топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

112 Глава III. Топологические пространства

кается лишь с конечным числом множеств Vβ,i . Для этого достаточно доказать, что это множество не пересекает Vβ,i при i > n + j и пересекает не более одного множества Vβ,i при i < n + j.

Предположим сначала, что i > n + j > n. Множество Vβ,i состоит из открытых шаров радиуса 2−i, центры которых удовлетворяют условиям 1–3. В частности, из свойства (3) следует, что если y – центр такого

шара, то y 6 Vα,n. Но Dx,2−j Vα,n, поэтому d(x, y) > 2−j. С другой стороны, n + j > j + 1 и i > j + 1, поэтому 2−j−n + 2−i 6 2−j, а значит,

Dx,2−j−n ∩ Dy,2−i = .

Предположим теперь, что i < n + j, p Dx,2−j−n ∩ Vβ,i и q Dx,2−j−n ∩ ∩ Vγ,i, причём β 6= γ. Пусть для определённости β < γ. Чтобы прийти

азначит,

d(p, q) > d(y, z) −d(p, y) −d(q, z) > 3·2−i −2−i −2−i = 2−i > 2−n−j+1. 2

§ 8. Симплициальные комплексы

Евклидово пространство Rn является наиболее важным примером топологического пространства. Все основные классы топологических пространств (симплициальные комплексы, CW -комплексы, многообразия) строятся посредством склейки евклидовых симплексов или шаров. По чисто техническим причинам в гомотопической топологии CW -комплексы более удобны, чем симплициальные комплексы. Дело в том, что симплициальные комплексы несут слишком много геометрической информации, явно излишней для нужд топологии. Тем не менее, симплициальные комплексы представляют собой достаточно интересный и достаточно обширный класс топологических пространств. В геометрической топологии именно симплициальные комплексы наиболее удобны (по крайней мере, наиболее часто используются).

Симплициальным комплексом K называют набор симплексов в Rn, удовлетворяющий следующим условиям:

–любая грань симплекса из K принадлежит K;

–пересечение любых двух симплексов из K является гранью каждого из них (для удобства мы полагаем, что пустое множество является гранью размерности −1 любого симплекса);

– любая точка, принадлежащая одному из симплексов K, имеет окрестность, которая пересекается с конечным числом симплексов из K.

Размерностью комплекса K называют максимальную размерность входящих в него симплексов.

Симплициальный комплекс K называют конечным, если он состоит из конечного числа симплексов. В дальнейшем мы будем рассматривать в основном конечные симплициальные комплексы.

Каждому симплициальному комплексу K можно сопоставить топологическое пространство |K| – объединение всех симплексов, входящих в K; топология при этом индуцируется из Rn.

На с. 93 дано определение барицентрического подразделения симплекса. Если каждый симплекс в K разбит таким образом, то мы получаем барицентрическое подразделение симплициального комплекса K.

8.1. Евклидовы клеточные комплексы

Выпуклым многогранником размерности k называют подмножество в Rk, которое задано системой линейных неравенств Ax 6 b и, кроме того, содержит некоторый k-мерный шар и содержится в некотором k-мерном шаре.

Евклидовой клеткой размерности k называют выпуклый многогранник размерности k, расположенный в некотором k-мерном (аффинном) подпространстве в Rn, где n > k.

Евклидовым клеточным комплексом K называют набор евклидовых клеток в Rn, удовлетворяющий следующим условиям:

–любая грань евклидовой клетки из K принадлежит K;

–пересечение любых двух евклидовых клеток из K является гранью каждой из них;

–любая точка множества |K| имеет окрестность, которая пересекается с конечным числом евклидовых клеток из K (здесь |K| снова обозначает объединение всех клеток, входящих в K).

Любой симплициальный комплекс является евклидовым клеточным комплексом.

Евклидов клеточный комплекс K0 называют подразделением евклидова клеточного комплекса K, если |K| = |K0| и любая клетка из K0 содержится в некоторой клетке из K.

Объединение всех клеток размерности не более n евклидова клеточного комплекса K называют n-мерным остовом; мы будем обозначать

его Kn. Если размерность K не меньше n, то его n-мерный остов является n-мерным евклидовым клеточным комплексом.

Т е о р е м а 8.1. Пусть K1 и K2 – евклидовы клеточные комплексы, причём |K1| = |K2|. Тогда K1 и K2 обладают общим подразделением L.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что пересечение двух евклидовых клеток снова будет евклидовой клеткой. Пусть L – множество всех клеток вида c1 ∩ c2, где c1 – клетка из K1, c2 – клетка из K2. Тогда L – евклидово клеточное разбиение, |L| = |K1| = |K2| и любая клетка c1 ∩ c2 из L принадлежит клетке c1 из K1 и клетке c2 из K2. 2

Следующее утверждение показывает, что с топологической точки зрения евклидовы клеточные комплексы не дают ничего нового по сравнению

ссимплициальными комплексами.

Те о р е м а 8.2. Любой евклидов клеточный комплекс K обладает подразделением, которое является симплициальным комплексом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим индукцию по n = dim K. Евклидовы клетки размерности 6 1 являются симплексами, поэтому при n 6 1 утверждение очевидно. Предположим, что для (m − 1)-мерного остова комплекса K уже построено подразделение L, которое является симплициальным комплексом. Выберем внутри каждой m-мерной клетки cm комплекса K некоторую точку M и рассмотрим симплексы, одной из вершин которых служит точка M, а остальными вершинами служат вершины одного из симплексов, образующих край клетки cm. В результате получим подразделение комплекса K, являющееся симплициальным подразделе-

точку клетки cm, а вершину клетки cm. Тогда построенное симплициальное разбиение будет иметь те же самые вершины, что и евклидов клеточный комплекс.

8.2.Симплициальные отображения

Пусть K1 и K2 – симплициальные комплексы. Отображение f : |K1| → → |K2| называют симплициальным, если образ любого симплекса 1 из K1 является симплексом 2 из K2 и при этом ограничение отображения f на 1 линейно в аффинном смысле, т. е.

XX

116 Глава III. Топологические пространства

как набор вершин {vα} и набор подмножеств этих вершин, называемых симплексами (набор из k + 1 вершин мы будем называть k-мерным симплексом); при этом любое подмножество вершин симплекса из K должно быть симплексом из K.

Каждому абстрактному симплициальному комплексу K можно сопоставить топологическое пространство |K| следующим образом. Каждому симплексу vi1 , . . . , vik+1 сопоставим топологическое пространство, являющееся k-мерным симплексом. В дизъюнктном объединении этих топологических пространств будем считать эквивалентными соответственные

точки симплекса v1, . . . , vp и грани v1, . . . , vp симплекса v1, . . . , vp, vp+1, . . . , vq. В полученном фактормножестве |K| топология задаётся

следующим образом: множество U открыто в |K| тогда и только тогда, когда пересечение U с каждым симплексом открыто в топологии симплекса.

Пусть для абстрактного симплициального комплекса K задано взаимно однозначное отображение σ : K0 → L0, где L0 – 0-мерный остов симплициального комплекса L в Rn, обладающее следующим свойством: набор вершин v1, . . . , vk является симплексом в K тогда и только тогда, когда в L есть симплекс с вершинами σ (v1), . . . , σ (vk). Такое отображение σ можно естественным образом продолжить до гомеоморфизма |K| → |L|. Этот гомеоморфизм называют реализацией симплициального комплекса K.

Т е о р е м а 8.4. Любой конечный n-мерный абстрактный симплициальный комплекс имеет реализацию в евклидовом пространстве размерности 2n + 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть K – абстрактный симплициальный комплекс с вершинами v1, . . . , vk. Выберем попарно различные числа

сопоставим геометрический симплекс с вершинами σ (vi1), . . . , σ (vim). Нужно лишь проверить, что геометрические симплексы, не имеющие общих вершин, не пересекаются.

По условию размерности рассматриваемых геометрических симплексов не превосходят n, т. е. количества их вершин не превосходят n + 1. Количество вершин двух таких симплексов не превосходит 2n + 2. Поэтому достаточно проверить, что если на кривой (t, t2, t3, . . . , t2n+1) задано не более 2n + 2 различных точек, то они являются вершинами (невырожденного) симплекса. Если задано ровно 2n + 2 точки, то объём рассмат-

Набор из меньшего количества точек можно произвольным образом до-

что они находятся в общем положении, если любые m + 1 из этих точек не лежат в одном (m − 1)-мерном аффинном подпространстве при m 6 N. Чтобы построить реализацию n-мерного абстрактного симплициального комплекса (с вершинами v1, . . . , vk) в R2n+1, достаточно указать точки x1,

. . . , xk в R2n+1 в общем положении. Помимо той явной конструкции точек в общем положении, которая приведена в доказательстве теоремы 8.4, можно использовать, например, следующую конструкцию. Сначала возьмём две различные точки x1 и x2 в RN . Затем возьмём точку x3, не лежащую на прямой x1x2. Затем возьмём точку x4, не лежащую в плоскости x1x2x3, и т. д. Так мы построим точки x1, . . . , xN+1. После этого проведём гиперплоскости через все наборы N построенных точек и возьмём точку xN+2, не лежащую ни на одной из этих гиперплоскостей. В дальнейшем снова проводим гиперплоскости через все наборы N точек и выбираем точку, не лежащую ни на одной из этих гиперплоскостей.

Симплициальный подкомплекс L K называют полным, если он обладает следующим свойством: на любой набор вершин комплекса L, на который натянут симплекс комплекса K, натянут также и симплекс комплекса L.

З а д а ч а 8.2. Докажите, что симплициальный подкомплекс L K полный тогда и только тогда, когда он обладает следующим свойством: если граница симплекса комплекса K лежит в L, то и сам он лежит в L.

8.4. Симплициальные аппроксимации

Симплициальные отображения устроены гораздо проще, чем непрерывные отображения. Например, для любых двух симплициальных комплексов K и L имеется лишь конечное число симплициальных отображений K → L. Тем не менее, любое непрерывное отображение можно приблизить симплициальным отображением. Но при этом, возможно, от комплексов K и L придётся перейти к их подразделениям. Для гомотопической топологии наиболее важно то, что любое непрерывное отображение симплициальных комплексов гомотопно некоторому симплициальному отображению. Это утверждение существенно облегчает изучение гомотопических классов отображений, но его доказательство требует определённых усилий.

118 Глава III. Топологические пространства

Пусть K и L – симплициальные комплексы, f : |K| → |L| – непрерывное отображение. Для каждой точки x |K| рассмотрим точку f(x) |L|. Точке f(x) соответствует ровно один симплекс из L, внутренней точкой которого она является. Будем говорить, что симплициальное отображение

ϕ : K → L является симплициальной аппроксимацией отображения f, если для всех x |K| точка ϕ(x) принадлежит симплексу, соответствующему точке f(x).

Т е о р е м а 8.5. Симплициальная аппроксимация ϕ отображения f гомотопна f.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ft (x) – точка, делящая в отношении t : (1 − t) отрезок с концами ϕ(x) и f(x). Тогда ft – гомотопия, связыва-

Для работы с симплициальными аппроксимациями более удобно другое определение симплициальной аппроксимации, использующее понятие звезды. Пусть K – симплициальный комплекс, – симплекс из K. Звездой симплекса называют объединение внутренностей всех симплексов из K, содержащих симплекс . Звездой точки x |K| называют звезду того симплекса из K, внутренней точкой которого является точка x.

ется симплициальной аппроксимацией непрерывного отображения f : |K| → |L| тогда и только тогда, когда f(st v) st ϕ(v) для любой вершины v комплекса K.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что ϕ – симплициальная аппроксимация отображения f и v – вершина комплекса K. Пусть x st v. Рассмотрим симплекс K с вершиной v, внутри которого лежит

Предположим теперь, что для любой вершины v комплекса K выполняется условие f(st v) st ϕ(v). Пусть x |K| и v0, . . . , vn – вершины

аппроксимации непрерывных отображений f : |K|→|L| и g : |L|→|M|. Тогда ψϕ – симплициальная аппроксимация отображения gf.

б) Если ограничение отображения f на подкомплекс K1 K симплициально, то симплициальную аппроксимацию ϕ можно выбрать так, чтобы она совпадала с f на K1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Звёзды вершин комплекса L образуют открытое покрытие топологического пространства |L|. Прообраз этого покрытия при отображении f является открытым покрытием U компактного подмножества |K| евклидова пространства. Согласно теореме Лебега об открытых покрытиях (теорема 4.6 на с. 70) существует такое число δ > 0, что любое подмножество B |K|, диаметр которого меньше δ, содержится в одном из элементов покрытия U.

Выберем число n так, что диаметр любого симплекса из K (n) меньше δ/2. Симплициальное отображение ϕ : K (n) → L определим следующим образом. Пусть v – вершина K (n) . Тогда диаметр множества st v меньше δ, поэтому множество f(st v) целиком принадлежит некоторому множеству вида st w, где w – вершина L. Положим ϕ(v) = w (если в качестве w можно выбрать несколько вершин, то выбираем любую из них). Мы определили отображение 0-мерных остовов. Нужно проверить, что это отображение допустимо, т. е. если v1, . . . , vk – вершины некоторого симплекса из K (n) , то ϕ(v1), . . . , ϕ(vk) – вершины некоторого симплекса из L. Для этого мы воспользуется тем, что вершины v1, . . . , vk

ϕ(v1), . . . , ϕ(vk) образуют в L некоторый симплекс.

Теорема 8.6 показывает, что симплициальное отображение ϕ : K (n) → L является симплициальной аппроксимацией отображения f.

б) Пусть v – вершина K1. Тогда f(v) = w – вершина L. Если разбиение K (n) достаточно мелкое (т. е. число n достаточно велико), то для такого разбиения f(st v) st w, поэтому можно положить ϕ(v) = w. 2

С помощью теоремы о симплициальной аппроксимации можно доказать следующее утверждение.

Т е о р е м а 8.8. Любое непрерывное отображение f : Sn → Sm, где n < m, гомотопно постоянному отображению (т. е. отображению в одну точку).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что отображение f гомотопно отображению ϕ, которое не является сюръективным. Действительно, если ϕ(x) 6= ξ0 Sm при всех x Sn, то

представляет собой гомотопию, связывающую отображение ϕ и постоянное отображение Sn → −ξ0 Sm.

Сферу Sn можно представить в виде симплициального комплекса K, который является n-мерным остовом (n + 1)-мерного симплекса. Сферу Sm аналогично представим в виде симплициального комплекса L. Для непрерывного отображения f : |K| → |L| существует симплициальная аппроксимация ϕ : K (N) → L. Отображение ϕ не сюръективно, потому что его образ содержится в n-мерном остове комплекса L. Отображение ϕ

П р и м е р. Пусть K – триангуляция n-мерного симплекса L с вершинами v0, v1, . . . , vn. Предположим, что вершины K помечены числами 0, 1, . . . , n. Построим симплициальное отображение ϕ : |K| → |L|, сопоставив каждой вершине a K вершину vi, где i – пометка вершины a. Отображение ϕ является симплициальной аппроксимацией тождественного отображения |K| → |K| = |L| тогда и только тогда, когда набор пометок такой, как в условии леммы Шпернера, т. е. пометка вершины a, принадлежащей некоторой грани симплекса L, совпадает с одной из вершин этой грани.

Следующая теорема выводится из леммы Шпернера (в уточнённой форме: теорема 6.9 на с. 95), но её формулировка без использования понятия симплициального отображения выглядела бы слишком неесте-