Метод наименьших квадратов (МНК).
Если график исследуемой зависимости проходит через начало координат, то есть b =0
n
X iYi
a i 1
n
X i2
i 1
|
|
n |
2 |
n |
2 |
n |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
Yi |
X i |
X iYi |
2 |
|
S0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
Sa |
|
|
|
2 |
|
i 1 |
|
i 1 |
|
n |
|
||||
S0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X i |
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(n 1) X i |
|
|
|
i 1 |
|
||
i 1
Метод наименьших квадратов (МНК).
Если расчеты выполняются не на компьютере, то рекомендуется использовать выражения, преобразованные к другому виду:
|
n |
X i |
|
|
Yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
b Y aX |
|||||||||||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X i |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
S02 |
|
aX i b Yi 2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
S02 |
|
|
|
|
|
n |
|||||||||
|
Sa |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Sa |
X i |
||||
|
|
|
X i X |
|
Sb2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Некоторые правила приближенных вычислений
Значащие цифры в приближенном числе
447,3 |
4 |
Значащими цифрами в приближенном числе |
|||
0,0035 |
2 |
||||
|
|
|
|||
называются все цифры кроме нулей в начале |
|||||
0,40005 |
5 |
числа. |
|||
0,0040 |
2 |
|
|
|
|
1,500 |
4 |
|
|
|
|
Некоторые правила приближенных вычислений
Верные знаки в приближенном числе
1. Число записано без указания погрешности
Погрешность не превышает половины единицы последнего десятичного разряда
число |
К-во верных знаков |
Погрешность не больше |
4,67 |
3 |
0,006553 |
4 |
73×103 |
2 |
500 |
3 |
2. Число записано с указанием погрешности
Цифры приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность не превосходит половины
единицы его низшего разряда
0,005 0,0000005=5×10-7
0,5 ×103 =500
0,5
|
Число верных знаков |
32,52 0,15 |
2 |
7,051 0,006 |
2 |
212,5 0,3 |
3 |
212,5 0,7 |
2 |
Некоторые правила приближенных вычислений
Правила записи окончательного результата
•В первую очередь округляют погрешность. До двух значащих цифр (если первая цифра меньше 5) или одной (если первая цифра больше 5).
•Полученный результат округляют до того же разряда, что и погрешность, то есть оставляют в нем два сомнительных знака.
Получено в результате расчетов |
Следует записать |
|
Х=0,0054837см, |
Х= 0,0002487см |
Х=(5,48 0,25) 10–3 см |
X=60540548 Н |
Х= 52487 Н |
Х=(6054 5) 104 Н |
Х=45,605 Ом |
Х= 0,375 Ом |
Х=(45,60 0,38) Ом |
Х= 1,399821 |
Х= 0,007524 |
Х=(1,400 0,008) |
РЕКОМЕНДУЕТСЯ ЧИСЛА ПРЕДСТАВЛЯТЬ В НОРМАЛЬНОМ ВИДЕ
(Например 0,0000567 = 5,67• 10 -5)
Некоторые правила приближенных вычислений
Правила округления
Отбрасываемая (n+1)-я цифра меньше 5 – оставшаяся n-я цифра не изменяется. Например:
5,764 5,76 или 423,1 423.
Отбрасываемая (n+1)-я цифра больше 5 – оставшаяся n-я цифра увеличивается на единицу. Например:
15,6 16 или |
189 190. |
Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я отлична от 0 – оставшаяся n-я цифра увеличивается на единицу. Например:
23,52 24 |
или |
0,3453 0,35. |
Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я и более мелкие разряды равны 0. В этом случае принято округлять до четой цифры. Если оставшаяся n-я цифра четная – ее сохраняют, если нечетная – ее увеличивают на единицу. Примеры:
13,50 14; |
275 280; |
0,5450 0,54 |
Некоторые правила приближенных вычислений
Правила действий с приближенными числами
Сложение и вычитание
Неверно |
|
Верно |
|||
34,666 |
|
34,666 |
|
|
|
+ 12,01 |
|
+ 12,01 |
|
|
|
7,7 |
|
7,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54,376 |
|
54,4 |
|
|
|
4,67 |
|
4,67 |
|
|
|
+ 3,33 |
|
|
+ 3,33 |
|
|
8 |
|
8,00 |
|
|
|
6,266 6,266
- |
- |
2,066 2,066
Абсолютная погрешность суммы не меньше чем в слагаемом, имеющем наибольшую абсолютную погрешность.
4,2 |
4,200 |
Некоторые правила приближенных вычислений
Умножение и деление
Неверно |
Верно |
0,125×8,0=1 |
0,125×8,0=1,00 |
4 × 0,1111=0,4444 |
4 × 0,1111=0,4 |
81,18 : 9,0 =9,02 |
81,18 : 9,0 =9,0 |
Относительная погрешность произведения (и частного) равна корню квадратному из суммы квадратов относительных погрешностей всех сомножителей