§ 2. Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок).

Пусть искомая физическая величина Yявляется функцией измеряемой величиныX.

Y =f(X)

Так как величина X не может быть определена абсолютно точно, то и рассчитанное значениеY будет содержать погрешность. Значение искомой функции следует находить, как функцию среднего арифметического значения измеренной величины, то есть в формулу для ее определения подставить вычисленное среднее значение

Как определить погрешность функции, если известна погрешность аргумента?

Для этого пользуются известным соотношением между дифференциалом функции df(X)и бесконечно малым приращением аргументаdX:

Полагая XdX, аYdY , получаем выражение для погрешности функции:

17

где X =t_p,n-1 S_X  производная функцииприX=.

Иногда оказывается удобнее (проще) вычислить сначала относительную погрешность, а уже зная ее, определить доверительный интервал. Учитывая то, что: легко видеть, что относительную погрешность функции можно вычислить, воспользовавшись следующей формулой:

18

§ 3 Обработка косвенных измерений. Функция многих переменных. (Формулы переноса ошибок)

В общем случае искомая физическая величина может быть функцией не одной, а нескольких измеряемых величин, то есть: Y=f(X₁,X₂,…X_n)^Каждая из величинX₁,X₂,…X_n определяется с соответствующей погрешностью X₁,X₂,…X_n. В этом случае средняя квадратичная погрешность функции будет равна корню квадратному из суммы квадратов частных производных функции по всем независимым переменным, помноженным на среднеквадратичную погрешность соответствующей величины (вывод этой формулыможно посмотреть в приложении п.///):

19

В данной формуле каждая скобка под корнем представляет собой вклад погрешности соответствующей величины в погрешность функции. Если погрешности различных измеряемых величин определены с одной и той же доверительной вероятностью, то формулу можно переписать в следующем виде:

20

Приведенные формулы справедливы для любых функциональных зависимостей, однако, они довольно громоздки, производить по ним расчеты бывает достаточно сложно, они требуют больших затрат времени. В некоторых случаях бывает удобнее использовать выражения, преобразованные для частных случаев функциональной зависимости. Рассмотрим несколько таких частных случаев.

Погрешность алгебраической суммы

Пусть функция имеет вид:

Y = , тогда среднеквадратичная погрешность такой функции будет определяться:

21

а выборочная дисперсия:

22

То есть выборочная дисперсия алгебраической суммы равна сумме выборочных дисперсий отдельных независимых переменных. Обратите внимание, на то, что в выражение для выборочной дисперсии функциивсе слагаемые входятсознаком «+»,независимо от того с каким знаком соответствующая величина входила в алгебраическую сумму.

Погрешность произведения.

Пусть функция имеет вид:

или

В этих случаях, воспользовавшись формулой (18) и, учитывая то, что логарифм произведения равен сумме логарифмов, получаем выражение для относительной погрешности функции:

23

То есть относительная погрешность произведения (и частного) равна корню квадратному из суммы квадратов относительных погрешностей всех сомножителей. Также как и в случае суммы, обратите внимание, на то, что все слагаемые под корнемберутся со знаком «+», независимо от того в числитель или знаменатель выражения функции они входили.

Производить расчет по этой формуле обычно гораздо проще, чем по формуле (19), а доверительный интервал искомой величины легко найти: .

Погрешности некоторых элементарных функций.

1. , где С=const;

2. ;

3. ;