топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

Поверхность M2 получается из Mh2 достаточно простым преобразованием. В первом случае M2 ≈ Mh2 # T 2 или M2 ≈ Mh2 # K2 (приклеивается либо ручка, либо перекрученная ручка). Во втором случае M2 ≈ Mh2 # P2. Во всех случаях

этого нужно воспользоваться равенствами (1) и (2), а также тем, что

11.3.Завершение классификации двумерных поверхностей

Чтобы завершить классификацию замкнутых двумерных поверхно-

На M22 есть два графа, а именно, граф G2, образованный рёбрами M22,

играф G1 – образ графа, состоящего из рёбер M21. Пусть v1, e1 и f1 – число вершин, рёбер и граней для графа G1 на поверхности M22; v2, e2 и f2 – аналогичные числа для графа G2. Оставляя эти числа неизменными, граф G1 можно изменить так, чтобы он стал кусочно-линейным

иего рёбра трансверсально пересекали рёбра графа G2. Рассмотрим граф

G = G1 G2. Пусть v, e и f – число вершин, рёбер и граней для графа G на поверхности M22. Покажем, что v − e + f = v2 − e2 + f2. Рассмотрим для этого произвольную грань графа G2 (т. е. 2-симплекс псевдомногообразия M22). Пусть vα, eα и fα – число вершин, рёбер и граней графа G, принадлежащих этой грани. Согласно формуле Эйлера vα − eα + fα = 1 (в формуле Эйлера вместо 1 стоит 2, но в ней учитывается ещё и неограниченная область, которая в нашем случае отсутствует). Запишем vα

ирёбер, принадлежащих краю рассматриваемой грани, vα00 и eα00 – число внутренних вершин и рёбер. Ясно, что vα0 = eα0 , поэтому vα00 − eα00 + fα = 1. Это означает, что если мы уничтожим все внутренние вершины, рёбра

играни, то эйлерова характеристика не изменится. А из равенства vα0 = eα0 следует, что можно также уничтожить все вершины, лежащие на рёбрах

графа G2; эйлерова характеристика при этом тоже не изменится. Таким образом, v − e + f = v2 − e2 + f2. Граф G можно рассматривать и как

от выбора триангуляции, поэтому можно рассмотреть простейшие три-

что эти поверхности не гомеоморфны (при m > 1).

Поверхности S2 и T 2 с простейшими триангуляциями являются ориентируемыми псевдомногообразиями, поэтому поверхность mT 2 с неко-

же замкнутый путь (состоящий из 6 звеньев),

трансверсально пересекающий рёбра 6 симплексов и изменяющий ориентацию. Это озна-

вариантно относительно гомеоморфизмов, т. е. понятие ориентируемости двумерной поверхности можно определить, не обращаясь к триангуляциям.

Пусть M2 – замкнутая двумерная поверхность, γ : I = [0, 1] → M2 – некоторый путь. Покроем M2 открытыми множествами Ui , гомеоморф-

ных линейно связных топологических пространств. При доказательстве свойств фундаментальной группы и накрытий мы почти нигде не пользовались специальными свойствами одномерных комплексов. Исключение составляют лишь существование и единственность поднятия пути с данным началом и теорема о существовании и единственности накрытия, соответствующего данной подгруппе фундаментальной группы базы.

Для накрытий произвольных линейно связных пространств существование и единственность поднятия пути не столь очевидны, как для накрытий одномерных комплексов, но доказываются достаточно просто. Для каждой точки пути γ нужно выбрать окрестность, участвующую в определении накрытия. Из компактности отрезка следует, что можно выбрать конечное покрытие пути γ такими окрестностями. С помощью этого конечного набора окрестностей и их прообразов можно построить поднятие пути γ с заданным началом. Это поднятие, очевидно, единственно.

Ситуация с накрытиями, соответствующими данной подгруппе фундаментальной группы, сложнее. Приведённая в теореме 2.9 на с. 52 конструкция существенно использует структуру одномерного комплекса. Более того, для пространств общего вида соответствующая теорема неверна; она верна лишь при определённых ограничениях. Прежде чем перейти к формулировке и доказательству этой теоремы, рассмотрим простейший пример – универсальное накрытие замкнутой ориентируемой двумерной поверхности.

12.1.Универсальные накрытия двумерных поверхностей

Тор T 2 можно получить, отождествив точки (x + m, y + n) и (x, y) для всех пар целых чисел m, n. Поэтому универсальное накрытие тора имеет вид p : R2 → T 2.

Универсальное накрытие сферы с g ручками, где g > 2, проще всего построить с помощью геометрии Лобачевского. Рассмотрим на плоскости Лобачевского H2 правильный 4g-угольник с углом 2πg . Пусть G –

группа движений плоскости Лобачевского, порождённая сдвигами, при которых совмещаются пары противоположных сторон рассматриваемого 4g-угольника. Образы 4g-угольника под действием группы G замощают плоскость Лобачевского. Поэтому отображение p : H2 → H2/G ≈ ≈ M2g является универсальным накрытием сферы с g ручками M2g.

166 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

(Необходимые для этой конструкции сведения из геометрии Лобачевского можно найти в книге [18].)

Описание геометрического строения универсального накрытия поверхности M2g без использования геометрии Лобачевского приведено

в[81].

За д а ч а 12.1. а) Докажите, что универсальное накрывающее пространство плоскости R2, из которой выколото несколько точек, гомеоморфно R2.

те, что для Σ универсальное накрывающее пространство гомеоморфно Cn.

12.2.Существование накрывающего пространства с заданной фундаментальной группой

Пусть H – некоторая подгруппа в группе π1 (X, x0). Прежде чем попытаться построить накрытие p : Xh → X, для которого p π1 (Xh, x˜ 0) = H, посмотрим, какими свойствами должно обладать пространство Xh. Пусть γ1 и γ2 – пути в X из точки x0 в точку x, γh1 и γh2 – поднятия этих путей с началом x˜ 0. Пути γh1 и γh2 заканчиваются в одной и той же точке тогда и только тогда, когда класс петли γ1γ2−1 лежит в H.

Это наблюдение приводит к следующей конструкции пространства Xh. Пусть задано линейно связное пространство X с отмеченной точкой x0 X, и в группе π1 (X, x0) задана подгруппа H. Рассмотрим множество всех путей в X с началом в точке x0. Будем считать пути γ1 и γ2 эквивалентными, если класс петли γ1γ2−1 лежит в H. Точками пространства Xh будем считать классы эквивалентных путей; топология в пространстве Xh будет определена чуть позже. Проекция p : Xh → X сопоставляет пути γ его конец.

Из линейной связности пространства X следует, что отображение p сюръективно.

Предложенная конструкция не всегда приводит к желаемому результату. Но если пространство X локально линейно связно и локально односвязно, т. е. для любой точки x X и для любой окрестности U 3 x существует линейно связная односвязная окрестность V U, то эта конструкция даёт нужный результат. В дальнейшем мы будем предполагать, что пространство X локально линейно связно и локально односвязно. Кроме того, под окрестностью точки пространства X будем подразумевать односвязную линейно связную окрестность. Ясно, что такие окрестности образуют базу топологии пространства X.

странства Xh, достаточно задать базу открытых множеств. Пусть точка x˜ Xh и окрестность U X таковы, что px˜ U. Точка x˜ является классом

в следующем смысле: если x˜ 2 (U, x˜ 1), то (U, x˜ 2) = (U, x˜ 1). Чтобы доказать это, рассмотрим точки x1 = px˜ 1 и x2 = px˜ 2. Соединим точки x1 и x2 путём ω, лежащим

в U (рис. 72). Предположим, что γ1γ – продолжение пути γ1, соединяющего x1 с x0, некоторым путём γ, лежащим в U. Ему можно сопоставить путь γ1ωω−1γ, который является продолжением пути γ1ω, соединяющего x0 с x2, путём ω−1γ, лежащим в U. Пути γ1γ и γ1ωω−1γ гомотопны, поэтому сопоставление γ1γ 7→γ1ωω−1γ задаёт взаимно однозначное со-

ответствие между (U, x˜ 1) и (U, x˜ 2).

В качестве базы топологии пространства Xh выберем все множества вида (U, x˜ ). Нужно проверить, что непустое пересечение двух множеств

Непрерывность проекции p. Прообраз окрестности U (связной и односвязной) состоит из набора базисных открытых множеств, поэтому он открыт.

Линейная связность пространства Xh. Пусть x˜ – произвольная точка пространства Xh, т. е. некоторый класс эквивалентных путей. Выберем в этом классе эквивалентности произвольный путь γ (t) в пространстве X. Рассмотрим семейство путей γs (t) = γ (st), где 0 6 s, t 6 1. Пути γs соответствует некоторая точка x˜ (s) Xh. В результате получаем путь в пространстве Xh, соединяющий точки x˜ (0) = x˜ 0 и x˜ (1) = x˜ .

Проекция – локальный гомеоморфизм. Пусть p : (U, x˜ ) → U –

ограничение отображения p на множество (U, x˜ ), где U – связная

односвязная окрестность. Линейная связность U влечёт сюръективность отображения p, а односвязность U влечет инъективность отображения p. Чтобы доказать непрерывность отображения p, рассмотрим произвольную связную односвязную окрестность V U. Прообразом этой окрестности является открытое множество (U, x˜ ).

Образ группы πi (Xh, x˜ 0) при отображении p совпадает с H.

Пусть γ – петля в X с началом и концом в точке x0, γh – поднятие этой петли с началом в точке x˜ 0. Подгруппа p π1 (Xh, x˜ 0) состоит из гомотопических классов тех петель γ, для которых путь γh замкнут. По построению путь γh замкнут тогда и только тогда, когда класс эквивалентности пути γ соответствует точке x˜ 0, т. е. гомотопический класс петли γ лежит в H.

12.3.Единственность накрывающего пространства с заданной фундаментальной группой

ность. Доказательство единственности опирается на следующую лемму. Л е м м а. Пусть q : Y˜ → Y – накрытие, f : X → Y – некоторое (непрерывное) отображение, причём пространство X линейно связно и локально линейно связно. Тогда если f π1 (X, x0) q π1 (Y˜ , y˜ 0), то существует единственное поднятие f˜ : X → Y отображения f

странстве X, соединяющий точку x0 с некоторой точкой x. При отображении f он переходит в путь fγ. Пусть γh – поднятие пути fγ с началом в точке y˜ 0. Положим f˜ (x) = y˜ , где y˜ – конец пути γh. Нужно проверить, что y˜ не зависит от выбора пути γ. Иными словами, если γ1 и γ2 – пути из x0 в x, а ω – петля, составленная из путей γ1 и γ2, то поднятие петли fω с началом y˜ 0 должно быть замкнутым путём в Y˜ . Это означает, что класс петли fω должен лежать в q π1 (Y˜ , y˜ 0). Иными словами, f π1 (X, x0) q π1 (Y˜ , y˜ 0). Это выполняется по условию.

Остается доказать непрерывность отображения f˜ . Для этого нам понадобится локальная линейная связность пространства X. Пусть x X и y˜ = f˜ (x). Для точки y = q(y˜ ) выберем линейно связную окрестность U, участвующую в определении накрытия. Пусть Uh – линейно связная компонента множества p−1 (U), содержащая точку y˜ . Из непрерывности отображения f следует, что f−1 (U) содержит некоторую окрестность V точки x. Пространство X локально линейно связно, поэтому можно

170Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения...

Всамом деле, поднятие h существует и единственно (если задан образ

одной точки при отображении h), но отображение h разрывно в точках P и Q, лежащих в p1−1 (B).

З а д а ч а 12.2. Докажите, что mn-листное накрытие p : Xh → X можно представить в виде композиции

Xh −p→1 Y −p→2 X,

где p1 – некоторое m-листное накрытие и p2 – некоторое n-листное накрытие, тогда и только тогда, когда прообраз p−1 (x) некоторой точки x X можно разбить на m-элементные множества I1, . . . , In так, что для любого замкнутого пути в X все его поднятия, начинающиеся в одном и том же множестве Ii , заканчиваются в одном и том же множестве Ij .

Используя технику накрытий, с помощью теоремы Борсука–Улама можно доказать следующее утверждение, из которого сама теорема Бор- сука–Улама легко выводится.

Т е о р е м а 12.1. Пусть m > n > 1. Тогда не существует отоб-

где y – конец этого поднятия. Корректность этого определения следует из того, что в Sm любая петля стягиваема, поскольку m > 2.

Из равенства gpm = pn f следует, что f(−x) = ±f(x). Знак выясняется следующим образом. Пусть αm и αn – образующие групп π1 (RPm) и π1 (RPn) (здесь мы пользуемся тем, что π1 (RP1) = Z и π1 (RPm) = Z2

заданное формулой {x, −x} 7→{f(x), −f(x)}. Для этого отображения выполняется равенство g αm = kαn, где k нечётно. Если n > 2, то αn Z2, поэтому g – изоморфизм. Если же n = 1, то g является ненулевым