X. Графическая обработка результатов измерений.

Пусть известно, что зависимость между физическими величинами xиyимеет вид

или

,

и требуется определить численные значения параметров илиипо результатам измерений величинxиy.

В результате измерений получаем Nпар экспериментальных значенийxиy:. Для функцииможно было бы, используя результаты каждого измерения, рассчитатьNзначений параметраи затем найти оценку истинного значения, рассчитав среднюю арифметическую величину всех. Однако существенно проще, построить график зависимости, проведя прямую через все экспериментальные точки и тем самым сразу усреднив результаты всех измерений, и определить, найдя угловой коэффициент прямой. В случае зависимостипараметрыитакже могут быть легко определены после построения графика линейной функции.

Но, как это сделать? Как провести прямую линию, чтобы она прошла как можно ближе ко всем экспериментальным точкам. Можно это сделать на глазок, руководствуясь тем, что примерно одинаковое число экспериментальных точек должно оказаться по разные стороны проводимой линии. Однако существует аналитическое решение задачи построения графиков по экспериментальным точкам. Оно дается в методе наименьших квадратов.

XI. Метод наименьших квадратов.

Будем считать, что погрешность в определении численных значений параметров обусловлена только разбросом экспериментальных точек относительно теоретической прямой. Это значит, что абсолютные погрешности инастолько малы, что мы не будем принимать их во внимание.

1. Рассмотрим случай зависимости .

Экспериментально определенной величине соответствует точка с ординатой, лежащая на прямой и точка с ординатой, которая определена экспериментально. Следовательно, погрешность в определении величиныyв даннойi- й точкесоставляет:

Для исключения знаков удобно пользоваться квадратами этих погрешностей. Введем величину Ф, равную сумме квадратов:

.

Для того, чтобы провести прямую как можно ближе ко всем экспериментальным точкам, мы должны найти такое значение параметра , которое сведёт к минимуму сумму квадратов погрешностей, или, что тоже самое, найти минимум функции.

Таким образом, задача сводится к решению уравнения: .

Тогда, ,

откуда .

Можно показать, что в рассматриваемом случае абсолютная погрешность определяется по формуле:

.

2. Случай зависимости . Снова составим сумму квадратов погрешностей:

и найдем значения параметров и, при которых она минимальна. Для чего решим систему уравнений:

.

Совместное решение уравнений, входящих в систему дает:

.

Полученные формулы принимают более простой вид, если ввести средние величины и:.

Подстановка дает:

.

В заключение приведем без вывода формулы для определения абсолютных ошибок и:

.