Формула полной вероятности.

Определение Группа событий H₁, H₂,..., H_n называется полной группой событий, если выполняются следующие условия:

1) Все события попарно несовместны: H_i ∩ H_j =Æ; i, j=1,2,...,n; i¹j

2) Их объединение образует пространство элементарных событий :

=H₁U H₂U ... U H_n.

Рис.1

Замечание. Обозначения H₁, H₂,...,H_n отсылают к статистике, где они обозначают гипотезы (от английского Hypothesis)

Пусть А - некоторое событие: А   (рис.1). Тогда имеет место формула полной вероятности:

P(A) = P(A/ H₁)P(H₁) + P(A/ H₂)P(H₂) + ...+ P(A/ H_n)P(H_n) =

Доказательство. Очевидно: A = (A∩H₁) U (A∩H₂) U...U (A∩H_n), причем все события A∩H_i (i = 1,2,...,n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

P(A) = P(A∩H₁) + P(A∩H₁) +...+P(A∩H_n )

Если учесть, что по теореме умножения P(A∩H_i) = P(A/H_i)P(H_i),

(i = 1,2,...,n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример. На книжном складе находятся учебники, напечатанные в трех типографиях, причем доля первой типографии - 30%, второй - 50%, третьей - 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 0,5%, 0,3% и 0,2%. Какова вероятность того, что случайно полученный на складе учебник оказалась бракованным?

Пусть событие H₁ состоит в том, что выбранный учебник напечатан в первой типографии, H₂ ч – на второй и H₃, соответственно на третьей. чевидно:

P(H₁) = 3/10, P(H₂) = 5/10, P(H₃) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранный учебник оказался бракованным; A/H_i означает событие, состоящее в том, что выбран бракованный учебник из книг, напечатанных в i-й типографии. Из условия задачи следует:

P (A/H₁) = 5/1000; P(A/H₂) = 3/1000; P(A/H₃) = 2/1000

По формуле полной вероятности получаем

Формула Байеса

Пусть H₁,H₂,...,H_n - полная группа событий и А - некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

Здесь P(H_k |A) - условная вероятность события (гипотезы) H_k или вероятность того, что H_k реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы можно представить в виде

P(H_k∩A) = P(A∩H_k) = P(A |H_k) P(H_k)

Для представления знаменателя формулы можно использовать формулу полной вероятности

P(A)

Теперь можно получить формулу, называемую формулой Байеса:

Замечание. По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы H_k при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез.

Замечание. Вероятности P(H_k ) (k=I,2, ... , n) событий H₁,H₂,...,H_n

до опыта называются априорными вероятностями (от латинского a priori, что означает "сперва", Т.е. в данном случае до того, как был произведен опыт). ' Вероятности P(H_k ) (k = 1,2, ... , n) тех же событий называются апостериорными (от латинского слова а posteriori, что означает "после", Т.е. в данном случае после опыта).

Пример. Рассмотрим приведенную выше задачу об учебниках, только изменим вопрос задачи. Пусть библиотекарь получил на складе учебник, и он оказался бракованным. Найти вероятность того, что этот учебник был напечатан во второй типографии.

Выпишем формулу Байеса для этого случая

Из этой формулы получаем: P(H₂ / A) = 15/34

.

54