54

Тема 1.

Случайные события и их вероятности

1.1. События

Случайные события. Действия над событиями. Совместные и несовместные события. Элементарные события. Противоположные события. Равновозможные события. Пространство элементарных событий

1.2. Определения вероятности

Вероятностное пространство Случай конечного или счетного числа исходов. Отступление. Немного о комбинаторике

Классическое определение вероятности

Статистическое определение вероятности

Геометрические вероятности

Приложение. Из истории теории вероятностей. Парадокс де Мере

1.3.Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов Аксиоматика Колмогорова

Приложение. Самое интересное. Брайан Грин, вероятность и современная физика

1.4 Условные вероятности. Независимость событий

Независимые события. Теоремы о сложении и умножении вероятностей

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Раздел 1.1.1. События

Случайный эксперимент, элементарные исходы, события.

Начнем изложение материала темы с цитаты из классического учебника и В.Феллера «Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.1, гл. 1 Пространство элементарных событий» §1. Эмпирические основания

Перейдем теперь к определениям.

Определение. Случайным (стохастическим) экспериментом или испытанием называется испытание, которое может закончиться любым из совокупности известных результатов, причем до того, как эксперимент пройдет предсказать его результат нельзя. Иначе говоря, это осуществление какого-либо комплекса условий, который можно практически или мысленно воспроизвести сколь угодно большое число раз.

Примеры случайного эксперимента: подбрасывание монеты, извлечение одной карты из перетасованной колоды, подсчет числа автомобилей в очереди на бензоколонке в данный момент.

Явления, происходящие при реализации этого комплекса условий, то есть в результате случайного эксперимента, называются элементарными событиями (исходами, элементарными исходами). Будем считать, что при проведении случайного эксперимента реализуется только одно из возможных элементарных событий, то есть исходы являются взаимоисключающими.

Элементарные события (исходы) будем обозначать греческой буквой ω (омега малая)

Если монету подбросить один раз, то элементарными исходами можно считать выпадение герба (Г) или решетки (числа) (Р).

Если случайным экспериментом считать троекратное подбрасывание монеты, то элементарными исходами можно считать следующие:

ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, ГРР, РГР, РРГ, РРР.

Множество всех элементарных исходов случайного эксперимента называется пространством элементарных событий (исходов) (ПЭС). Будем обозначать пространство элементарных исходов греческой буквой  (омега большая), i-й элементарный исход будем обозначать_i (-омега малая).

Если пространство элементарных исходов содержит n элементарных исходов, то  = {₁, ₂ ,..., _n }.

Иными словами,

Множество исходов эксперимента образует пространство элементарных событий, если выполнены следующие требования:

- в результате эксперимента один из исходов обязательно происходит;

- появление одного из исходов исключает появление остальных;

- в рамках данного эксперимента нельзя разделить исход на более мелкие составляющие.

Если монета подбрасывается 1 раз, = {Г, Р} Для троекратного подбрасывания монеты, ={ГГГ, ГГР,..., РРР}. Здесь точки пространства Ω – тройки значков Г или Р.

Если случайный эксперимент - подбрасывание игральной кости, то ={1,2,3,4,5,6}, двукратное - ={(1,1) (1,2) …(6,6)}, здесь точками являются пары чисел.

Замечание. Очевидно, что если в одном опыте исходов только 2, количество точек в пространстве элементарных событий #Ω = 2ⁿ, где n – число опытов в серии (согласно комбинаторному правилу произведения )

Там же, §3 «Пространство элементарных событий»:

Случайным событием (или просто событием) называется подмножество множества (пространства) . События обозначаются заглавными латинскими буквами. Если необходимо описать событие, это делается в фигурных скобках Например, А={при однократном бросании монеты выпал герб}

Говорят, что событие А наступило, если эксперимент закончился одним из событий, входящих в событие А

С точки зрения числа элементов, образующих множество, оно может быть конечным или бесконечным. Бесконечное множество в свою очередь может быть счетным или несчетным.

Множество называется счетным, если между ним и множеством N натуральных чисел можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию) (т.е., существует возможность занумеровать все элементы множества, не повторившись и никакие не пропустив)

Пример счетного множества: множество натуральных, целых, рациональных чисел.

Множество называется несчетным (имеет мощность континуума), если при любом способе нумерации останутся незанумерованные элементы (то есть, установление взаимно-однозначного соответствия с множеством натуральных чисел невозможно). Примеры несчетных множеств: множество точек на заданном отрезке, множество чисел x, удовлетворяющих неравенству a< x <b, множество действительных чисел.

Приведем примеры событий. Пусть бросается игральная кость, и элементарным исходом считается выпавшее число очков: ={1,2,3,4,5,6}. A — событие, заключающееся в том, что выпало четное число очков: А={2,4,6}; B  — событие, заключающееся в том, что выпало число очков, не меньшее 3-х: B={3,4,5,6}.

Говорят, что те исходы, из которых состоит событие А, благоприятствуют событию А. Иными словами, это те исходы (точки), которые это событие (множество) образуют.

Пусть отрезок АВ поделен на отрезки и на него случайным образом бросается точка. Тогда событием будет попадание точки в некоторый маленький отрезок.

Таким образом, увидев, что события можно рассматривать как множества (исходов), мы смело можем применить к ним аппарат теории множеств.

Напоминание. Множеством называется совокупность объектов, «собранных» вместе по какому-то принципу. Основным вопросом здесь является не природа этих объектов (называемых элементами или точками), а их принадлежность или непринадлежность данному множеству.

Замечание. Рассматривая множества (события) и действия над ними, обычно имеют в виду существование некоторого основного (базового) множества, из которого черпают примеры множеств. Мы будем обозначать его Ω (это определенное выше пространство элементарных событий). В теории множеств его обозначают какой-либо заглавной латинской буквой, например М.

Отступление. Действия над множествами (событиями)

Рис.1

События удобно изображать в виде рисунка, который называется кругами Эйлера (в теории множеств) или диаграммами Венна (Вьенна) (в логике). На рисунке 1 пространство элементарных исходов  изображено в виде прямоугольника, а множество элементарных исходов, благоприятствующих событию A, заключено в круг (эллипс). Сами исходы на кругах Эйлера не изображаются, а информация о соотношении между их множествами содержится в расположении границ соответствующих областей. Форма областей никак не связана с природой множеств.

Суммой (объединением) двух событий А и B (обозначается AUBили А+В) называется событие, состоящее из всех элементарных исходов, принадлежащих по крайней мере одному из событий А или B. Событие AUB происходит, если происходит по крайней мере одно из Рис.2 событий А или B.

Приведем пример объединения событий. Пусть два стрелка стреляют в мишень одновременно, и событие А состоит в том, что в мишень попадает 1-й стрелок, а событие B - в том, что в мишень попадает 2-й. Событие AUBозначает, чтов мишень попали, то есть в мишень попал хотя бы один из стрелков.

Рис.3

Произведением (пересечением) A∩B (или АВ, АВ )событий А и B называется событие, состоящее из всех тех элементарных исходов, которые принадлежат и А и B. На рисунке 3 пересечение событий А и B изображено в виде заштрихованной области. В условиях приведенного выше примера событие A∩B заключается в том, что в мишень попали оба стрелка.

Разностью А\B или А-B событий А и B называется событие, состоящее из всех исходов события А, не благоприятствующих событию B. Диаграмма Венна разности событий А и B изображена на рисунке 4.

Рис.4

В условиях рассмотренного выше примера событие А\B заключается в том, что первый стрелок попал в мишень, а второй промахнулся.

Симметрической разностью А∆В называется событие, состоящее из всех исходов, входящих в события А и В по-отдельности, но не принадлежащие им обоим (на рис. 3 – незаштрихованная область внутри объединения А и В). А∆В = AUB \ A∩B

В условиях упомянутого примера это означает, что попал в мишень или только первый стрелок, или только второй. Одновременно они оба в мишень не попадали.

Определения.

Событие , состоящее из всех элементарных событий (исходов) данного эксперимента, называется достоверным (оно обязательно происходит в результате случайного эксперимента).

Пустое множество , не содержащее ни одного элемента (исхода), называется невозможным событием.

Событие =\A = С_Ω А, состоящее из всех исходов, не принадлежащих событию А (но принадлежащих определенному пространству элементарных событий Ω) называется противоположным событию А или дополнением события А (до множества (пространства) Ω).

Замечание. Существенно, что мы находимся все время в рамках одного и того же основного множества – Ω, поскольку без него операцию дополнения просто не определить.

События А и B называются несовместными, если нет исходов, принадлежащих и А и B, то есть A∩B = . На рисунке 5 изображены несовместные события А и B.

Рис.5

Непосредственно из введенных определений следуют равенства: AU=; A∩=; ∩; =. Два последних равенства называются формулами Де'Моргана.

Пример 1. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитываются суммы выпавших очков (суммы числа очков на верхних гранях обоих кубиков). Сумма выпавших очков на двух кубиках может меняться от 2 до 12. Описать пространство элементарных событий в этом опыте.

Решение. Полную группу событий образуют равновозможные элементарные

исходы (k; m), k, m = 1,2, 3, 4, 5, 6, представленные в приведенной ниже таблице

Элементарный исход (k; m) означает, что на первом кубике выпало k очков, на втором m очков (k, m = 1,2,3,4,5,6). Например, (3; 4) - на первом кубике 3 очка, на втором - 4 очка.

Таблица . Возможные варианты выпадения очков на верхних гранях 2 кубиков (элементарные исходы):

2 кубик 1 кубик	m = 1	2	3	4	5	6
k = 1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

Пример 2. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию

"на верхних гранях обоих кубиков выпало одинаковое число очков" при подбрасывании двух игральных кубиков?

Решение. Этому событию благоприятствуют 6 элементарных исходов

(см. таблицу): (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).

Пример. Подбрасывается два игральных кубика. Какому событию

благоприятствует больше элементарных исходов: "сумма выпавших оч-

ков равна 7", "сумма выпавших очков равна 8"? .

Решение. Событию «сумма выпавших очков равна 7» благоприятствуют

6 исходов (см. таблицу из предыдущего примера), (5;2), (6;1). Событию"

"сумма выпавших очков равна 8" благоприятствуют 5 исходов:

(2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2). Следовательно, первому событию благоприятствует больше элементарных исходов.

Пример. Подбрасываются три игральных кубика, подсчитываются суммы очков, выпавших на них. Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков, 6 очков?

Решение. Получить в сумме 5 очков можно шестью способами:

(1;1;3), (1;3;1), (3;1;1), (1;2;2), (2;1;2), (2;2;1). Получить в сумме 6 очков

можно десятью способами: (1; 1 ;4), (1 ;4; 1), (4; 1; 1), (1 ;2;3), (1 ;3;2), (2; 1 ;3),

(2;3;1), (3;1;2), (3;2;1), (2;2;2).

Замечание. Запись (3 ;2; 1) означает, что на первом кубике выпало 3 очка, на втором - ,2, на третьем - 1.

Определения вероятности

«В свое время, когда я только-только начинал размышлять о вероятности, все казалось мне простым и ясным, и лишь теперь я постигаю глубину своего заблуждения. Всякий раз, как мне кажется, что я нашел истину, она ускользает из моих рук. Почти на каждом шагу подстерегают нас здесь ловушки…» (из письма Блеза Паскаля Пьеру Ферма от 8 ноября 1654 г.)

Вероятностное пространство Случай конечного или счетного числа исходов.

Отступление. Немного о комбинаторике

Замечание. Комбинаторика – раздел дискретной математики, отвечающий на вопрос, сколькими способами можно выполнить некоторое действие.

Комбинаторные формулы и правила

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m· n способами.

Замечание. Набор (множество) элементов, для которых важен порядок следования, называется упорядоченным.

Правило (Принцип) Дирихле. Если вы хотите распределить n объектов по m (условным) ящикам, причем m строго меньше , m<n, то найдется по крайней мере один ящик, в котором будет находиться больше одно объекта

Замечание. Иногда можно встретить этот принцип под названием «принцип голубей» (рассаживание голубей по клеткам, в переводной литературе) или принцип кроликов (рассаживание кроликов по ящикам, в отечественной)

Определение. Множество (набор элементов) называется упорядоченным, если в нем важен порядок следования элементов. В противном случае множество называется неупорядоченным. Примером упорядоченных множеств могут служить номера телефонов, порядок лекций в расписании, набор цифр при последовательном наборе кода замка. Неупорядоченных – набор цифр кода при одновременном наборе цифр, множество членов семьи и пр.

Определения.

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его U_n. Перестановкой из n элементов называется заданный упорядоченный набор всех элементов множества U_n.

Примеры перестановок:

1)распределение n различных должностей среди n человек;

2)расположение n различных предметов в одном ряду.

Сколько различных перестановок можно образовать во множестве U_n? Число перестановок обозначается P_n (читается Р из n).

Чтобы вывести формулу числа перестановок, вспомним правило произведения и представим себе n ячеек, пронумерованных числами 1,2,...n. Все перестановки будем образовывать, располагая элементы U_n в этих ячейках. В первую ячейку можно занести любой из n элементов (иначе: первую ячейку можно заполнить n различными способами). Заполнив первую ячейку, можно n-1 способом заполнить вторую ячейку (иначе: при каждом способе заполнения первой ячейки находится n-1 способов заполнения второй ячейки). Таким образом существует n(n-1) способов заполнения двух первых ячеек. При заполнении первых двух ячеек можно найти n-2 способов заполнения третьей ячейки, откуда получается, что три ячейки можно заполнить n(n-1)(n-2) способами. Продолжая этот процесс, получим, что число способов заполнения n ячеек равно . Отсюда

P_n = n(n - 1)(n - 2)...321

Число n(n - 1)(n - 2)...321, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n, называется факториалом (читается "n-факториал") и обозначается n!. Отсюда P_n = n!

Пример. Сколькими способами можно поставить в шеренгу 5 человек? .

Замечание .По соглашению считается: 1!=1; 0!=1.

Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов, множества U_n - (множества, состоящего из n элементов). Число размещений из n элементов по k элементов обозначается (читается "А из n по k").

Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета

1) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и назначить их на 5 различных должностей?

2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на полке?

Для подсчета используем тот же метод, что использовался для подсчетаP_n ,только здесь возьмем лишь k ячеек. Первую ячейку можно заполнить n способами, вторую, при заполненной первой, можно заполнить n-1 способами. Можно продолжать этот процесс до заполнения последней k-й ячейки. Эту ячейку при заполненных первых k-1 ячейках можно заполнить n-(k-1) способами (или n-k+1). Таким образом, все k ячеек заполняются числом способов, равным

Отсюда получаем:

Пример. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?

Замечание. При этом, если немного изменить условие на выбор 4 специалистов в состав одной делегации , то подмножество станет неупорядоченным, порядок следования специалистов неважен (не привязан к странам), важно лишь наличие того или иного человека в группе.

Замечание. В задачах о размещениях полагается k<n. В случае, если k=n, легко получить То есть перестановку из n элементов можно назвать размещением из n элементов по n.

Сочетаниями из n элементов по k элементов называются подмножества, состоящие из k элементов множества U_n (множества, состоящего из n элементов).

Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов (но не порядком их расположения, как у размещений).

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается (читается "C из n по k").

Замечание. Очевидно, что число сочетаний из n элементов по k элементов меньше числа размещений n элементов по k элементов в k! (число перестановок из k элементов) раз

Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета числа сочетаний:

1) Сколькими способами можно из 15 человек выбрать 6 кандидатов для назначения на работу в одинаковых должностях?

2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 книг?

Выведем формулу для подсчета числа сочетаний. Пусть имеется множество U_n и нужно образовать упорядоченное подмножество множества U_n, содержащее k элементов (то есть образовать размещение). Делаем это так:

1) выделим какие-либо k элементов из n элементов множества U_n Это, согласно сказанному выше, можно сделать способами;

2) упорядочим выделенные k элементов, что можно сделать способами. Всего можно получитьвариантов (упорядоченных подмножеств), откуда следует:,то есть

Пример: 6 человек из 15 можно выбрать числом способов, равным

Замечание. В англоязычной литературе (и в некоторых отечественных учебниках) принято другое обозначение для числа сочетаний из n по k :

Задачи на подсчет числа подмножеств конечного множества называются комбинаторными. Рассмотрим некоторые комбинаторные задачи.

1.Из семи заводов организация должна выбрать три для размещения трех различных заказов. Сколькими способами можно разместить заказы?

Так как все заводы различны, и из условия ясно, что каждый завод может либо получить один заказ, либо не получить ни одного, здесь нужно считать число размещений

2.Если из текста задачи 1 убрать условие различия трех заказов, сохранив все остальные условия, получим другую задачу. Теперь способ размещения заказов определяется только выбором тройки заводов, так как все эти заводы получат одинаковые заказы, и число вариантов определяется как число сочетаний.

3.Имеются 7 заводов. Сколькими способами организация может разместить на них три различных производственных заказа? (Заказ нельзя дробить, то есть распределять его на несколько заводов).

В отличие от условия первой задачи, здесь организация может отдать все три заказа первому заводу или, например, отдать два заказа второму заводу, а один - седьмому.

Задача решается так. Первый заказ может быть размещен семью различными способами (на первом заводе, на втором и т.д.). Разместив первый заказ, имеем семь вариантов размещения второго (иначе, каждый способ размещения первого заказа может сопровождаться семью способами размещения второго). Таким образом, существует 77=49 способов размещения первых двух заказов. Разместив их каким-либо образом, можем найти 7 вариантов размещения третьего (иначе, каждый способ размещения первых двух заказов может сопровождаться семью различными способами распределения третьего заказа). Следовательно, существуют 497=7³ способов размещения трех заказов. (Если бы заказов было n, то получилось бы 7ⁿ способов размещения).

4.Как решать задачу 3, если в ее тексте вместо слов "различных производственных заказа" поставить "одинаковых производственных заказа"?

5.Добавим к условию задачи 1 одну фразу: организация также должна распределить три различных заказа на изготовление деревянных перекрытий среди 4-х лесопилок. Сколькими способами могут быть распределены все заказы?

Каждый из способов распределения заказов на заводах может сопровождатьсяспособами размещения заказов на лесопилках. Общее число возможных способов размещения всех заказов будет равно