Matobrabotka / Matobr20_

Однако следует иметь в виду, что формулы 25–28 включают разности больших величин, мало отличающихся друг от друга, что легко может привести к ошибкам при вычислениях, если их проводить с недостаточным числом значащих цифр. Поэтому все промежуточные вычисления следует выполнять с большим числом значащих цифр, без округления. Если вы проводите вычисления с помощью компьютера, то это условие выполняется. В том случае, если расчеты выполняются «вручную», или с помощью не очень совершенного калькулятора, а результаты измерений имеют более трех верных знаков, то велика вероятность получить неправильный результат вычислений. В этом случае рекомендуется для вычисления коэффициентов a и b, а также доверительных границ их погрешности вместо вышеуказанных формул использовать выражения, преобразованные к другому виду:

31

В этом случае в качестве оценки значения искомой величины принимается средне взвешенное ее значение, вычисляемое по формуле:

i

Здесь Рi — вес соответствующей реализации, то есть некоторый коэффициент, зависящий от точности i-того измерения. Подбор этих коэффициентов задача в общем случае не простая. Обычно их выбирают обратно пропорционально квадратам относительных ошибок, соответствующих реализаций. Дисперсия средневзвешенного значения рассчитывается по формуле:

i

Пример

Условие образования дифракционного максимума: d sinϕ =

± kλ, где k = 0,1,2,... — порядок спектра, d — постоянная решетки, а ϕ — угол дифракции. Следовательно, длину волны λ можно определить, измерив углы ϕ для разных k:

dsin k

Поскольку постоянная решетки известна с большой степенью точности (ее погрешностью можно пренебречь), а порядок спектра

— целое число, тогда погрешность длины волны будет определяться только погрешностью определения величины угла. Очевидно, что чем больше угол (больше порядок спектра), тем меньше будет относительная погрешность измерения угла (т.к. абсолютная погрешность прибора одинакова). Воспользовавшись формулой (17), можно получить:

33

6.Учет погрешности приборов

Если при измерении какой-либо величины при помощи физического прибора получают одно и то же значение при многократных измерениях, это не значит, что случайные погрешности определения этой величины равны нулю. Из этого факта будет следовать только то, что случайные погрешности при этих измерениях меньше систематических погрешностей, даваемых измерительными приборами, которые могут быть оценены по классу точности прибора. Приборная погрешность может быть указана или на самом приборе, или в его паспорте. В случаях, когда отсутствует паспорт прибора и не указан класс точности, приборную погрешность принято считать равной половине наименьшего деления шкалы прибора (половине цены деления шкалы)

При косвенных измерениях приборная (неисключенная систематическая) погрешность функции y f (x1 , x2 ,..., xn ) будет опреде-

ляться (см. ф 20) через приборные погрешности аргументов по формуле:

ная погрешность величины xi Пример.

Предположим, что измеряется сопротивление нагрузки путем измерения падения напряжения на ней и тока в цепи. Произведено пять измерений падения напряжения и пять измерений тока, которые дали совершенно одинаковые результаты. Измеренный ток I=5 A, напряжение U 100 В

Так как случайные погрешности не наблюдались, будем оценивать не исключенную систематическую погрешность, обусловленную предельной погрешностью измерительных приборов, используемых в эксперименте (классом точности).

35

собой частное двух аргументов. Воспользовавшись формулой 24, получим выражение для вычисления относительной погрешности сопротивления:

Тогда неисключенная систематическая погрешность сопротивления нагрузки

Окончательный результат измерения сопротивления будет записан в виде

R = (20,0 ± 0,6) Oм

36

7.Вычисление суммарной — случайной и систематической погрешности

Если отношение неисключенной систематической погрешности измерения к случайной погрешности удовлетворяет неравенству:

то границы погрешности результата измерений (общие доверительные границы) вычисляют с учетом и случайных и не исключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины.

При работе в лаборатории рекомендуется использовать следующий вариант расчета:

2 2 x

– оценка суммарного среднеквадратичного отклонения результа-

та измерения; Θ — приборная (не исключенная систематическая) погрешность

результата измерения;

x tp,n 1 Sx — доверительные границы случайной погрешности.

Пример

Рассмотрим предыдущий пример измерения сопротивления нагрузки путем измерения падения напряжения на ней и тока в цепи.

Пусть были произведены пять измерений напряжения и тока в цепи. И каждый раз были получены различные значения напряжения и тока. Необходимо сопоставить не исключенную систематическую погрешность со случайной погрешностью x .

Полученные значения записаны в таблице 7.

По алгоритму прямых измерений вычисляются доверительные границы напряжения и тока для доверительной вероятности P=0,95, а также их средние значения, считая, что погрешности этих величин обусловлены случайными ошибками. Получаем следующие значения:

37

Таблица 7

Измеряемая

Результаты измерений Средние значения

величина

Суммарная средняя квадратичная погрешность сопротивления нагрузки будет определяться по формуле переноса ошибок:

R 0,51 Ом при P=0,95.

Приборная погрешность для такого же примера была рассчитана в предыдущем параграфе:

R0,57 Ом

/x =0,57/0,51 = 1,1

—следовательно, необходимо учитывать и ту и другую погрешность.

0,572 0,512 0,76

И окончательный результат будет записан в виде

R = (20,0 ± 0,8 Р=0,95) Oм.

38

8.Некоторые правила приближенных вычислений

Измеряя различные физические величины, мы получаем не точные, а приближенные их значения. Поэтому математическая обработка результатов эксперимента всегда связана с действиями над приближенными числами. Полученный результат, конечно, тоже будет приближенным числом. Задача состоит в том, чтобы, оперируя приближенными числами, получить результат с наибольшей возможной точностью. Точность математической обработки экспериментального материала должна соответствовать точности самих измерений, невозможно получить результат точнее, чем исходные данные. Вычисление с излишним числом значащих цифр, вопервых, создает лишние трудности и занимает больше времени, вовторых, создает ложное представление о большой точности измерений. Таким образом, вычисления необходимо производить так, чтобы, с одной стороны не потерять достигнутую в эксперименте точность, с другой стороны не тратить лишние силы на ненужную работу.

Напомним некоторые понятия и правила, необходимые при работе с приближенными числами.

§ 1. Значащие цифры в приближенном числе

Значащими цифрами в приближенном числе называются все цифры кроме нулей в начале числа.

Например:

Обратите внимание, на два последние примера. Здесь проявляется одна из особенностей приближенных чисел. В отличие от точ-

39

ных чисел, где нули в конце дробной части можно было бы просто отбросить, эти нули отбрасывать нельзя.

Они означают, что эти разряды известны и равны именно 0. Если вместо числа 1,500 записано 1,5, то это означает, что в этом числе разряд сотых и последующие разряды неизвестны. Если измерена длина предмета с точностью до 1 миллиметра, и она оказалась равной ровно одному метру, то результат следует записать: L = 1,000 м, запись L = 1 м будет неверной.

§ 2. Верные знаки в приближенном числе

Если приближенное число записано без указания погрешности, то подразумевается, что значения всех разрядов известны точно — все знаки верные, а погрешность в этом случае не превышает по-

ловины единицы последнего десятичного разряда.

Например:

Однако более грамотно записывать приближенные числа с указанием погрешности. Цифры приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы низшего из этих цифр разряда. Цифры в последующих разрядах называют сомнительными.

Например:

40