топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

тождественно. Поэтому композиция отображения g и проекции D2 на S1

шаге 1 (см. рис. 42). Предположим, что помимо связной компоненты U, содержащей точку z0, есть ещё одна ограниченная связная компонента W . Ясно, что W R. Пусть q – самая близкая к s точка множества Cs ∩ [n, s]. Рассмотрим путь β, который идёт из n в l по прямой, затем из l в m по дуге Cs, затем из m в p по прямой, затем из p в q по дуге Cs и, наконец, из q в s по прямой. Ясно, что путь β не пересекает множество W и не проходит через точки a и b. Выберем окрестности точек a и b, не пересекающиеся с путём β. Согласно шагу 1 замыкание множества W содержит точки a и b, поэтому в выбранных окрестностях есть точки a1 и b1, принадлежащие W . Пройдем из точки a в a1 по прямой, затем из a1 в b1 пройдём по пути, целиком лежащим в W , и, наконец, пройдём из b1 в b по прямой. Полученный таким образом путь не пересекает

6.3.Лемма Шпернера

Мы уже привели три доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке. Известно ещё много других способов доказательства этой теоремы. Например, теорему Брауэра можно вывести из леммы Шпернера, которая имеет и много других приложений. Сам Шпернер использовал эту лемму для того, чтобы получить новое доказательство другой известной теоремы Брауэра – об инвариантности размерности. Теорема Брауэра о неподвижной точке была выведена из леммы Шпернера в статье [80].

рить, что набор пометок симплекса полный, если все числа 0, 1, . . . , k встречаются среди пометок его вершин (в таком случае они встречаются ровно по одному разу).

Лемму Шпернера мы выведем из следующего утверждения, которое иногда тоже называют леммой Шпернера.

Т е о р е м а 6.7. Пусть все вершины триангуляции выпуклого многогранника Pn помечены числами 0, 1, . . . , n. В таком случае число симплексов триангуляции Pn с полным набором пометок нечётно тогда и только тогда, когда нечётно число симплексов триангуляции края многогранника Pn с полным набором пометок.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим n-мерный симплекс, одна из граней которого является (n − 1)-мерным симплексом с полным набором пометок. Если противоположная вершина помечена числом n, то у этого симплекса есть ровно одна (n − 1)-мерная грань с полным набором

пометок, а если противоположная вершина помечена числом от 0 до n − 1, то таких граней ровно две. Поэтому количество n-мерных симплексов с полным набором пометок сравнимо по модулю 2 с количеством пар, состоящих из n-мерного симплекса и его (n − 1)-мерной грани с полным набором пометок. Кроме того, каждый (n − 1)-мерный симплекс с полным набором пометок, лежащий на крае многогранника Pn, принадлежит ровно одному n-мерному симплексу, а все другие (n − 1)-мерные симплексы принадлежат ровно двум n-мерным симплексам. Поэтому указанное количество пар сравнимо по модулю 2 с количеством (n − 1)-мерных

Т е о р е м а 6.8 (лемма Шпернера [122]). Предположим, что пометки вершин триангуляции n-мерного симплекса с полным набором пометок таковы, что если вершина триангуляции принадлежит некоторой грани исходного симплекса, то пометка этой вершины совпадает с пометкой одной из вершин грани. Тогда среди n-мерных симплексов триангуляции есть симплекс с полным набором пометок. Более того, число таких симплексов нечётно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Любое нечётное число отлично от нуля, поэтому достаточно доказать, что число n-мерных симплексов с полным набором пометок нечётно. Согласно теореме 6.7 это эквивалентно тому, что на крае число (n − 1)-мерных симплексов с полным набором пометок нечётно. Из условия на пометки триангуляции следует, что на крае любой (n − 1)-мерный симплекс с полным набором пометок принадлежит (n − 1)-мерной грани исходного симплекса с полным набором пометок. Поэтому лемма Шпернера для n-мерного симплекса следует из леммы Шпернера для (n − 1)-мерного симплекса. При n = 0 лемма Шпернера

Для доказательства теоремы Брауэра нам потребуются барицентрические координаты. Пусть точка X принадлежит симплексу A0 . . . An. Бари-

центрическими координатами точки X относительно этого симплекса называют набор чисел (x0, . . . , xn), где xi – отношение объема симплекса

XA0 . . . Ai−1Ai+1 . . . An к объему симплекса A0 . . . An. Ясно, что числа x0, . . . , xn неотрицательны и их сумма равна 1. Координата xi пропорци-

ональна расстоянию от точки X до грани A0 . . . Ai−1Ai+1 . . . An, поэтому барицентрические координаты точки X однозначно задают её положение.

ские координаты её образа при отображении f. Пометим точку X числом j, где j – наименьший индекс, для которого yj 6 xj 6= 0. В таком случае пометки вершин любой триангуляции будут удовлетворять условию леммы Шпернера. В самом деле, если точка принадлежит грани Ai0 . . . Aik , то у нее отличны от нуля лишь барицентрические координаты

с индексами i0, . . . , ik.

Пусть M – центр масс симплекса n, Mi – центр масс i-й грани.

кое разбиение называют барицентрическим подразделением симплекса n. Если d – максимальная длина ребра симплекса n, то длина любого ребра симплекса барицентрического подразделения не превосхо-

пометок. Выберем в нём произвольную точку X1. Затем рассмотрим второе барицентрическое подразделение, т. е. барицентрически разобьём каждый симплекс первого барицентрического подразделения. Во втором барицентрическом подразделении выберем n-мерный симплекс с полным набором пометок и выберем в нём произвольную точку X2. Затем аналогично построим точку X3, и т. д. Из бесконечной последовательности {Xi} можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {Xik }. Покажем, что

точка X = lim Xi неподвижна.

k→∞ k

Пусть (x0k, . . . , xnk) и (y0k, . . . , ynk) – барицентрические координаты

точки Xik и её образа, (x0lk, . . . , xnkl ) и (y0lk, . . . , ynkl ) – барицентрические координаты вершин симплекса, содержащего точку Xik , и их образов.

Рассматриваемые симплексы имеют полный набор пометок, поэтому для любого j = 0, . . . , n неравенство yljk 6 xljk выполняется для некоторого l. Длина ребра симплекса с номером ik стремится к нулю при k → ∞, поэто-

му lim xljk = lim xjk = xj, где (x0, . . . , xn) – барицентрические коорди-

k→∞ k→∞

наты точки X. Таким образом, если (y0, . . . , yn) – барицентрические ко-

Заслуживает упоминания ещё один способ доказательства леммы Шпернера, который оказался полезным и при доказательстве других комбинаторных теорем.

К о н с т р у к т и в н о е д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы Ш п е р - н е р а [47]. Докажем сначала требуемое утверждение для 1-мерного симплекса (отрезка). Если две соседние вершины триангуляции помечены одним и тем же числом, то одну из них можно стереть. Количество отрезков с полным набором пометок при этом не изменится. После нескольких таких операций получим разбиение отрезка с пометками 01010 . . . 101. Количество отрезков с полным набором пометок равно

n-мерных симплексов, где n > 1. Для заданной триангуляции (n + 1)-мер- ного симплекса рассмотрим все n-мерные симплексы триангуляции с полным набором пометок. Для (n + 1)-мерных симплексов этой триангуляции возможны три ситуации:

0)среди пометок вершин нет одного из чисел 0, 1, . . . , n; в этом случае число n-мерных граней с полным набором пометок равно 0;

1)симплекс имеет полный набор пометок; в этом случае число n-мер- ных граней с полным набором пометок равно 1;

разные знаки. Из этого легко следует, что если мы рассмотрим такие же ломаные, как и при конструктивном доказательстве леммы Шпернера, то концами одной ломаной будут служить:

1)либо два противоположно ориентированных (n + 1)-мерных симплекса с полными наборами пометок,

2)либо два противоположно ориентированных n-мерных симплекса

сполными наборами пометок, принадлежащих n-мерной грани исходного симплекса с полным набором пометок,

3)либо один (n + 1)-мерный и один n-мерный симплекс указанного выше вида, имеющие согласованные ориентации.

Поэтому разность между количеством положительно и отрицательно ориентированных (n + 1)-мерных симплексов с полным набором пометок равна разности между количеством положительно и отрицательно ориентированных n-мерных симплексов с полным набором пометок, принадлежащих n-мерной грани исходного симплекса с полным набором

6.4.Теорема Какутани

Теорему Брауэра можно обобщить на отображения симплекса n, которые сопоставляют точке не точку, а некоторое подмножество симплекса. Эти отображения должны обладать определёнными свойствами. Во-первых, мы будем рассматривать только отображения x 7→Φ(x) n, для которых Φ(x) – замкнутое выпуклое множество. Во-вторых, отображение Φ должно обладать свойством, аналогичными непрерывности. А именно, отображение Φ должно быть полунепрерывным сверху. Это

означает, что если lim xi = x0 и в каждом множестве Φ(xi) выбрана точ-

i→∞

ка yi так, что lim yi = y0, то y0 Φ(x0). Если Φ – обычное отображение,

i→∞

т. е. для каждой точки x n множество Φ(x) состоит из одной точки, то полунепрерывность сверху эквивалентна непрерывности.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим m-е барицентрическое подразделение симплекса n, и каждой его вершине vα сопоставим некоторую точку wα Φ(vα). Продолжив это отображение по линейности на симплексы m-го барицентрического подразделения, получим непрерыв-

подразделения, который содержит точку xm (если таких симплексов

Теорема Какутани имеет довольно много приложений, но они относятся в основном к геометрии выпуклых тел и к математической экономике, поэтому мы не будем их здесь обсуждать.

Глава III

Топологические пространства

§ 7. Элементы общей топологии

7.1.Хаусдорфовы пространства и компактные пространства

Топологическое пространство X называют хаусдорфовым, если для любых двух различных точек x, y X найдутся непересекающиеся окрестности U 3 x и V 3 y. Такое свойство отделимости впервые ввёл Ф. Хаусдорф в книге [22]. Простейшим примером нехаусдорфова пространства служит пространство X с тривиальной (антидискретной) топологией, в которой система открытых множеств состоит ровно из двух множеств: X и .

Уп р а ж н е н и е 1. Докажите, что любое подпространство хаусдорфова пространства хаусдорфово.

Уп р а ж н е н и е 2. Пусть X – хаусдорфово пространство, x1, . . . , xn – его различные точки. Докажите, что существуют непересекающиеся

окрестности U1, . . . , Un точек x1, . . . , xn.

Нехаусдорфовы пространства (в том числе и пространства с тривиальной топологией) часто возникают как пространства орбит действия групп. Пусть X – множество, G – группа. Действием группы G на множестве X называют отображение G × X → X (паре (g, x) сопоставляется элемент g(x) X), обладающее следующими свойствами:

1)g(h(x)) = (gh) (x);

2)e(x) = x, где e – единичный элемент группы G.

Топологической группой называют хаусдорфово топологическое пространство G, которое одновременно является группой, причём отображения (g, h) 7→gh и g 7→g−1 непрерывны. Обычно в топологии рассматривается действие топологических групп на хаусдорфовых топологических пространствах. При этом подразумевается, что действие G × X → X непрерывно.

Для точки x X множество G(x) = {g(x) X | g G} называют орбитой точки x относительно действия группы G.

У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что орбиты G(x) и G(y) любых двух точек x, y X либо не пересекаются, либо совпадают.

Сл е д с т в и е 1. Компактное подмножество C хаусдорфова пространства X замкнуто.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если x X \ C, то у точки x есть окрестность, не пересекающая C. Это означает, что множество X \ C открыто. 2

Сл е д с т в и е 2. У любых двух непересекающихся компактных подмножеств A и B хаусдорфова пространства X есть непересекающиеся окрестности.

Д о к а з а т е л ь с т в о. У каждой точки a A есть окрестность, замыкание которой не пересекается с B. В силу компактности множества A существует его конечное покрытие такими окрестностями U1, . . . , Un.

ного пространства K компактно.

Т е о р е м а 7.2. Пусть f : X → Y – непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y . Тогда f – гомеоморфизм.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Образ Y компактного пространства X при непрерывном отображении f компактен, поскольку для любого открытого покрытия множества Y прообраз этого покрытия тоже является открытым покрытием. Любое замкнутое подмножество C компактного пространства X компактно, поэтому его образ f(C) Y тоже компактен. В таком случае из хаусдорфовости Y следует, что f(C) – замкнутое подмножество в Y . Но f(C) – прообраз множества C при отображении

У п р а ж н е н и е 4. Постройте непрерывное взаимно однозначное отображение полуоткрытого интервала [0, 1) на окружность S1. (В условии теоремы 7.2 существенна компактность пространства X.)

У п р а ж н е н и е 5. Докажите, что непрерывное отображение отрезка на квадрат не может быть взаимно однозначным.

В обоих приведённых выше примерах нехаусдорфовых пространств орбит X/G группа G была некомпактной. Для компактных групп таких неприятностей не возникает.

Т е о р е м а 7.3. Если компактная группа G действует на (хаусдорфовом) пространстве X, то пространство орбит X/G хаусдорфово.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Орбита G(x) является образом компактного пространства G при непрерывном отображении G → G × {x} → G(x), поэтому G(x) – компактное множество. Если G(x) и G(y) – разные орбиты, то согласно теореме 7.1 у точки x есть окрестность U, замыкание которой не пересекает множество G(y). В таком случае мно-