Архитектуры и модели программ и знаний
Лекция 28
Нечеткие множества и нечеткая логика
(Fuzzy Sets and Fuzzy Logic)
Сафонов Владимир Олегович
Профессор кафедры информатики Заведующий лабораторией Java-технологии
(http://polyhimnie.math.spbu.ru/jtl)
Санкт-Петербургский государственный университет
Email: vosafonov@gmail.com
WWW: http://www.vladimirsafonov.org
Нечеткие знания (fuzzy reasoning)
Prof. L. Zadeh (США; уроженец Азербайджана) –
основоположник новой области математики и computer science, связанной с нечеткими данными и рассуждениямиВиды нечеткости в реальных сложных задачах:
-погрешность вычислений
-неполнота информации (из-за недоступности помещения
идр. – например, каюты аварийной подводной лодки)
-несколько путей получения результата (выводов
идр.)
-неточность знаний, невозможность предсказать что-либо со стопроцентной достоверностью
и т.п.
(C)Сафонов В.О. 2012
Нечеткие множества (fuzzy sets)
– L. Zadeh
В классической теории множеств – универсальное
множество X (предметная область); множество A
(класс объектов, событий, явлений и др.);
Элемент x принадлежит A либо не принадлежит AФункция принадлежности m[A](x) = 0 или 1
Обобщение Л. Заде: m[A](x) – любое число из [0, 1];
степень принадлежности элемента x множеству A
Границы множества A становятся как бы размытыми;
это – количественное выражение качественного
(интуитивного) представления о “не стопроцентной” достоверности факта принадлежности множеству ( == классификации объекта или явления)
(C) Сафонов В.О. 2012
Операции над нечеткими
множествами
Объединение:
a) m[A U B] (x) = max { m[A] (x), m[B] (x) }
б) m[A U B] (x) = m[A] (x) + m[B] (x) – m[A](x) * m[B]
(x)
аналогично формуле вероятности суммы событий
Пересечение:
a) m[A * B] (x) = min { m[A] (x), m[B] (x) } б) m[A * B] (x) = m[A](x) * m[B](x)
аналогично формуле вероятности произведения независимых
событий
Дополнение:
m[A’] (x) = 1 - m[A] (x)
Разность
a)m[A \ B] (x) = max { 0, m[A] (x) - m[B] (x) }
(C)Сафонов В.О. 2012
Свойства алгебры нечетких множеств
Все обычные законы алгебры множеств
(коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность) выполняются, кроме
закона исключенного третьего и закона
противоречия:
В общем случае неверно для нечетких множеств,
что A * A’ = empty и что A U A’ = X,
где A’ – дополнение A
(C) Сафонов В.О. 2012
Дополнительные определения (переход от нечетких множеств к обычным)
Носитель нечеткого множества A над
универсальным множеством X
S(A) = { x in X | m[A] (x) > 0 }
т.е. это (обычное) множество всех x, которые хоть в какой-нибудь степени
принадлежат A
a-срез нечеткого множества A
S[a] (A) = { x in X | m[A] (x) > a }
Обычно a называется порогом
уверенности (certainty threshold);
например, в системе MYCIN a = 0.2
(C) Сафонов В.О. 2012
Нечеткая переменная
Тройка <X, VName, V>, где:
X – универсальное множество VName – имя нечеткой переменной
(например, “Young”) V - нечеткое множество над X
То есть, нечеткая переменная – это переменная, которая может принимать значения из некоторого нечеткого множества
(C) Сафонов В.О. 2012
Нечеткое отношение
Множество R = { (x, y, m[X,Y] (x, y)) }, где x in X ; y in Y
(X, Y – два универсальных множества) m [X,Y] (x, y) - некоторое число из [0, 1];
степень принадлежности (x, y) нечеткому отношению R
Например: “лекарственное средство x – наиболее подходящее для лечения заболевания y”
(C) Сафонов В.О. 2012
Лингвистическая переменная
Структура вида <v, X, T, G, M>, где v - имя лингвистической переменной X – универсальное множество
T - базовое конечное множество термов (терминов) для лингвистической хараетеристики значения переменной; например: “низкий, средний, высокий”
G - процедура получения новых термов по T; в простейшем случае G(T) = T
M - процедура экспертного опроса, которая каждому значению V in T сопоставляет нечеткую переменную V
над универсальным(C) Сафонов В.Омножеством. 2012 X
Смысл и назначение концепции лингвистической переменной
Переход от числовой величины к ее словесной
(лингвистической) оценке с помощью некоторой
шкалы понятий
Удобный способ формализации распространенных
нечетких высказываний вида: “этот предмет очень важен”; “скорость достаточно высока”, и т.д.Что выдает система, основанная за знаниях, в
качестве значения формулы:
ThisSpeed is MoreorLessHigh ?
- число из [0, 1] – степень уверенности в этом факте, полученную по значению скорости
ThisSpeed и по нееткому множеству MoreorLessHigh
Проф. Л. Заде придавал основное значение в своей
теории именно концепции лингвистической
переменной
(C) Сафонов В.О. 2012