топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

Rn. Тогда существует гиперплоскость, которая делит каждое

множество Fi на две части одинакового объёма.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x Sn−1 Rn и центр сферы Sn−1 расположен в начале координат. Для c R положим

Πc (x) = {y Rn | (y, x) = c}.

Легко проверить, что для каждого вектора x Sn−1 существует единственное число c R, для которого гиперплоскость Πc (x) делит F1 на две части равного объёма. Положим ϕ1 (x) = c. Для x и −x гиперплоскость, делящая F1 пополам, одна и та же. Ясно также, что Π−c (−x) = Πc (x), поэтому ϕ1 (−x) = −c. Аналогично определим функции ϕ2, . . . , ϕn и рассмотрим отображение ϕ : Sn−1 → Rn−1, заданное формулой

ϕ(x) = ϕn (x) − ϕ1 (x), . . . , ϕn (x) − ϕn−1 (x) .

Ясно, что ϕ(x) = −ϕ(−x). Поэтому по теореме Борсука–Улама суще-

ствует точка x0 Sn−1, для которой ϕ(x0) = 0, т. е. ϕ1 (x0) = ϕ2 (x0) = . . . = = ϕn (x0) = c. Гиперплоскость Πc (x0) обладает требуемыми свойствами. 2

Легко доказать, что длина замкнутой центрально симметричной кривой на единичной сфере Sm не меньше 2π (центрально симметричная кривая содержит две диаметрально противоположные точки, а длина любой дуги, соединяющей две диаметрально противоположные точки, не меньше π). Это утверждение имеет следующее обобщение.

Из теоремы Борсука–Улама можно также вывести утверждение, которое является нелинейным обобщением известной теоремы Радона:

«Если множество A Rn содержит по крайней мере n + 2 точки, то в A можно выбрать непересекающиеся подмножества B и C так, что их выпуклые оболочки будут иметь общую точку.» При доказательстве теоремы Радона достаточно ограничиться случаем, когда A состоит ровно из n + 2 точек, поэтому её можно сформулировать

пересекаются.» Нелинейное обобщение этой теоремы заключается в том, что линейное отображение f можно заменить на произвольное непре-

Рис. 50. Приклеивание по отображению

Нехаусдорфовость, возникшая в примере 9.1, связана с тем, что

f : C → I, принимающая на C1 значение 0, а на C2 значение 1, непрерывна. Поэтому достаточно доказать, что любую непрерывную функцию f : C → I, где C Y ϕ X – замкнутое подмножество, можно продолжить на всё пространство Y ϕ X.

определяет функцию fA : A → Y → I. На множестве CX ∩ A непрерывные

функции fX и fA совпадают, поэтому они определяют непрерывную

функцию fXA : CX A → I.

Теперь настала пора воспользоваться замкнутостью множества A. Нам нужно продолжить функцию fXA, определённую на множестве CX A, где CX – замкнутое множество. По условию множество A замкнуто, поэтому множество CX A тоже замкнуто. По теореме Титце функцию fXA можно продолжить до функции FX : X → I. При этом если x A,

9.2.Определение CW -комплексов

Топологическое пространство X называют CW -комплексом, ес-

∞

ли X = S Xi , где X0 – дискретное пространство и пространство Xi+1

i=0

получается посредством приклеивания к Xi дизъюнктного объедине-

F

ства (c) и (w), которые мы сейчас сформулируем.

Назовём образы Dαi+1 и int Dαi+1 при естественной проекции в Xi+1X, соответственно, замкнутой и открытой клетками размерности i + 1. Свойства (c) и (w), о которых шла речь, таковы:

(c) каждая замкнутая клетка пересекает лишь конечное число открытых клеток;

(w) множество C X замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуты все пересечения C с замкнутыми клетками.

Отметим, что если число клеток конечно, то свойства (c) и (w) выполняются автоматически.

Обозначения (c) и (w) – это сокращения от «closure finite» и «weak topology».

Открытые клетки попарно не пересекаются и покрывают всё пространство X.

Пространство Xi называют i-мерным остовом CW -комплекса X. Если у CW -комплекса X есть клетки размерности n и нет клеток размерности более n, то X называют n-мерным CW -комплексом.

Естественную проекцию χiα+1 : Dαi+1 → Xi+1 X называют характе-

f : X → Y , где Y – CW -комплекс с одной 0-мерной клеткой и приклеен-

ку xn, отличную от начала координат. Пусть F – подмножество в X,

когда замкнуто его пересечение с любой замкнутой клеткой. Подпространство A X, где X – CW -комплекс, называют подком-

плексом, если A замкнуто в X и является объединением некоторого семейства открытых клеток.

Приведём теперь некоторые важнейшие примеры CW -комплексов. Сфера Sn является CW -комплексом с одной 0-мерной клеткой и с одной n-мерной клеткой. На Sn можно также ввести структуру CW -ком- плекса с двумя клетками каждой размерности от 0 до n. Это легко сделать по индукции: к экватору Sn−1 Sn приклеивается северное полушарие и южное полушарие.

Вещественным проективным пространством RPn называют факторпространство Rn+1 \ {0} по следующему отношению эквивалентности: x λx для всех λ R \ {0}. Заменив в этом определении R на C, получим определение комплексного проективного пространства CPn.

Точке (x1, . . . , xn+1) Rn+1 \ {0} соответствует точка (x1 : . . . : xn+1)RPn; числа x1, . . . , xn+1 называют при этом однородными коорди-

натами точки RPn. Для CPn обозначения аналогичны. Отображение (x1 : x2) 7→x1/x2 является гомеоморфизмом множества RP1 \ {(1 : 0)} на R1, поэтому RP1 ≈ S1. Аналогично доказывается, что CP1 ≈ S2.

Чтобы ввести на RPn структуру CW -комплекса, рассмотрим отображение f : Dn → RPn, заданное формулой

q

f(x1, . . . , xn) = x1 : . . . : xn : 1 − x12 − . . . − xn2 .

приклеиванием одной клетки размерности n.

Аналогично можно показать, что CPn получается из CPn−1 приклеиванием одной клетки размерности 2n. Будем считать, что

D2n = {(z1, . . . , zn) Cn | |z1|2 + . . . + |zn|2 6 1}. Рассмотрим отображение f : D2n → CPn, заданное формулой

q

f(z1, . . . , zn) = z1 : . . . : zn : 1 − |z1|2 − . . . − |zn|2 .

На CPn \ CPn−1 обратное отображение имеет вид

(z1 : . . . : zn+1) 7→(λ−1z1zn+1, . . . , λ−1znzn+1),

где λ2 = |zn+1|2 (|z1|2 + . . . + |zn|2), λ > 0. Таким образом, на CPn можно ввести структуру CW -комплекса, имеющего клетки размерностей 2i,

где i = 0, 1, . . . , n.

За д а ч а 9.1. Докажите, что CPn получается из D2n Cn отождествлением следующих точек ∂D2n = S2n−1: x λx для всех λ C, |λ| = 1.

Те же самые конструкции, с помощью которых мы строили CW -ком- плексы Sn, RPn и CPn, позволяют построить CW -комплексы S∞, RP∞

иCP∞.

За д а ч а 9.2. Докажите, что пространство S∞ стягиваемо.

CW -комплексы во многом похожи на симплициальные комплексы. Можно даже доказать, что любой CW -комплекс гомотопически эквивалентен симплициальному комплексу (доказательство этого утверждения приведено, например, в [13] и в [19]). Но существуют и CW -комплек- сы, не гомеоморфные симплициальным комплексам. Чтобы построить пример такого CW -комплекса, рассмотрим непрерывную функцию на отрезке I = [0, 1], заданную формулой f(x) = x sin(π/2x) при x > 0, f(0) = 0 (рис. 52); образом отрезка I при отображении f служит отрезок [y1, 1].

Зададим отображение I2 → R3 формулой (x, y) 7→(x, xy, f(y)) (рис. 53). В плоскости x = 1 получаем график функции f. В плоскости x = c, 0 < c 6 1, получаем такой же график, только сжатый в c раз

В остальных случаях добавляется ещё несколько полуплоскостей; дополнительные полуплоскости изображены на рис. 54 (б).

9.3.Топологические свойства

CW -комплексы обладают многими хорошими топологическими свойствами: любой CW -комплекс является хаусдорфовым (и даже нормальным) пространством; для CW -комплексов нет разницы между связностью и линейной связностью, любой CW -комплекс является локально стягиваемым пространством; любой CW -комплекс является паракомпактным пространством. Приступим к доказательству этих

идругих свойств CW -комплексов.

Те о р е м а 9.2. Любой CW -комплекс X является нормальным топологическим пространством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем, что любой остов Xn является нормальным пространством. При n = 0 это утверждение очевидно: любая точка дискретного пространства X0 одновременно открыта и замкнута. Шаг индукции – теорема 9.1.

Докажем теперь нормальность пространства X. Пусть C X – замкнутое подмножество, f : C → I – непрерывная функция. Функция f за-

в частности, на каждой замкнутой клетке. Из свойства (w) следует, что

ражении связен, поэтому он целиком лежит в одной компоненте связности. Кроме того, при приклеивании Dn к связному пространству получается связное пространство.

чим гомотопию, связывающую тождественное отображение Vn+1 → Vn+1

А именно, на n-м шаге мы построим открытое покрытие {Vβ,n} остова X ;

∞

при этом Vβ,0 Vβ,1 . . . и Vβ = S Vβ,n. Семейство индексов B тоже

n=0

строится индукцией по n: на n-м шаге добавляются индексы Bn (они соответствуют тем множествам Vβ,n, которые нужно добавить, чтобы

дополнительно множества Vβ,n+1, β Bn+1, так, чтобы каждое из них содержалось в некотором множестве Uα(β) . При этом подразумевается,