Matobrabotka / Matobr20_

§ 3. Правила округления

При действиях с приближенными числами часто приходится отбрасывать лишние цифры (заведомо неверные) — округлять число. При этом соблюдают следующие правила.

9Отбрасываемая (n+1)-я цифра меньше 5 — оставшаяся n-я цифра не изменяется. Например: 5,764 ≈ 5,76 или 423,1 ≈ 423.

9Отбрасываемая (n+1)-я цифра больше 5 — оставшаяся n-я

цифра увеличивается на единицу. Например:15,6 ≈ 16 или

189 ≈ 190.

9Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я отлична от 0

—оставшаяся n-я цифра увеличивается на единицу. Напри-

мер: 23,52 ≈ 24 или 0,3453 ≈ 0,35.

9 Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я и более мелкие разряды равны 0. В этом случае принято округлять до четной цифры. Если оставшаяся n-я цифра четная — ее сохраняют, если нечетная — ее увеличивают на единицу. При-

меры: 13,50 ≈ 14; 275 ≈ 280; 0,5450 ≈ 0,54

§4. Правила записи окончательного результата

Очень важно уметь правильно записать окончательный результат, не загромождая его лишними, заведомо неверными цифрами, но и не потерять необходимые знаки.

При записи окончательного результата в первую очередь округляют погрешность. Рекомендуемый способ оценки погрешности предполагает ее округление до двух значащих цифр (если первая цифра меньше 5) или одной (если первая цифра больше 5). Погрешность обычно округляют в большую сторону. После этого сам полученный результат округляют до того же разряда, что и погрешность, то есть оставляют в нем два сомнительных знака. Полученное число и его погрешность приводят к одинаковому разрядному

Имеется в виду оценка границ доверительного интервала с указанием доверительной вероятности. При других способах оценки чаще оставляют в погрешности только одну цифру.

41

множителю и выносят этот множитель за скобки. Обязательно указать размерность.

Например:

§ 5. Предельная относительная погрешность

Последний верный разряд в приближенном числе связан с абсолютной погрешностью. Относительная погрешность связана с числом верных знаков в нем.

На практике для быстрой оценки погрешности бывает полезно оценить предельную относительную погрешность пр . Она опреде-

ляется следующим образом. В приближенном числе все цифры, кроме первой значащей заменяются нулями, а абсолютная погрешность полагается равной половине единицы низшего верного разряда. Например, в числе 45 738 три цифры верные, тогда пр =(50 /

40000) × 100 % = 0,12 %. Очевидно, что пр .

В процессе промежуточных вычислений часто встает вопрос, какие разряды в числе следует оставлять, а какие, заведомо неверные, можно сразу отбросить, чтобы упростить расчеты. Оценить пр

очень легко, а ее знание позволяет предсказать сколько верных знаков должно иметь приближенное число.

Поскольку любое округление вносит систематическую ошибку, то при вычислении окончательного результата приходится производить действия с числом значащих цифр, превышающим на единицу число значащих цифр, полученных при измерениях, чтобы в последующем округлить результат.

§ 6. Действия с приближенными числами

При сложении и вычитании приближенных чисел абсолют-

ная погрешность суммы не может быть меньше чем абсолютная погрешность наименее точного слагаемого (см. формулы 22 и 23),

42

поэтому сумму (разность) необходимо считать с точностью до того же разряда, что и наименее точное слагаемое.

Примеры:

Однако следует заметить, что в процессе вычислений один лишний разряд необходимо оставлять, чтобы в последующем округлить результат.

Надо иметь в виду, что при вычитании близких друг к другу приближенных чисел с большим числом верных цифр, в результате получается число с меньшим числом верных цифр, т.е. с большей относительной погрешностью. Например: 345,67 – 345, 65 = 0,02. Предельная относительная погрешность уменьшаемого и вычитаемого составляет 0,017 %, а для разности она равна 25 %. Следует составлять схемы расчетов так, чтобы избегать подобных ситуаций.

При умножении и делении относительная погрешность ре-

зультата определяется относительными погрешностями исходных чисел (а значит числом верных знаков в них), и, следовательно, не может быть меньше, чем относительная погрешность наименее точного сомножителя. (см. формулу 24). А число значащих цифр в произведении не может быть больше чем в наименее точном сомножителе.

43

Примеры:

При умножении или делении на точное число, относительная погрешность результата равна относительной погрешности приближенного числа, и в результате сохраняют столько же знаков, сколько их было в приближенном числе.

44

9.Правила выполнения отчета по лабо- раторной работе

Отчет должен содержать:

1.Название и номер работы

2.ФИО, факультет и номер группы студента, выполнившего работу.

3.Формулы, необходимые для вычисления результата, и обозначения.

4.Формулы для расчета погрешности.

5.Схему установки и основные характеристики используемых измерительных приборов.

6.Значения справочных данных и констант, используемых при расчетах.

7.Таблицы наблюдений, в которые должны быть внесены как результаты измерений, непосредственно полученные в процессе работы, так и переведенные в необходимую для расчетов форму.

8.Обработку результатов измерений.

a)Вычисление результата. (Необходимо показать подстановку).

b)Вычисление погрешности.

ПРИ ПОДСТАНОВКЕ В ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ ВСЕ ВЕЛИЧИНЫ ДОЛЖНЫ БЫТЬ В ОДНОЙ СИСТЕМЕ ЕДИНИЦ, ДЛЯ РАСЧЕТОВ РЕКОМЕНДУЕТСЯ ЧИСЛА ПРЕДСТАВЛЯТЬ В СТАНДАРТНОМ ВИДЕ (Например, 0,0000567 = 5,67 · 10–5)

9.Окончательный результат в соответствии с правилами записи окончательного результата.

10.Требуемые графики

11.Выводы.

45

10.Рекомендации по построению графиков

Графики строят на миллиметровой бумаге. По оси абсцисс следует откладывать аргумент, т.е. задаваемую величину, а по оси ординат — функцию, т.е. величину определяемую. На осях указыва-

ют обозначения и единицы измерения откладываемой величины.

Начинают построение графика с ВЫБОРА МАСШТАБА, при этом следует руководствоваться следующими несложными правилами:

1.Масштаб должен соответствовать (по возможности) точности изме-

рений. Например, если вы измеряли температуру с точностью до 0,1 градуса, то нельзя одному миллиметру на оси температуры придавать значение 1 градус, и нерационально, если 0,1 градуса будет соответствовать 1 см.

2.Масштаб должен быть простым. Он должен соответствовать единице

измеряемой величины или величине кратной данной единице с множителями 10К, 2 или 5. Например, 1 см на графике может соответство-

вать 0,2 сек, 50 В, 0,001 м, 10 мА и т.д.

3.Масштаб должен быть таким, чтобы экспериментальная кривая за-

нимала всю плоскость чертежа, и наклон ее основной части был около 45º. Не надо стремиться поместить на графике начало координат. На графике должен помещаться лишь тот интервал значений изучаемых величин, который исследовался в эксперименте.

4.Около осей отмечают выбранный масштаб (а не результаты измерений).

5.На график наносятся все экспериментальные точки, желательно с указанием погрешности (учитывая, что каждый результат измерения не точка, а интервал). Кривая должна проводиться плавно, указывая тенденцию зависимости. Кривая не должна скрывать опытных точек, так как она представляет лишь толкование эксперимента, а точки — сам результат эксперимента. График должен иметь заголовок

46

Приложения

§ 1. Таблица коэффициентов Стьюдента

§ 2. Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента (впервые получено английским математиком В. Госсетом в 1908 г, который печатал свои работы под псевдонимом Стьюдент) выражается формулой

где n — число измерений, t — коэффициент Стьюдента, Г( n ) – гамма-функция, представляющая обобщенное понятие факториала (для целых чисел Г( n +1)= n !

47

распределения Гаусса (см. рис.2).

При n→∞ (практически уже при n 20 ) распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение Гаусса с единичной дисперсией ( =1).

§ 3. Вычисление среднего арифметического при измерениях высокой точности

Вычисление среднего арифметического

Данная формула оказывается более удобной, чем первая тогда, когда численное значение измеряемых величин имеют несколько значащих цифр. В этом случае приходится находить среднее арифметическое небольших разностей, а не самих больших чисел.

§4. Расчет среднеквадратичного отклонения (другой вид формулы)

По определению среднее квадратичное отклонение равно (см. формулы 12, 13)

48

Числитель под корнем можно преобразовать:

Следовательно, среднеквадратичную погрешность можно записать в виде:

При использовании этой формулы алгоритм вычисления погрешности при прямых измерениях упрощается.

Однако следует иметь в виду, что в эту формулу входит малая разность, поэтому расчет необходимо производить с большим числом значащих цифр. Если вы проводите вычисления с помощью компьютера, то это условие выполняется. В том случае, если расчеты выполняются «вручную», или с помощью не очень совершенного калькулятора, то надежнее использовать алгоритм, предложенный в главе 5 §1.

49

§5. Алгоритм вычисления среднеквадратичного отклонения при прямых измерениях высокой точности

Здесь А — число близкое к x , см § 3.

§6. Среднеквадратичная погрешность сред- него арифметического

Пусть x1 , x2 ,..., xn — результаты отдельных измерений, каждое

из которых характеризуется одной и той же дисперсией S 2 . Найдем выражение для среднего арифметического: x

n

Т.к. дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых, то дисперсия величины x

Дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии отдельного измерения в серии n измерений. А среднеквадра-

тичная погрешность среднеквадратичного в n раз меньше среднеквадратичного отдельного измерения. Из этого следует важный

50