Matobrabotka / Matobr20_

Печатается по постановлению Ученого совета физического факультета СПбГУ.

Рецензент:

канд. физ.-мат. наук, ст.н.сотр. СПбГУ

В. Н. Богданов

Ответственный редактор: В. И. Коротков.

Зароченцева Е. П., Бобкова И. С., Малешина Н. А.

З35 Математическая обработка результатов эксперимента. Методическое пособие для лабораторного физического практикума. /Е. П. Зароченцева, И. С. Бобкова, Н. А. Малешина. Под ред. В. И. Короткова.

СПб.: ВВМ, 2009. — 52 с.

Данное пособие содержит рекомендации по обработке результатов измерений полученных при выполнении лабораторных работ в «Лаборатории физического эксперимента» и представляет собой существенно переработанное и дополненное переиздание учебного пособия «Математическая обработка результатов физического эксперимента» / Составители: В. И. Елфимов, С. И. Стальнова и Ю. Г. Шишкин (Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. — 33 с.).

Предназначено для студентов факультетов: биолого-почвенного, географии и геоэкологии, геологического, медицинского, химического и др.

© Е. П. Зароченцева, И. С. Бобкова, Н. А. Малешина, 2009

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2009.

Сданов набор 23.06.2009. Подписано в печать 23.08.2009. Формат бумаги 60 × 84 1/16. Бумага офсетная.

Печать цифровая. Усл. печ. л. 3,02. Тираж 1000 экз. Заказ 4493. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ.

198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр. 26.

2

§1. Понятие погрешности

§2. Абсолютная и относительная погрешность

§3. Промахи

§4. Систематические погрешности

§5. Случайные погрешности

§6. Неисключенные систематические погрешности

3.Элементы теории вероятностей

4.Распределение Стьюдента

5.Практические способы расчета случайных погрешностей

§1. Обработка прямых измерений

§2. Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной

§3. Обработка косвенных измерений. Функция многих переменных

§4. Два способа оценки погрешностей

§5. Метод наименьших квадратов (МНК)

§6. Некоторые сведения о неравноточных измерениях

6.Учет погрешности приборов

7.Вычисления суммарной — случайной и систематической погрешности

8.Некоторые правила приближенных вычислений

§1 Значащие цифры

§2 Верные и сомнительные знаки

§3 Правила округления

§4 Правила записи окончательного результата

§5 Предельная относительная погрешность

§6 Действий с приближенными числами

9.Правила выполнения отчета по лабораторной работе

10.Рекомендации по построению графиков

3

11.Приложения

§1 Таблица коэффициентов Стьюдента

§2 Распределение Стьюдента

§3 Вычисление среднего арифметического при измерениях высокой точности

§4 Формула среднеквадратичной погрешности (другой вид)

§5 Алгоритм вычисления среднеквадратичного отклонения при прямых измерениях высокой точности

§6 Среднеквадратичная погрешность среднего арифметического — вывод

§7 Определение коэффициентов линейной зависимости по МНК — вывод

4

1.Введение

Влюбой экспериментальной науке, мы сталкиваемся с понятием «измерение». А что это значит? Для того чтобы некоторую физическую величину измерить, необходимо, во-первых, наличие меры или эталона данной величины. Во-вторых, должен существовать способ сравнения с эталоном. Например, в качестве эталона длины (единицы измерения длины) принято использовать 1 метр, в качестве эталона массы 1 килограмм. Для измерения длины какого либо объекта мы можем приложить к нему линейку, проградуирован-

ную в единицах длины — метрах или их долях — сантиметрах, и определить сколько этих единиц укладывается на измеряемой длине. Тем самым мы произведем простейшее измерение.

Вобщем случае можно сформулировать: измерить физическую

величину это означает определить, с помощью измерительного прибора, во сколько раз она отличается от единицы измерения данной характеристики.

Измерения можно разделить на два типа — прямые и косвенные. Если измерения проводятся прибором, непосредственно предназначенным для определения данной характеристики, — длину измеряют линейкой, температуру — термометром, ток — амперметром, то такие измерения называют прямыми. Если для определения искомой величины необходимо производить расчеты, то такое измерение будет косвенным. Например, искомая величина — объем шара. Измерив диаметр шара с помощью штангенциркуля, полученное значение подставляют в формулу для расчета объема. Измерение объема будет считаться косвенным. На практике часто для определения искомой величины необходимо бывает измерить несколько различных параметров. Например, чтобы определить удельное сопротивление металла, из которого изготовлена проволока, надо измерить длину этой проволоки, ее диаметр и сопротивление. Удельное сопротивление рассчитывается по формуле, в которую входят эти три величины, таким образом, измерение удельного сопротивления тоже будет косвенным.

Следует понимать, что измерения никогда не могут быть абсолютно точными. Причин неточности очень много. Достаточно

5

упомянуть, что прибор или устройство, посредством которого производится измерение, не бывает абсолютно точным. Несовершенство средств измерений может быть связано с их принципом действия, а также с конструктивными и технологическими ограничениями. Это несовершенство определяет одну из важнейших составляющих ошибки, которую называют инструментальной, аппаратурной или приборной. Экспериментатор, который проводит измерения, тоже вносит дополнительную ошибку из-за несовершенства своих органов чувств, например, человеческий глаз не может различить деления меньшие определенной величины и т. п. Кроме того, ошибка в измерениях может быть связана с изменением условий опыта и самого измеряемого объекта, с приближенным характером используемого метода и т. д.

6

2.Погрешности эксперимента, их виды. Возможности их оценки

§ 1. Понятие погрешности измерения

Любое измерение не является абсолютно точным, то есть измеренное значение некоторой физической величины ( xизм ) отличается

от ее истинного значения ( xист ). Ошибкой измерения называют

искомой величины нам неизвестно, то и точную величину ошибки определить невозможно.

Существование ошибок измерений приводит к тому, что при повторении наблюдений в одних и тех же условиях результаты оказываются разными, наблюдается разброс данных. Это указывает на то, что ошибки в отдельных опытах неодинаковы. Как количественно характеризовать ошибку?

На первый взгляд может показаться, что достаточно задать верхнюю границу величины ошибки, то есть такое число x , для которого всегда выполняется условие

Однако оказывается, что определить эту величину как абсолютно надежный предел, который ошибка не может превосходить, невозможно. Поэтому величину x , которую называют погрешностью измерения, задают так, чтобы неравенство (1) выполнялось с некоторой вероятностью Р. Если вероятность равна, например 0.95, то это означает, что при многократном повторении опыта ошибки в 95 случаях из 100 не превысят значения x .

Вероятностный подход применяется и при определении окончательного результата измерения. По данным многократных наблюдений находят наиболее вероятное значение измеряемой величины (обычно это среднее арифметическое ее значение), которое принимается за xизм .

7

Таким образом, задача обработки всякого измерения состоит из:

1.нахождения наиболее вероятного значения измеряемой величины;

2.оценки погрешности измерения;

3.указания надежности результата, т.е. вероятности с которой истинное значение попадает в данный интервал.

Всоответствии с этим результат записывают вместе с погрешностью и вероятностью в виде:

здесь x — погрешность измерения, Р — вероятность.

Эту запись надо понимать, как утверждение, что с вероятно-

стью Р истинное значение измеренной величины лежит в ин-

тервале от ( xизм x ) до ( xизм x ), который называется довери-

тельным интервалом. Вероятность Р, соответственно, называется

доверительной вероятностью.

Вероятность обычно задается экспериментатором, в зависимости от условий эксперимента и его значимости она может быть различной. В учебных лабораториях принято выбирать вероятность 0,95; в некоторых случаях 0,9.

§2. Абсолютная и относительная погрешности

Величину x иногда называют абсолютной погрешностью измерения. Знание абсолютной погрешности не всегда удобно для характеристики точности результатов. Например, пусть измерения длины производятся с погрешностью l = 1 мм. Если длина предмета несколько метров, такая погрешность незначительна, если же несколько миллиметров, то она весьма существенна. Поэтому вво-

дится понятие относительной погрешности измерений:

8

которая указывает, какую часть абсолютная погрешность составляет от самой величины. Обычно выражают в процентах (%).

Причины возникновения погрешностей весьма разнообразны и, в соответствии с этим, на практике известно около 30 различных наименований погрешностей. Классификация погрешностей возможна по различным признакам. Мы будем пользоваться традиционным разделением на три типа — систематические погрешности,

случайные и промахи.

§ 3. Промахи

Промахи — это грубые ошибки, вызванные, например неисправностью прибора, невнимательностью экспериментатора, резким изменением условий опыта и т.п. При обработке результатов измерений промахи следует отбрасывать. Как выделить промах из остальных измерений? Для этого существует специальное правило, оно называется «правило трех сигм», подробнее о нем будет сказано ниже. Опытный экспериментатор в большинстве случаев может выделить промах и, не пользуясь строгим правилом, «на глазок». Например, если при многократных измерениях одной величины в большинстве опытов получены близкие ее значения, а одно сильно отличается от остальных, это значение, по-видимому, является промахом.

§ 4. Систематические погрешности

Систематические погрешности — это погрешности, которые повторяются при одинаковых условиях измерений. Системати-

ческие погрешности могут быть связаны с измерительным прибором или с условиями, в которых проводится опыт. Рассмотрим несколько примеров. У прибора может быть неправильно установлено начало отсчета, например стрелка вольтметра при отсутствии напряжения указывает не 0, а 2 деления, тогда (при отсутствии других неисправностей) такой прибор всегда будет показывать значение напряжения на 2 деления больше, чем следует. Эту ошибку легко исключить, введя соответствующую поправку. Другой пример, — производя взвешивание на рычажных весах, обладающих большой чувствительностью, нельзя забывать, что на исследуемое тело, помимо силы тяжести, в воздухе действует выталкивающая сила. Зная

9

плотность воздуха, величину этой силы можно оценить, и внести исправления в полученный результат взвешивания. Такого типа систематические погрешности можно оценить и исключить, внеся в результат измерений поправку.

Однако не все систематические погрешности возможно учесть. Как уже было сказано, любой измерительный прибор не является абсолютно точным, его показания включают погрешность, обусловленную его конструктивными особенностями. Обычно в характеристиках прибора указывается его возможная предельная погрешность или класс точности (предельная относительная погрешность). Знание этой погрешности не позволяет, однако, внести поправку в полученный результат, так как не известен ее знак. Она позволяет только оценить интервал, в котором находится измеренный результат. Такую погрешность называют не исключенной систематической погрешностью .

§ 5. Случайные погрешности

Случайными погрешностями называют непредсказуемые ни по знаку, ни по размеру погрешности, которые определяются совокупностью причин трудно поддающихся анализу, либо недостаточно изученных. Присутствие случайных погрешностей легко обнаруживается при повторных измерениях в виде разброса получаемых результатов. Случайные погрешности устранить нельзя, но их можно оценить и определить границы интервала, в которых заключено значение измеряемой величины.

Как уже было сказано, эти границы определить абсолютно надежно нельзя. Допустим, что получено несколько значений измеряемой величины. Тогда можно предположить, что искомое значение лежит в интервале между максимальным и минимальным из полученных значений, то есть xmin x xmax — и есть тот интервал, в

котором лежит значение искомой величины. Но какова вероятность того, что, сделав еще хотя бы одно измерение, мы не выйдем за пределы определенного таким образом интервала? Какова веро-

Подробнее о способах оценки не исключенной систематической погрешности смотри ниже, главу 6 «Учет погрешности приборов»

10