топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

При n > 2 на множестве πn (X, A, a0) можно задать структуру группы. Для этого удобно использовать описание относительных сфероидов как

На рис. 90 жирной линией изображено множество точек, которые отображение fg переводит в отмеченную точку a0 (для n = 2).

При n = 2 нельзя воспользоваться той конструкцией, которая применялась при доказательстве коммутативности группы πn (X), потому что относительный сфероид f : I2 → X не обязательно отображает I1 I2 в отмеченную точку (на рис. 90 множество I1 изображено пунктиром). Но при n > 3 эту конструкцию можно применить, воспользовавшись тем, что относительный сфероид f : In → X отображает ∂In−1 в отмеченную точку.

Следующее утверждение часто используется при работе с относительными гомотопическими группами.

Те о р е м а 14.4. Относительный сфероид f : (Dn, ∂Dn, s0) →

→(X, A, a0) представляет нулевой элемент группы πn (X, A, a0) тогда и только тогда, когда существует гомотопия ht , связы-

вающая отображение h0 = f с отображением h1, для которого h1 (Dn) A, и при этом образы точек Sn−1 неподвижны при гомотопии.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует указанная го-

жается в a0 A. При этом гомотопным абсолютным сфероидам соответствуют гомотопные относительные сфероиды, поэтому получаем гомоморфизм p : πn (X, a0) → πn (X, A, a0). Наконец, можно определить гомоморфизм ∂ : πn (X, A, a0) → πn−1 (A, a0), сопоставив относительному сфероиду (Dn, Sn−1, s0) → (X, A, a0) его ограничение на (Sn−1, s0); непосредственно из определения гомотопии относительных сфероидов видно, что гомотопным относительным сфероидам сопоставляются гомотопные

гомотопию абсолютных сфероидов. При t = 0 получаем грань xn+1 = 0, ограничение на которую совпадает с f. При t = 1 получаем грань xn = 0, которая по условию отображается в A.

3) Im p Ker ∂ . Абсолютный сфероид f : Dn → X отображает ∂Dn

вa0.

4)Ker ∂ Im p . Рассмотрим относительный сфероид f : In → X, для

которого ограничение на In−1 гомотопно постоянному отображению в a0 (в классе отображений In−1 → A). Пусть gt : In−1 → A – гомотопия, свя-

должить до гомотопии отображения f. В результате получим гомотопию в классе относительных сфероидов, которая связывает f с относительным сфероидом, отображающим ∂In в a0.

Теорема 14.7 имеет следующий относительный вариант.

Т е о р е м а 14.8. Пусть X – линейно связный CW -комплекс, A – его подкомплекс, a0 – вершина A. Предположим, что πn (X, A, a0) =

ореме 14.4 из равенства πn (X, A, a0) = 0 следует, что существует гомотопия, неподвижная на A, которая связывает отображение gn|Xn A с отображением gn0+1 : Xn A → A. Продолжая эту гомотопию на всё пространство X, получим отображение gn+1.

Отображение g1 строится следующим образом. Соединим вершину

Теперь можно приступить непосредственно к доказательству теоремы Уайтхеда.

Т е о р е м а 14.9 (Уайтхед). Пусть X и Y – связные CW -комплек- сы, x0 X и y0 Y – их вершины. Предположим, что отображение

лентность. x

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Cf – пространство, которое получается в результате

приклеивания X × I к Y по отображению

f

X × {0} = X −→ Y (рис. 92). Пространство Cf называют цилиндром отображения f.

Тождественное отображение Cf → Cf гомотопно отображению g : Cf → Y Cf , причём гомотопия тождественна на Y . Поэтому пространства Cf и Y гомотопически эквивалентны.

i

Отображение f представляется в виде композиции отображений X −→

πn (Cf , X) = Ker ∂ . Но Ker ∂ = Im p = 0.

Согласно теореме 14.8 пространство X является деформационным ретрактом Cf , т. е. тождественное отображение Cf → Cf гомотопно отоб-

Глава V

Многообразия

§ 15. Определение и основные свойства

Топологическое пространство X со счётной базой называют топологическим многообразием, если оно хаусдорфово и любая точка x X обладает открытой окрестностью, гомеоморфной открытому множеству в Rn. (Пример на с. 132 показывает, что бывают нехаусдорфовы пространства, любая точка которых обладает открытой окрестностью, гомеоморфной открытому множеству в евклидовом пространстве.)

Из теоремы Брауэра об инвариантности размерности (теорема 4.9 на с. 72) следует, что размерность локально евклидова пространства

или локальной системой координат. Если при этом ϕ(x) = 0, то будем говорить, что (U, ϕ) – локальная система координат с началом в точке x.

Гладкая структура на топологическом многообразии M – это семейство A локальных систем координат {(Uα , ϕα) | α A}, обладающее следующими свойствами:

1)множества Uα покрывают M;

2)если Uα ∩ Uβ 6= , то ϕαϕ−β 1 – гладкое отображение;

3)семейство A максимально в том смысле, что если (U, ϕ) – локаль-

ная система координат и все отображения ϕαϕ−1 и ϕϕ−α 1 (Uα ∩ U 6= ) гладкие, то (U, ϕ) A.

Чтобы задать гладкую структуру на M, достаточно задать произвольное семейство A0 локальных систем координат, обладающее свойствами

1 и 2. Действительно, свойство 3 можно принять за определение множества локальных систем координат, которыми нужно пополнить семейство A0. Набор карт, покрывающих M и обладающих свойством 2, называют

атласом.

Топологическое многообразие M с заданной гладкой структурой называют гладким многообразием, или просто многообразием. (Негладкие многообразия встречаются в математике гораздо реже, чем гладкие.)

П р и м е р. На топологическом пространстве RPn можно ввести структуру многообразия.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пространство RPn можно покрыть откры-

тыми множествами Ui = {(x1 : . . . : xn+1) RPn : xi 6= 0}, i = 1, . . . , n + 1. Определим гомеоморфизм ϕi : Ui → Rn формулой

Требуется доказать, что отображение ϕj ϕ−i 1, определённое на множестве ϕi (Ui ∩ Uj), является гладким. Не теряя общности, можно считать, что i = 1 и j = 2. Тогда множество Ui ∩ Uj задаётся неравенством x1x2 6= 0. Пусть

гообразием.

15.1.Многообразия с краем

Чтобы получить определение многообразия с краем, нужно считать картами также и гомеоморфизмы ϕ : U → ϕ(U), где ϕ(U) – открытое подмножество в топологическом пространстве Rn+ = {(x1, . . . , xn) Rn |x1 > 0}.

При определении гладкой структуры на многообразии с краем мы будем предполагать, что свойство 2 таково:

2) если Uα ∩ Uβ 6= , то существуют взаимно обратные гладкие отображения fαβ и fβα открытых множеств в Rn, ограничениями которых

являются отображения ϕα ϕ−β 1 и ϕβ ϕ−α 1.

Пусть Mn – многообразие с краем. Будем говорить, что x Mn – точка края, если у неё есть такая карта ϕ : U → ϕ(U) Rn+, что

ϕ(x) ∂Rn+ = {(x1, . . . , xn) Rn | x1 = 0};

здесь имеется в виду гладкая карта, т. е. карта из гладкой структуры. Краем многообразия Mn будем называть множество всех точек края. Будем говорить, что x Mn – внутренняя точка, если у неё есть такая карта ϕ : U → ϕ(U), что ϕ(U) – открытое множество в Rn; здесь снова имеется в виду гладкая карта. Чтобы убедиться в том, что внутренняя точка многообразия не может быть точкой края, нам понадобится следующее утверждение.

Т е о р е м а 15.1 (об обратной функции). Пусть f : U → V – гладкое отображение открытых множеств в Rn, причём в некоторой

= (f1, . . . , fn), где f1, . . . , fn – функции. Пусть B – некоторое выпуклое множество, на котором определено отображение f, и y, z B. Рассмотрим на отрезке [0, 1] функцию ϕi (t) = fi (ty + (1 − t)z). Ясно, что

w1, . . . , wn принадлежат шару Dx,ε, то J(w1, . . . , wn) 6= 0. Это неравен-

ство и формула (1) показывают, что если y, z Dxn,ε и y 6= z, то f(y) 6= f(z). Таким образом, ограничение отображения f на компактное множество

Dxn,ε является взаимно однозначным отображением на некоторое мно- жество в хаусдорфовом пространстве Rn. Такое отображение является

→ f(U) является гомеоморфизмом. Докажем теперь, что множество f(U)

открытый шар достаточно малого радиуса с центром f(u) целиком лежит

kf(u) − zk < δ. Тогда если y Dn, , то

x ε

kf(y) − zk > kf(y) − f(u)k − kf(u) − zk > 2δ − δ = δ.

Поэтому на множестве Dxn,ε гладкая функция ψ (w) = kf(w) − zk2 дости- гает минимума во внутренней точке (на границе значение этой функции больше δ2, а в точке u значение меньше δ2). Пусть a – точка минимума

функции ψ на множестве Dxn,ε. Тогда

множестве Uh отображение f−1 имеет гладкие частные производные. Из этого следует, что отображение f−1 на множестве Uh гладкое. 2

С л е д с т в и е. Точка многообразия Mn с краем является внутренней тогда и только тогда, когда она не является точкой края.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если точка многообразия Mn одновременно является как внутренней, так и точкой края, то существуют гладкие взаимно обратные отображения f : U → V и f : V → U открытых множеств

вRn, причём выполняются следующие свойства:

1)0 U, 0 V и f(0) = g(0) = 0;

2)в U есть такое открытое подмножество U0, содержащее точку 0,

что f(U0) Rn+.

Из того, что у отображения f в окрестности точки 0 есть гладкое