Формулы сложения вероятностей.

Как мы уже показали, если A₁ и A₂ - несовместные события, то

P(A₁UA₂) = P(A₁) + P(A₂)

Если A₁ и A₂ — совместные события, то A₁UA₂ =(A₁\ A₂)UA₂, причем очевидно, что A₁\A₂ (разность событий, исходы, принадлежащие только A₁, но не A₂ ) и A₂ — несовместные события. Отсюда следует:

P(A₁UA₂) = P(A₁\ A₂) + P(A₂) (*)

Далее очевидно: A₁ = (A₁\ A₂)U(A₁∩A₂), причем A₁\ A₂ и A₁∩A₂ - несовместные события, откуда следует: P(A₁) = P(A₁\ A₂) + P(A₁∩A₂) Найдем из этой формулы выражение для P(A₁\ A₂) и подставим его в правую часть формулы (*). В результате получим формулу сложения вероятностей:

P(A₁UA₂) = P(A₁) + P(A₂) – P(A₁∩A₂) (общий вид формулы сложения вероятностей)

Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив A₁∩A₂ = .

При м е р 1. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3 сектора.

Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй - 0,3.

Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

Решение. События А " попадание в первый сектор" и В - "попадание во второй сектор" несовместны (попадание в один сектор исключает попадание во второй), поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий. В соответствии с этой теоремой находим искомую вероятность:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,4 + 0,3 = 0,7.

П р и м е р 2. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена

0,85, а для второго - 0,8. Спортсмены независимо друг от друга

сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень

попадет хотя бы один спортсмен?

Решение. Введем обозначения: события А. - "попадание первого

спортсмена", В - "попадание второго спортсмена", С - "попадание хотя

бы одного из спортсменов". Очевидно, А + В = С, причем события А и В

совместны. В соответствии с общей формулой сложения вероятностей получаем

Р(С) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ), а поскольку А и В независимы

Р(С) = Р(А)+ Р(В)-Р(А)Р(В),

Подставив данные значения Р(А) = 0,85, Р(В) = 0,8 в формулу

для Р( С) , найдем искомую вероятность Р( С) = (0,85 + 0,8) - 0,85·0,8 = 0,97 .

Замечание. Следует помнить, что при использовании теоремы сложения вероятностей нужно проверять несовместность событий, а при использовании теоремы умножения независимость событий.

Пусть пространство элементарных событий  разбивается на непересекающиеся события (события , не имеющие общих исходов), их вероятности можно вычислить. Кроме того, можно вычислить условную вероятность некоторых событий, при условии, что произошло событие из указанной группы. В этом случае оказывается удобным использовать формулу полной вероятности и следующую из нее формулу Байеса.

Замечание. Нижеследующий раздел имеет непосредственное отношение к психологии. Как мы принимаем решения, руководствуясь опытом, как по известному факту установить, что он был вызван именно этой причиной и пр., а также увлекательная история открытия Байеса изложены в блестящей книге Леонарда Млодинова «(Не)совершенная случайность», с которой мы очень рекомендуем Вам познакомиться.