топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

[ai , vi] и |aim| = k|mvi|, где k > 0 – фиксированное число. Если k достаточно велико, то симплекс L = [v0, . . . , vn] лежит внутри симплек-

са [a0, . . . , an].

Рассмотрим симплициальный комплекс K1, вершинами которого являются точки a0, . . . , an и вершины комплекса K (напомним, что K – триангуляция L); симплексами K1 являются симплексы K и симплексы, одной из вершин которых служит ai, а остальными вершинами служат вершины симплекса из K, расположенного на грани [v0, . . . , vˆ i, . . . , vn].

Пример построения комплекса K1 при n = 2 приведён на рис. 44. Определим симплициальное отображение ψ : K1 → L так, чтобы оно совпадало с ϕ на K K1 и переводило ai в vi. Поме-

одномерный симплекс [x, y] в K1 с пометками p и q даёт вклад в ϕ1, то он по условию лежит на отрезке [vp, vq]. Ребру [x, y] соответствует симплекс [x, y, ar], r 6= p, q, с полным набором пометок. Ориентация этого симплекса противоположна ориентации ребра [x, y] на ребре [vp, vq], потому что ориентации симплексов [a0, a1] и [v0, v1] противоположны (эти симплексы расположены на параллельных прямых, поэтому име-

ет смысл говорить о согласованности их ориентаций). Наконец, если симплекс [x, y, z] в K1 даёт вклад в ϕ2, то он имеет полный набор пометок. При этом ориентации симплекса [x, y, z] относительно [v0, v1, v2]

иотносительно [a0, a1, a2] совпадают, поскольку симплексы [v0, v1, v2]

и[a0, a1, a2] одинаково ориентированы.

Для произвольного n рассуждения аналогичны. Чередование знаков

происходит из-за того, что симплексы [vi0 , vi1 , . . . , vik ] и [ai0 , ai1 , . . . , aik ] одинаково ориентированы при чётном k и противоположно ориентирова-

8.5.Нерв покрытия

Произвольному семейству подмножеств U = {Uα } множества X можно сопоставить симплициальный комплекс N = N(U), вершины {vα} которого находятся во взаимно однозначном соответствии с множествами {Uα }, причём набор vα0 , . . . , vαk является симплексом тогда и только тогда, когда Uα0 ∩ . . . ∩ Uαk 6= . Если X – топологическое пространство и U – его покрытие (не обязательно открытое), то N называют нервом покрытия U.

П р и м е р. Пусть K – симплициальный комплекс с вершинами {vα}, Uα = st vα – звезда вершины vα, т. е. объединение внутренностей всех симплексов, содержащих vα. Тогда нерв покрытия {Uα } совпадает с K.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вершины vα0 , . . . , vαk образуют симплекс

емы. Нерв стягиваемого покрытия несёт много информации о гомотопическом строении пространства X. Например, справедливо следующее утверждение.

Т е о р е м а 8.10. Пусть U = {Uα } – стягиваемое локально конечное покрытие паракомпактного пространства X. Тогда нерв

N= N(U) гомотопически эквивалентен X.

До к а з а т е л ь с т в о. Стягиваемость покрытия и паракомпактность пространства используются в разных местах доказательства. Поэтому будем считать, что U – произвольное локально конечное открытое покрытие произвольного пространства X. Построим вспомогательное пространство XU следующим образом. Для каждого непустого

странств произведём следующую склейку: отождествим точку (x, y), где

поскольку покрытие U открытое. Каждую точку множества p−1 (x) можно записать в виде суммы P tαxα , где tα > 0, P tα = 1 и xα = x для Uα 3 x.

α

Эта сумма конечная, поскольку покрытие локально конечное.

Из паракомпактности пространства X следует, что существует разби-

ение единицы {ϕα }, подчинённое покрытию {Uα }, т. е. supp ϕα Uα . Построим отображение s : X → XU следующим образом: s(x) = P ϕα (x)xα ; здесь имеется в виду, что если ϕα (x) = 0, то соответствующее слагаемое нулевое, а если ϕα (x) 6= 0, то x Uα и мы полагаем xα = x. Ясно, что p ◦ s = idX . Нужно лишь проверить, что s ◦ p idXU . Пусть точка x принадлежит множествам Uα0 , . . . , Uαn и не принадлежит никаким другим множествам Uα . Тогда точки y = P tαxα и s p(y) = P ϕαxα принадлежат симплексу с вершинами xα0 , . . . , xαn . Требуемая гомотопия строится следующим образом: мы соединяем точки y и s p(y) отрезком и равномерно подтягиваем точку s p(y) к точке y.

Ш а г 2. Если покрытие U стягиваемое, то XU |N(U)|.

Возьмём пространство XU . Сначала над каждой вершиной α стянем в точку множество Uα, затем над каждой внутренней точкой ребра [α, β] стянем в точку множество Uα,β , затем над каждой внутренней точкой симплекса [α, β, γ] стянем в точку множество Uα,β,γ и т. д. В итоге получим

8.6.Псевдомногообразия

Конечный симплициальный комплекс K называют n-мерным псевдомногообразием, если выполняются следующие условия:

–однородность: каждый симплекс из K является гранью некоторого n-мерного симплекса ;

–неразветвлённость: каждый (n − 1)-мерный симплекс из K является гранью не более чем двух n-мерных симплексов ;

З а м е ч а н и е. Надстройка над обычным (топологическим или гладким) замкнутым многообразием Mn может быть многообразием лишь в том случае, когда Mn – гомологическая сфера. Таким образом, псев-

8.7.Степень отображения в евклидово пространство

Пусть Mn – псевдомногообразие размерности n. Будем называть отображение f : Mn → Rm симплициальным, если ограничение f на каждый симплекс является линейным отображением (в аффинном смысле). Симплициальное отображение Mn → Rm полностью определяется ограничением на 0-мерный остов (Mn)0, причём любое отображение (Mn)0 → Rm продолжается до симплициального отображения Mn → Rm.

Рассмотрим симплициальное отображение f : Mn → Rn (размерности одинаковые). Назовём точку y Rn регулярным значением отображения f, если точка y не принадлежит образу (n − 1)-мерного остова псевдомногообразия Mn. Регулярные значения образуют в Rn всюду плотное подмножество.

Пусть Mn – ориентированное псевдомногообразие, f : Mn → Rn – симплициальное отображение и y – регулярное значение отображения f. Назовём степенью отображения f относительно точки y число

X

deg(f, y) = sgn Jf (x),

x f−1 (y)

где sgn Jf (x) – знак якобиана отображения f в точке x, т. е. sgn Jf (x) = 1, если симплекс n, внутри которого лежит точка x, отображается на симплекс f( n) Rn с сохранением ориентации; в противном случае sgn Jf (x) = −1.

ток; этого легко добиться. Большой триангулированный симплекс является ориентированным псевдомногообразием. Рассмотрим симплициальное отображение f этого псевдомногообразия на фиксированный симплекс

вRn с полным набором пометок (вершина с номером i отображается

ввершину с номером i). На крае отображение f совпадает с тождественным отображением, поэтому его степень (относительно внутренней

точки симплекса ) равна 1. Но степень отображения f как раз и равна разности между количествами симплексов с полным набором пометок с положительной и отрицательной ориентациями. А по построению новых симплексов с полным набором пометок не появилось.

8.8.Теорема Борсука–Улама

В1933 г. К. Борсук [38] доказал следующее утверждение, предположение о справедливости которого высказал ранее С. Улам.

ное отображение. Тогда f(x) = f(−x) для некоторой точки x S . Точки x и −x называют антиподами, поэтому теорему Борсука–

Улама иногда называют теоремой об антиподах.

Отображение g : Sn → Rn называют нечётным, или антиподаль-

взять сечение шара Dn+1 (с краем Sn) плоскостью, проходящей через центр, а в качестве h взять композицию проекции Dn на полусферу

иотображения g.

До к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 8.15. Вместо Dn мы будем рассматривать n-мерный куб In, где I = [−1, 1]. Этот куб симметричен относительно начала координат. Предположим, что ограничениеотображения

h: In → Rn на ∂In нечётно и 0 6 h(In). Множество h(In) компактно, поэтому оно не пересекается с некоторым шаром с центром 0. Пусть r – радиус этого шара.

Из равномерной непрерывности отображения h следует, что для достаточно мелкой триангуляции куба In образ любого симплекса лежит в шаре диаметра ε < r. Для каждой вершины v такой триангуляции положим hε (v) = h(v) и продолжим отображение hε на каждый симплекс по линейности. Любая точка x In принадлежит какому-то симплексу триангуляции, поэтому точки h(x) и hε (x) принадлежат одному и тому же шару диаметра ε, а значит, kh(x) − hε (x)k 6 ε.

Триангуляцию куба In можно построить так, что она будет симметрична относительно начала координат. В таком случае ограничение отображения hε (x) на ∂In нечётно. Кроме того, из неравенства kh(x) − hε (x)k 6 ε следует, что 0 6 hε (In).

Чтобы прийти к противоречию, достаточно построить симплици-

Построить нечётное отображение ϕ совсем просто. Нужно взять внутренние вершины симметричной триангуляции, полученной при построении отображения hε, и произвольно отобразить симметричные вершины в симметричные точки Rn. При этом для вершины v ∂In полагаем ϕ(v) = hε (v). Затем продолжаем отображение ϕ по линейности.

Остаётся последняя чисто техническая трудность: точка 0 является вершиной триангуляции, поэтому 0 = ϕ(0) – не регулярное значение. Сделать точку 0 регулярным значением можно следующим образом. Пусть W – объединение всех симплексов с вершиной 0. Можно считать,

что W ∩ ∂In = . Для вершины v W положим ϕ(v) = v. Тогда ϕ|W – тождественное отображение, поэтому оно останется симплициальным при

любой триангуляции множества W . Теперь малым шевелением вершин,

Приведём ещё одно утверждение, эквивалентное теореме Борсука– Улама.

Т е о р е м а 8.16. Пусть m > n > 1. Тогда не существует нечётного отображения f : Sm → Sn.

Действительно, если m > n > 1, то нечётное отображение Sm → Sn является также и нечётным отображением Sm → Sn Rn+1 \ {0} Rm \ {0}. Поэтому из теоремы Борсука–Улама следует теорема 8.16. Наоборот, по нечётному отображению Sm → Rm \ {0} легко построить нечётное отображение Sm → Sm−1.

За м е ч а н и е. Весьма простое доказательство теоремы Борсука– Улама приведено в [95]. Приведённое нами доказательство теоремы 8.15 имеет много общего с [61].

За д а ч а 8.4.* а) (лемма Такера [127]) Пусть задана такая триангуляция n-мерного куба In, что его граница ∂In триангулирована симметрично относительно центра. Предположим, что вершины этой триангуляции помечены числами ±1, ±2, . . . , ±n, причём если v ∂In – вершина триангуляции, то вершины v и −v помечены числами, сумма которых равна 0. Докажите, что тогда существуют смежные (т. е. соединённые ребром) вершины триангуляции, помеченные числами, сумма которых равна 0.

б) Докажите теорему Борсука–Улама с помощью леммы Такера.

За м е ч а н и е. Чисто алгебраическое доказательство теоремы Бор- сука–Улама для полиномиальных отображений приведено в [16].

8.9.Следствия и обобщения теоремы Борсука–Улама

Из теоремы Борсука–Улама можно вывести много интересных следствий. Одно из них Борсук привёл в той самой статье [38], в которой он доказал теорему Борсука–Улама. Но ранее эту теорему уже доказали Люстерник и Шнирельман [9, с. 26].

Т е о р е м а 8.17 (Люстерник–Шнирельман). Пусть сфера Sn покрыта замкнутыми множествами F1, . . . , Fn+1. Тогда одно из них содержит пару диаметрально противоположных точек сферы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через −Fi множество, симметричное Fi относительно центра сферы. Покажем, что если Fi ∩ (−Fi) =

при i = 1, . . . , n, то Fn+1 ∩ (−Fn+1) 6= .

Применив лемму Урысона (см. с. 67) к непересекающимся замкнутым множествам F1 и −F1, лежащим в Rn+1, можно построить непрерывную функцию ϕ1 : Sn → [0, 1], для которой ϕ1 (F1) = 0 и ϕ1 (−F1) = 1 (лемма Урысона даёт функцию f, для которой f(F1) = −1 и f(−F1) = 1; мы полагаем ϕ1 = (1 + f)/2). Аналогично построим функции ϕ2, . . . , ϕn. Рассмотрим отображение ϕ : Sn →Rn, заданное фор-