топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

и p1 (x, y) = p(x). Легко проверить, что индуцированное расслоение тоже является локально тривиальным. Кроме того, если на подкомплексе X0 Dn задана гомотопия Hh0, накрывающая H, то ей соответствует гомотопия Hh10 : X0 × I → E1, заданная формулой Hh10 (y) = (Hh0 (y), y); равенство pHh0 (y) = H(y) следует из того, что Hh0 накрывает H.

База расслоения p1 гомеоморфна Dn+1. Согласно теореме Фельдбау расслоение над Dn+1 тривиально. Для тривиального расслоения существование накрывающей гомотопии Hh10 : Dn × I → E1, продолжающей гомотопию Hh10, уже было доказано. Требуемая накрывающая гомотопия Hh0 получается как композиция отображения Hh10 и естественной проек-

ции E1 → E.

Рассмотрим, наконец, последний случай, когда расслоение p : E → B и пара (X, X0) произвольны. Применим индукцию по размерности остова. На 0-мерном остове гомотопия в некоторых точках задана, а в остальных точках её можно определить как постоянное отображение. При переходе

За д а ч а 14.1. Докажите, что если Y X – стягиваемый подкомплекс, то X/Y X.

За д а ч а 14.2. Докажите, что n-связный CW -комплекс гомотопически эквивалентен CW -комплексу, у которого есть ровно одна вершина

инет k-мерных клеток, где 1 6 k 6 n.

За д а ч а 14.3. Докажите, что CW -комплекс X с одной вершиной, не имеющий k-мерных клеток, где 1 6 k 6 n, n-связен.

За д а ч а 14.4. Пусть A и B – связные CW -комплексы с отме-

ченными точками a0 и b0. Докажите, что A B Σ(A B), где A B =

=A × B/A B и A B = ({a0} × B) (A × {b0}).

За д а ч а 14.5. Пусть X – n-связный CW -комплекс, Y – m-связ-

которое определено с точностью до гомотопии. Построим сначала са-

воспользуемся теоремой 14.2. Теперь у нас есть два параметра: параметр

пути t и параметр гомотопии τ , поскольку есть семейство путей γτ (t).

Положим X = Fa × Iτ , X0 – объединение Fa × {0} и Fa × {1}, h˜ (y, τ) = y для всех τ Iτ и y Fa, H(y, τ , t) = γτ (t). Наконец, Hh0 (y, 0, t) = H0 (y, t)

и Hh0 (y, 1, t) = H1 (y, t). Согласно теореме 14.2 существует гомотопия

и отображения Sn I → X, которое задано на Sn посредством f, а на I посредством α, определяет элемент группы πn (X, x1). Этот элемент зависит только от гомотопического класса отображения f и от гомотопического класса пути α (имеется в виду гомотопия с неподвижными концами). Легко также проверить, что пути α и α−1 индуцируют взаимно обратные отображения. В частности, если α – петля с началом и концом в точке x0, то α индуцирует автоморфизм группы πn (X, x0). Этот автоморфизм зависит только от элемента группы π1 (X, x0), представленного петлёй α. Если каждый элемент группы π1 (X, x0) индуцирует тождественный автоморфизм группы πn (X, x0), то пространство X называют гомотопически n-простым.

Если пространство X гомотопически n-просто, то группы πn (X, x) для всех x X канонически изоморфны, поэтому можно использовать

При решении следующих двух задач нужно предполагать известным, что πn (Sn) = Z при всех n N (см. с. 256).

За д а ч а 14.8. Докажите, что при n > 2 группа πn (Sn S1, x0) является свободной абелевой группой с бесконечным (счётным) набором образующих.

За д а ч а 14.9. Докажите, что пространство Sn S1 не является гомотопически n-простым.

14.3.Точная последовательность расслоения

(рис. 82). Согласно теореме о накрывающей гомотопии существует гомо-

Рис. 82. Представление отображения в виде гомотопии

отображение, поэтому f Ker p .

ющая отображение f с некоторым отображением f1. При этом отображение pf1 постоянно, т. е. образ отображения f1 лежит в F. Это означает, что f1 Im i .

3)Im p Ker ∂ . Если f = p f˜ , где f˜ : Sn → E – некоторый сфероид, то сфероид f˜ представлен как гомотопия ϕ˜ t . Поэтому ϕ˜ 1 – постоянное отображение, а значит, ∂ f = 0.

4)Ker ∂ Im p . Пусть сфероид f : Sn → B представлен как гомотопия ϕt : Sn−1 → B. Рассмотрим накрывающую гомотопию ϕ˜ t и предположим, что отображение ϕ˜ 1 : Sn−1 → F гомотопно постоянному. Пусть α˜ t – гомотопия в F отображения ϕ˜ 1 в постоянное отображение. Рассмотрим

гомотопию

Гомотопии ψ˜ t соответствует сфероид g˜ : Sn−1 → F, для которого сфероид g = p g˜ гомотопен f. Поэтому f Im p .

5)Im ∂ Ker i . Пусть сфероид f : Sn+1 → B представлен как гомотопия ϕt : Sn → B и ϕ˜ t – поднятие этой гомотопии. Отображение ϕ˜ 0

постоянно, поэтому гомотопию ϕ˜ t можно рассматривать как отображение Dn+1 → B. Следовательно, отображение ϕ˜ 1 : Sn → F гомотопно в E постоянному отображению.

6)Ker i Im ∂ . Пусть f : Sn → F – сфероид, стягиваемый в E. Проекцию гомотопии сфероида f в постоянное отображение можно рассмат-

З а м е ч а н и е. Если пространство расслоения E линейно связно, то множества π0 (E, e0) и π0 (B, b0) состоят из одного элемента. Множество π0 (F, e0) в этом случае находится во взаимно однозначном соответствии с множеством смежных классов π1 (B, b0)/ Im p (подгруппа Im p π1 (B, b0) не обязательно нормальна, поэтому множество смежных классов может не быть группой).

П р и м е р. πn (S1) = 0 при n > 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим накрытие R → S1. Любое накрытие является расслоением с дискретным слоем F и πn−1 (F) = 0 при n > 2. Поэтому из точной последовательности расслоения следует, что

188Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

До к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим в пространстве C2 с координатами z и w сферу S3, заданную уравнением |z|2 + |w|2 = 1. На S3 действует группа S1 = {eiα } (обе координаты z и w умножаются на eiα).

Факторпространство по этому действию гомеоморфно проективному пространству CP1 с однородными координатами (z : w). Покажем, что проекция p : S3 → S3/S1 ≈ CP1 является локально тривиальным расслоением

(расслоение Хопфа).

Покроем CP1 открытыми множествами U1 и U2, которые получаются из CP1 выкалыванием точек (1 : 0) и (0 : 1). Покажем, что над каждым из этих множеств отображение p является тривиальным расслоением со слоем S1. Каждую точку сферы S3 можно представить

Мы уже знаем, что πk (Sn) = 0 при k < n (теорема 8.8 на с. 120). Поэтому π2 (S2) = π1 (S1) = Z.

Рассмотрим теперь другой участок точной последовательности расслоения Хопфа:

Обсудим теперь более подробно, как геометрически устроено расслоение Хопфа; в частности, как расположены его слои в S3. Представим CP1 в виде объединения двух

физму их краёв. Меридиан полнотория D12 × S1 задаётся уравнением ψ = const, параллель задаётся уравнением ϕ − ψ = const (рис. 84); здесь предполагается, что меридиан и параллель