VII. Определение погрешности косвенных измерений

При косвенных измерениях результат вычисляется по формуле, устанавливающей связь измеряемой величины с другими величинами, которые определяются прямыми измерениями.

Пусть величина yсвязана с величинамиизвестной функциональной зависимостью:

, (10)

которую будем называть расчетной формулой.

Пусть в результате прямых измерений определены все величины . Это означает, что найдены оценки их истинных значенийи абсолютные погрешности:

.

Оценку истинного значения величины «y» можно найти, воспользовавшись расчётной формулой (10), подставляя в последнюю оценки истинных значений величин:

. (11)

В основе вычисления погрешностей косвенных измерений лежит предположение, что абсолютные ошибки измерений всегда достаточно малы по сравнению с измеряемыми величинами. Это позволяет в математической теории ошибок абсолютные ошибки рассматривать как бесконечно малые приращения измеряемых величин.

Однако, чтобы подчеркнуть, что погрешности лишь условно рассматриваются как бесконечно малые, будем для их обозначения использовать не знак дифференциала «d», а по-прежнему, обозначать их.

Перед выводом общего правила, по которому определяется погрешность, рассмотрим простейший случай, когда косвенно измеряемая величина «y» является функцией лишь одной непосредственно измеряемой величиныx:.

По определению производной функции:

, или

. (12)

Если обе части уравнения (12) разделить на y, то мы получим выражение, позволяющее рассчитать относительную погрешностьy:

(13)

Рассмотрим теперь общий случай, когда косвенно измеряемая величина yзависит отnнепосредственно измеряемых величин:. Частную погрешность, обусловленную измерениемi- ой переменной можно найти по формуле:

. (14)

Здесь - частная производная функции «y» по аргументу. Она вычисляется так же, как и обычная производная, если считать остальные аргументы зафиксированными и рассматривать их как константы. Полную погрешность косвенного измерения можно найти, складывая частные погрешности. Однако, так как частные погрешности могут оказаться разного знака, а задачей является нахождение предельной погрешности, то складывать следует модули частных погрешностей -:

. (15)

Получим выражение для вычисления относительной погрешности:

.

Таким образом, окончательная расчетная формула для вычисления относительной погрешности при косвенных измерениях выглядит так:

, (16)

Используя (15) можно получить формулу для расчета предельной абсолютной погрешности . Мы видим, что для этого следует найти частные производные функциипо всем её аргументам, умножить их на соответствующие абсолютные ошибки аргументов и модули полученных выражений сложить.

Однако, при выполнении лабораторных работ, как правило, будут встречаться функции, удобные для логарифмирования. В этом случае проще сперва определить относительную погрешность измеряемой величины yпо формуле, выведенной с использованием соотношения (16), а уже затем, рассчитав оценку истинного значенияyпо формуле, получить абсолютную погрешностьy:

y=yy. (17)