топология / Прасолов В. В., Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

Оглавление

5.2.Теорема Уитни–Грауштейна . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3.Двойные точки, двойные касательные и точки перегиба 81

§6. Теорема Брауэра и лемма Шпернера . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.6.Псевдомногообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.7.Степень отображения в евклидово пространство . . . 125

8.8. Теорема Борсука–Улама . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.9.Следствия и обобщения теоремы Борсука–Улама . . 130

§9. CW -комплексы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.1. Приклеивание по отображению . . . . . . . . . . . . . 132 9.2. Определение CW -комплексов . . . . . . . . . . . . . . 134 9.3. Топологические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.4.Клеточная аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.5.Геометрическая реализация CW -комплексов . . . . . 144

§10. Конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.1. Прямое произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.2. Цилиндр, конус и надстройка . . . . . . . . . . . . . . 146 10.3. Джойн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.4. Симметрическая степень . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения. Гомотопические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

§ 11. Двумерные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11.2. Приведение двумерных поверхностей к простейшему

виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 11.3. Завершение классификации двумерных поверхностей 161 11.4. Риманово определение рода поверхности . . . . . . . 164

§ 12. Накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 12.1. Универсальные накрытия двумерных поверхностей . . 165 12.2. Существование накрывающего пространства с за-

данной фундаментальной группой . . . . . . . . . . . . 166 12.3. Единственность накрывающего пространства с за-

данной фундаментальной группой . . . . . . . . . . . . 168

21.4.Рогатая сфера Александера . . . . . . . . . . . . . . . 302

§22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой . 304

22.1.Дополнение к набору комплексных прямых . . . . . . 305

22.2. Теорема ван Кампена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 22.3. Применения теоремы ван Кампена . . . . . . . . . . . 314

Некоторые обозначения

X ≈ Y – топологическое пространство X гомеоморфно Y ;

X Y – топологическое пространство X гомотопически эквивалентно Y ;

f ' g – отображение f гомотопно отображению g; |A| – количество элементов множества A;

int A – внутренность множества A; A – замыкание множества A;

∂A – граница множества A;

idA – тождественное отображение множества A; Kn – полный граф с n вершинами;

Kn,m – см. с. 20;

Dn – n-мерный шар; Sn – n-мерная сфера;

n – n-мерный симплекс; In – n-мерный куб;

P2 – проективная плоскость; T 2 – двумерный тор;

S2 # nP2 или nP2 – связная сумма n проективных плоскостей;

S2 # nT 2 или nT 2 – связная сумма n двумерных торов (сфера с n ручками);

K2 – бутылка Клейна;

kx − yk – расстояние между точками x, y Rn; kvk – длина вектора v Rn;

d(x, y) – расстояние между точками x, y; inf – точная нижняя грань;

X t Y – дизъюнктное объединение X и Y (все элементы X и Y считаются различными);

supp f = {x | f(x) 6= 0} – носитель функции f; X Y – джойн пространств X и Y ;

SPn (X) – симметрическая степень пространства X;

f : (X, Y) → (X1, Y1) – отображение пар, при котором Y X отобра-

жается в Y1 X1;

π1 (X, x0) – фундаментальная группа пространства X с отмеченной точкой x0 X;

8 Некоторые обозначения

πn (X, x0) – n-мерная гомотопическая группа пространства X с отмеченной точкой x0 X;

deg f – степень отображения f;

rank f(x) – ранг отображения f в точке x; G(n, k) – многообразие Грассмана;

GLk (R) – группа невырожденных матриц порядка k с вещественными координатами;

U(n) – группа унитарных матриц порядка n;

SU(n) – группа унитарных матриц порядка n с определителем 1; O(n) – группа ортогональных матриц порядка n;

SO(n) – группа ортогональных матриц порядка n с определителем 1; TxMn – касательное пространство в точке x Mn;

TMn – касательное расслоение;

Ωkfr (n + k) – множество классов оснащённо кобордантных многообразий размерности k в Rn+k.

Предисловие

Методы, используемые современной топологией, весьма разнообразны. В этой книге подробно рассматриваются в основном методы комбинаторной топологии, которые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их разбиений на элементарные множества (например, симплексы) или посредством покрытий какими-либо простыми множествами, и методы дифференциальной топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений. Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях мы обсуждаем оба подхода.

Исторически начало топологии связано с работами Римана; затем его исследования продолжили Бетти и Пуанкаре. При изучении многозначных аналитических функций комплексного переменного Риман понял, что эти функции следует рассматривать не на плоскости, а на тех двумерных поверхностях, на которых многозначные функции превращаются в однозначные. Двумерная поверхность возникает при этом как самостоятельный объект, определенный внутренним образом, т. е. безотносительно к её конкретному вложению в R3. При таком подходе двумерная поверхность получается в результате склейки налегающих друг на друга областей плоскости. В дальнейшем Риман ввёл понятие многомерного многообразия (Mannigfaltigkeit – в немецком языке этот термин Римана сохранился, а в других языках появились кальки этого термина). Многообразие размерности n получается в результате склейки налегающих друг на друга областей пространства Rn. Позднее было осознано, что если нас интересуют лишь непрерывные отображения многообразий, то для описания структуры многообразия достаточно знать лишь строение его открытых подмножеств. Это послужило одной из важнейших причин появления понятия топологического пространства как множества с выделенной системой открытых множеств, обладающих определенными свойствами.

Глава I посвящена простейшему с топологической точки зрения объекту – графам (1-мерным комплексам). Сначала обсуждаются пограничные с геометрией вопросы: планарность, формула Эйлера, теорема Штейница. Затем мы переходим к фундаментальной группе и накрытиям,

основные свойства которых очень хорошо прослеживаются на графах. Завершается глава подробным обсуждением полиномиальных инвариантов графов, интерес к которым в последнее время сильно вырос, поскольку обнаружились их связи с инвариантами узлов.

Глава II посвящена другому достаточно простому с точки зрения топологии объекту – евклидову пространству со стандартной топологией. Подмножества евклидова пространства могут иметь очень сложное топологическое строение, поэтому мы обсуждаем только несколько основных утверждений о топологии евклидова пространства и его подмножеств. Одна из основных задач топологии – классификация непрерывных отображений одного топологического пространства в другое (на эти пространства могут быть наложены определённые ограничения; классификация проводится с точностью до некоторой эквивалентности. Простейшие классификации такого рода связаны с кривыми на плоскости, т. е. с отображениями S1 в R2. Сначала мы доказываем теорему Жордана

итеорему Уитни–Грауштейна о классификации гладких замкнутых кривых с точностью до регулярной гомотопии. Затем несколькими разными способами доказываются теорема Брауэра о неподвижной точке и лемма Шпернера (помимо стандартного варианта леммы Шпернера приведён

иболее точный её вариант, учитывающий ориентации симплексов). Доказана также теорема Какутани, обобщающая теорему Брауэра. Глава завершается теоремой Титце о продолжении непрерывных отображений, которая выводится из леммы Урысона, и двумя теоремами Лебега: теоремой Лебега об открытых покрытиях, без которой не обходятся строгие доказательства многих теорем теории гомотопий и гомологий, и теоремой Лебега о замкнутых покрытиях, которая служит основой для определения понятия топологической размерности.

Глава III начинается с элементов общей топологии – того необходимого минимума, который постоянно используется в алгебраической топологии. Здесь обсуждаются три свойства (хаусдорфовость, нормальность, паракомпактность), наличие которых существенно облегчает работу с топологическими пространствами. Затем обсуждаются два важнейших для алгебраической топологии класса топологических пространств – симплициальные комплексы и CW -комплексы, приводится необходимая для работы с ними техника (клеточные и симплициальные аппроксимации) и доказывается, что они обладают тремя упомянутыми выше свойствами. Здесь также вводится понятие степени отображения для псевдомногообразий, и с помощью степени доказывается теорема Борсука– Улама, из которой выводятся многочисленные следствия. Завершается глава описанием конструкций, применимых к топологическим пространствам, в том числе джойна, взрезанного джойна и симметрической степе-