Пример

Лингвистическая переменная age - возраст

X = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}

(для упрощения)

Young = 1.0 | 10 + 1.0 | 20 + … + 0.0 | 100

Adult = 0.0 | 10 + … + 0.6 | 30 + 1.0 | 40 + 1.0 | 50 + …

Old = 0.0 | 10 + … + 0.5 | 60 + … + 1.0 |

100

MyAge is 50; MyAge is Adult = 1.0

(C) Сафонов В.О. 2012

Нечеткие высказывания

В классическом исчислении высказываний

любое высказывание A – (безусловно) истинно или (безусловно) ложно, т.е. степень истинности

m(A) in {0, 1}

Нечеткое высказывание:

m(A) in [0, 1] ; степень истинности – любое число из интервала [0, 1] ; т.е. это множество пар (m(A), A)

В алгебре нечетких высказываний

выполняются все законы, кроме закона исключенного третьего и закона противоречия

(C) Сафонов В.О. 2012

Нечеткие высказывания - операции

Конъюнкция

a)m(A & B) = min [ m(A), m(B)]

b)m(A & B) = m(A) * m(B)

Дизъюнкция

a)m(A & B) = max [ m(A), m(B)]

b)m(A & B) = m(A) + m(B) - m(A) * m(B)Отрицание

m(not A) = 1 – m(A)

(C) Сафонов В.О. 2012

Нечеткие продукции

A -> S (CF) A – условие, S – действие,

CF (Certainty Factor) – коэффициент уверенности

CF in (0, 1] – коэф. уверенности в правильности

вывода, полученного с помощью продукцииПрименение нечеткой продукции:

m(S) = m(A) * CF

Правило комбинации – вычисление единого

m(S),

если S выведено разными правилами: m*(S) = m1(S) + m2(S) – m1(S) m2(S)

(C) Сафонов В.О. 2012

CF – свойства и особенности

CF = 1 – безусловная истинность

CF = -1 - безусловная ложность

CF = 0 - либо отсутствие информации, либо

равенство числа положительных и отрицательных свидетельств

Критика fuzzy logic со стороны D. Dubois,

H. Prade (Toulouse, France – Possibilistic Logic); П(A), N(A)

(C) Сафонов В.О. 2012

CF – использование в нечетких продукциях

A -> S (CF), CF in [-1, 1]

CF(S) = CF(A) * CF

Все CF могут быть из [0, 1]

Для конъюнкции и дизъюнкции в условии –

правила MIN и MAXПравило комбинации для CF:

CF* = CF1 + CF2 – CF1 * CF2, оба CF > 0

CF* = CF1 + CF2 + CF1 * CF2, оба CF <= 0 CF* = CF1 + CF2 если CF – разных знаков

(здесь используется свойство CF как разности BM

и NBM)

(C) Сафонов В.О. 2012

Байесовский подход к

нечеткости

Шансы: O = P / 1-P, где P – вероятностьАприорные шансы: O(E), апостериорные шансы:

O(H:E), где E – свидетельство (факт), H – гипотезаАпостериорные шансы вычисляются в результате

применения правила вида: E -> H

Какой коэффициент можно связать с правилом при

таком подходе и какую формулу применять?

PR(H:E) = O(E:H) / O(E:not H) – отношение

правдоподобия (plausibility ratio)

O(E:H) может быть вычислено по результатам

анализа статистики таких случаев (e.g., E - высокая

температура; H – грипп)O(H:E) = O(H) * PR(H:E) E-> HPROSPECTOR (R.Duda, 1980s):

if E is true: O(H:E) = O(H) * LS, where LS = PR(H:E)

if E is false: O(H:not E) = O(H) * LN, where LN =

PR(H:not E)

(C) Сафонов В.О. 2012

Теория возможностей – Possibility Theory

Основоположники – D. Dubois, H. Prade, Univ. Toulouse, FranceВместо одного численного показателя – CF, O, etc. нечеткость

характеризуется двумя – возможность П(P) и необходимость N(P)

Возможность характеризует полноту или неполноту знаний

об утверждении P

При условии полноты знаний о P (т.е. П(P) = 1),

необходимость N(P) характеризует степень уверенности в истинности P

N(P) = 1 – П(not P)

Критика fuzzy-подхода: полнота знаний и наличие

одинакового числа позитивных и негативных свидетельств характеризуются одним и тем же числом (в MYCIN CF(H) = 0)Possibilistic resolution – аналог метода резолюций для логики

возможностей

POSLOG – программный инструмент для логического вывода

с помощью теории возможностей

(C) Сафонов В.О. 2012

Определения и свойства

P – утверждение; П(P) - возможность; N(P)

– необходимостьП(P) = 1 – N(not P)

П(P) = 1 и П(not P) = 1 – неполнота знаний

(и утверждение, и его отрицание одинаково возможны)

(C) Сафонов В.О. 2012