Якоби этого

С помощью теоремы 15.2 легко доказывается следующее утвержде-

В точке a отображение f является субмерсией, поэтому согласно теореме 15.2 в окрестности точки a можно выбрать локальные координаты (x, y), где x Rn и y Rm−n, так, что в локальных координатах, выбран-

ной окрестности задаётся уравнением v = 0. Следовательно, множество

С помощью теоремы 15.3 можно доказывать, что некоторые подмножества многообразия являются подмногообразиями и тем самым доказывать, что они являются многообразиями.

П р и м е р. Сфера Sn является многообразием.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим отображение f : Rn+1 → R1, за-

данное формулой f(x1, . . . , xn+1) = x12 + . . . + xn2+1. В любой точке множества f−1 (1) ранг матрицы Якоби J = (2x1, . . . , 2xn+1) равен 1, поэтому

15.3.Гладкие разбиения единицы

Пусть {Uα , α A} – открытое покрытие многообразия Mn. Разбиение единицы {ϕβ , β B}, подчинённое этому покрытию, называют гладким, если все функции ϕβ гладкие.

Т е о р е м а 15.4. а) Для любого открытого покрытия {Uα, α A} многообразия Mn существует подчинённое ему гладкое разбиение единицы {ϕβ , β B}.

б) Если множество индексов A не более чем счётно, то можно считать, что B = A и supp ϕα Uα для любого α A.

ния которых компактны. Выбранные множества обозначим W1, W2, . . .

Эти множества покрывают всё многообразие Mn. Действительно, у любой точки x Mn есть окрестность U(x), замыкание которой компактно. Множество U(x) можно представить в виде объединения множеств базы; ясно, что замыкания всех этих множеств компактны. Поэтому x Wi для некоторого i.

Положим X1 = W1. Компактное множество X1 покрыто открытыми

множествами {Wi}, поэтому X1 Wi1 . . . Wip , где i1 < i2 < . . . < ip. Положим X2 = W1 W2 Wi1 . . . Wip . Множества X3, X4, . . . строятся аналогично.

Построим теперь открытые множества Vβ,1 Vβ,2 Vβ,3 следующим

образом. Пусть Drn = {x Rn | kxk < r}. Для каждой точки z Xk \ Xk−1 выберем открытое множество Vz,3 так, что Vz,3 Uα для некоторого α,

Vz,3 Xk+1 и Vz,3 ∩Xk−2 = ; кроме того, существует карта ψz : Vz,3 → D3n. Открытые множества Vz,1 = ψz−1 (D1n) покрывают компактное множество

Xk Xk+1, поэтому существует конечный набор множеств Vz,1, покрывающий Xk Xk+1. Рассмотрим объединение по k всех таких наборов

иобозначим полученные множества {Vβ,1}; рассмотрим также соответствующие им множества Vβ,2 и Vβ,3. Отметим, что множество индексов {β} не более чем счётно; кроме того, множества {Vβ,1} покрывают Mn

ипри этом покрытие {Vβ,3} локально конечно и вписано в покрытие {Uα }.

Легко проверить, что функция, которая равна e−1/t при t > 0 и 0 при t 6 0, является гладкой. Поэтому функция

тоже является гладкой, а значит, функция γh(x) = γ (kxk2/4) является гладкой функцией в Rn; эта функция положительна во всех точках открытого шара D2n и равна нулю вне его.

Положим

и рассмотрим функцию h(x) = P gβ (x). Функция h гладкая, потому что

β

покрытие {Vβ,3} локально конечно. Множества {Vβ,1} покрывают всё мно-

гообразие Mn и gβ (x) > 0, если x Vβ,1. Поэтому h(x) > 0 для любой точки x Mn. Функции ϕβ = gβ /h образуют требуемое разбиение едини-

цы, поскольку supp ϕβ Vβ,3 Uα .

б) Рассмотрим открытое покрытие U1, U2, . . . Мы построили разбиение единицы ϕ1, ϕ2, . . . так, что supp ϕi Uj для некоторого j = j(i). Определим ϕ˜ i как сумму тех ϕk, для которых supp ϕk Ui и supp ϕk 6Uj при j < i. Тогда каждая функция ϕk входит в качестве слагаемого ровно

15.4.Теорема Сарда

Чтобы сформулировать теорему Сарда, нам понадобится понятие множества меры нуль. Говорят, что множество X Rn (n > 1) имеет меру нуль, если для любого ε > 0 существует покрытие X счётным множеством кубов, сумма объёмов которых меньше ε. Кубы могут быть как открытыми, так и замкнутыми; вместо кубов можно брать шары или параллелепипеды. Будем считать, что в R0 меру нуль имеет только пустое множество.

Пусть Mn – многообразие. Говорят, что множество X Mn имеет меру нуль, если существует покрытие многообразия Mn счётным множеством карт ϕi : Ui → Rn, для которого каждое множество ϕi (X ∩ Ui) Rn

имеет меру нуль. Корректность этого определения вытекает из следующих двух лемм.

Л е м м а 1. Объединение счётного набора множеств меры нуль в Rn является множеством меры нуль.

объёмов которых меньше ε/2i. В результате X будет покрыто счётным множеством кубов, сумма объёмов которых меньше ε(1/2 + 1/4 + 1/8 +

счётного объединения кубов, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда множество X содержится в кубе In. Напомним, что

диуса Kr. Это означает, что если множество X покрыто шарами, сумма объёмов которых меньше ε, то множество f(X) можно покрыть шарами,

множество f(M ) N имеет меру нуль.

При доказательстве теоремы Сарда нам понадобится следующее утверждение.

Т е о р е м а 15.5 (Фубини). Пусть C Rn – такое компактное множество, что любое его сечение гиперплоскостью вида xn = a имеет меру нуль. Тогда C имеет меру нуль.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если n = 1, то по определению C = . Поэтому будем считать, что n > 2. Множество C компактно, поэтому

C Rn−1 × [a, b]. Для t [a, b] определим множество Ct Rn−1 ющим образом:

Ct × {t} = C ∩ (Rn−1 × {t}) = C ∩ {(x1, . . . , xn) Rn | xn = t}.

му множество C \ (Jtn−1 × [a, b]) замкнуто, а значит, оно компактно. Это

позволяет выбрать δ = δ (t) > 0 так, что для всех τ (t − δ, t + δ) = It множество Cτ покрыто множеством Jtn−1 × It . Действительно, функция |xn − t| достигает на C \ (Jtn−1 × It) своего минимума δ; этот минимум положителен, поскольку для x C функция |xn − t| обращается в нуль лишь

Открытые множества It покрывают отрезок [a, b]. Выберем из этого

I1, . . . , In так, что a1 6 a2 6 . . . 6 an. Тогда из минимальности следует, что b1 6 b2 6 . . . 6 bn. Далее, из этих неравенств и минимальности следует,

что bk < ak+2, поскольку иначе отрезки [ak, bk] и [ak+2, bk+2] полностью покрывали бы отрезок [ak+1, bk+1]. Следовательно, как сумма длин

отрезков I1, I3, . . ., так и сумма длин отрезков I2, I4, . . . меньше b − a. 2 Лемма 3 показывает, что покрытие отрезка [a, b] отрезками I1, . . . , Ik

можно выбрать так, что L < 2(b − a). Это завершает доказательство те-

Пусть f : Mm → Nn – гладкое отображение. Точку x Mm называют критической, если rank f(x) < min(m, n). В противном случае точку x

называют регулярной. Точку y Nn называют критическим значением, если y = f(x), где x – некоторая критическая точка.

Т е о р е м а 15.6 (Сард [118]). Множество критических значений любого гладкого отображения многообразий имеет меру нуль.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуемое утверждение достаточно доказать для гладкого отображения f : U → Rn, где U Rm – открытое множе-

208 Глава V. Многообразия

ство. Применим индукцию по m. При m = 0 утверждение очевидно: если n = 0, то множество критических значений пусто, а если n > 1, то подмножество Rn, состоящее из одной точки, имеет меру нуль. Будем пред-

Ci – множество всех точек x U, в которых обращаются в нуль все частные производные отображения f порядка не выше i. Ясно, что C

C1 C2 . . .

Ша г 1. Множество f(C \ C1) имеет меру нуль.

Если n = 1, то C1 = C. Поэтому будем считать, что n > 2. Пусть

i = j = 1. Рассмотрим отображение h: U → Rm, заданное формулой h(x1, . . . , xm) = (f1 (x), x2, . . . , xm).

ма теорема об обратной функции. Это означает, что существует окрестность V точки c, ограничение на которую отображения h является гомеоморфизмом (рис. 93). Положим g = fh−1; тогда

g(x1, . . . , xm) = (x1, g2 (x), . . . , gn (x)).

В частности, g отображает множество ({t} × Rm−1) ∩ h(V) в {t} × Rn−1; пусть gt – ограничение отображения g на это множество. Легко проверить, что точка множества ({t} × Rm−1) ∩ h(V) является критической

точкой отображения gt тогда и только тогда, когда она является критической точкой отображения g. Действительно,

Согласно предположению индукции множество критических точек отображения gt имеет меру нуль в {t} × Rn−1. Поэтому возникает желание применить теорему Фубини и показать, что мера множества h(V ∩ C) равна нулю (а это означает, что мера образа множества V ∩ C при отображении f равна нулю). Непосредственно применить теорему Фубини нельзя, потому что множество f(V ∩ C) не компактно. Но множество V ∩ C можно представить в виде объединения счётного объединения компактных множеств, поэтому множество f(V ∩ C) тоже можно представить в виде объединения счётного объединения компактных множеств. К каждому из этих множеств можно применить теорему Фубини и получить желаемый результат.

Итак, у каждой точки c C \ C1 есть такая окрестность V , что множество f((C \ C1) ∩ V) f(C ∩ V) имеет меру нуль. Множество C \ C1 можно покрыть счётным набором таких окрестностей, поэтому мера множества f(C \ C1) равна нулю.

Рассмотрим отображение h: U → Rm, заданное формулой h(x1, . . . , xm) = (w(x), x2, . . . , xm).

Дальше действуем точно так же, как и на шаге 1. Здесь нужно будет воспользоваться тем, что любая точка множества

h ((Ck \ Ck+1) ∩ V) ∩ ({t} × Rm−1)

является критической точкой для отображения g, а значит, и для отображения gt .

Ш а г 3. Множество f(Ck) имеет меру нуль при достаточно большом k (например, при k > (m/n) − 1).

210 Глава V. Многообразия

Достаточно рассмотреть случай, когда U = (0, 1)m, причём гладкое отображение f определено в некоторой окрестности куба [0, 1]m. Действительно, любое открытое множество U можно покрыть счётным набором открытых кубов, обладающих таком свойством.

Пусть c Ck ∩ U. В таком случае в разложении Тейлора для f(c + h)

отсутствуют члены порядка ниже k + 1. Поэтому существует такая константа K, что если c + h U, то kf(c + h) − f(c)k 6 Kkhkk+1.

Разобьём открытый куб U = (0, 1)m на lm кубов с ребром 1/l и рассмотрим лишь те из них, которые пересекаются с Ck. Образ при отоб-

15.5.Важный пример: многообразия Грассмана

Рассмотрим множество G(n, k), элементами которого служат k-мер- ные подпространства в Rn. Топология на этом множестве вводится следующим образом. Пусть v1, . . . , vk Rn – линейно независимые векторы. Наборы (v1, . . . , vk) образуют открытое подмножество X в Rn × . . .

. . . × Rn = Rnk. На множестве X топология вводится естественным образом. Множество G(n, k) получается из множества X факторизацией по следующему отношению эквивалентности: два набора векторов эквивалентны тогда и только тогда, когда подпространства, порождённые векторами этих наборов, совпадают. Топология на G(n, k) вводится как топология факторпространства. Иными словами, множество U G(n, k) открыто тогда и только тогда, когда открыто множество всех базисов k-мерных подпространств, входящих в U.

Факторизацию множества X можно описать и как факторизацию по действию группы GLk (R). А именно, сопоставим набору (v1, . . . , vk)

координатами которых служат строки матрицы W = AV .

Легко проверить, что та же самая топология на G(n, k) получится и в том случае, когда рассматриваются не все наборы линейно независимых векторов, а только ортонормированные. Действительно, если набору линейно независимых векторов сопоставить набор векторов, полученных