•Математическая обработка результатов измерений
Измерить физическую величину означает определить, с помощью измерительного прибора, во сколько раз она отличается от единицы измерения данной характеристики
Измерения можно разделить на два типа прямые и косвенные
Измерения никогда не могут быть абсолютно точными
Виды погрешностей:
•Случайные
•Систематические
•Промахи.
Математическая обработка результатов измерений
Задача обработки всякого измерения состоит из:
•нахождения наиболее вероятного значения измеряемой величины;
•оценки погрешности измерения;
•указания надежности результата, т.е. вероятности с которой истинное значение попадает в данный интервал.
Всоответствии с этим результат записывают вместе с погрешностью и вероятностью в виде:
Х = Хизм Х; Р.
Или как неравенство:
Х изм Х Х ист Х изм Х , Р
здесь Х погрешность измерения, Р вероятность.
Математическая обработка результатов измерений
Пусть i = 1,2,. . . , N номера опытов, N число опытов,
xi - реализации, полученные при повторении опытов.
х0 – истинное значение случайной величины, нам неизвестное.
|
Δxi = x0 ― xi |
абсолютная ошибка i-го измерения, |
|||
|
|
|
тогда xi = x0 - |
xi. |
|
Просуммировав эти равенстваN |
по всемN i, получим: |
||||
|
xi Nx0 xi |
|
|||
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
x xi xi x xi |
||||
Или |
0 |
N |
|
N |
N |
N |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Где x xi |
среднее арифметическое всех реализаций.. |
|||
i 1
Можно показать, что второе слагаемое в этом выражении стремиться к 0, если N стремиться к бесконечности
Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Ni/N
Если увеличивать число измерений и одновременно сужать
ширину интервалов x, то в пределе при x → 0 и N → ∞ ломаная линия, огранивающая гистограмму сверху, будет стремиться к плавной колоколообразной кривой. Такая кривая характеризует распределение результатов
измерений при бесконечно большом числе наблюдений
f(x)
х
По оси абсцисс отложим значение
величины x, а относительную частоту реализаций, попадающих в каждый i- й
интервал Ni/N представим высотой |
|
|
|
|
полоски, построенной на интервале xi как |
|
|||
на основании. |
|
|
|
|
Полученный график носит название |
|
|
|
|
гистограммы и характеризует |
|
|
|
|
распределение данной серии наблюдений. |
|
x0 |
||
|
f (x) dP(x) |
lim lim |
Ni |
|
|
|
|||
|
dx |
x o N N x |
||
•Нормальное распределение (распределение Гаусса)
|
|
|
f x dx dP(x) 1 |
Условие нормировки |
|
|
|
|
x2
P(x1 x x2 ) f x dx Вероятность попадания в интервал от х1 до х2 x1
f (x) |
1 |
|
e |
( x x )2 |
|
|
2 2 |
||||
|
|
|
|||
2 |
|||||
закон нормального распределения или функция распределения Гаусса.
2 - генеральная дисперсия распределения.
•Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Кривые нормального распределения Гаусса для трех
значений параметра σ
2 - генеральная дисперсия распределения характеризует ширину кривой или
разброс измерений.
•Нормальное распределение (распределение Гаусса)
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xf (x)dx |
|
теоретическое среднее значение реализаций измеряемой |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
величины, или математическое ожидание |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
x0 ) |
f (x)dx |
|
генеральная дисперсия |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
|
( x x0 )2 |
|
||||
P(x1 x x2 ) f x dx |
|
|
|
|
e |
|
|
|
интеграл |
||||||||||
|
|
|
|
2 2 dx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
вероятности |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Если ввести новую переменная , определяемую соотношением: |
||||||||||||||||
|
|
|
=(х - х0)/σ, тогда d =dх/σ и интеграл вероятности принимает вид: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
P( x ) |
|
|
e 2 d |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
тогда доверительные границы будут определяться как |
х = σ |
|||||||||||||||
•Нормальное распределение (распределение Гаусса)
f(x) |
f(x) |
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-σ |
+σ |
|
|
|
|
-3σ |
+3σ |
|||
-2σ |
+2σ |
|||||||||
x0 |
- σ< x < x0+σ |
Р равна |
0,683 (68,3%) |
|
x0 |
- 2σ< x < x0+2σ |
- |
0,950 |
(95%) |
x0 |
- 3σ< x < x0+3σ |
- |
0,997 |
(99,7%) |
|
|
|
|
|
•Распределение Стъюдента
|
|
n |
|
|
|
|
Sn2 |
(xi |
x)2 |
|
|||
i 1 |
|
|
выборочная дисперсия |
|||
n 1 |
||||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
Sn |
(xi x)2 |
выборочное среднеквадратичное |
||||
|
n 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
отклонение |
||
limSn2 2
n
•Распределение Стьюдента
Дисперсия ( Sx2) и
среднеквадратичное отклонение (Sx ) среднего арифметического
меньше чем дисперсия и среднеквадратичное отклонение отдельного измерения.
Sx2 Sn2 / n |
Sx Sn / |
n |
tp,n - коэффициент Стьюдента
x tp,n 1Sx |
tp,n 1 |
|
|
|
Sn |
|
доверительный интервал при ограниченном числе измерений |
|
n |
||
|
|
|
x x xP x tp,n 1Sx Окончательный результат при ограниченном числе измерений