Случайные величины с дискретным распределением

Как мы уже говорили, событие, связанное со случайной величиной, заключается в том, что эта функция принимает какое-то значение и вероятность этого значения мы можем обсуждать.

Определение. Случайная величина, которая может принимать лишь конечное или счётное число значений, называетсядискретной.

Если говорится, что задана случайная величина Х,это значит, что каждому исходу_kслучайного эксперимента поставлено в соответствие единственное числоx_k, что записывается в виде равенстваx_k=Х(_k).

Некоторые из значений x_kмогут совпадать, то есть различным исходамможет соответствовать одно и то же числоx. Если все значения случайной величины совпадают, то будем говорить, что случайная величина постоянна.

Пусть А_k— множество всех элементарных исходов, каждому из которых соответствует значениеx_k(k = 1,2,,n) случайной величиныХ.То есть А_k как множество, состоит из всех тех _k, для которых Х(_k)= x_k.

Таким образом, А_k – это событие (строго говоря, это верно лишь в случае конечного или счётного числа исходов). Для каждого событияА_kопределим числор_k0, равное вероятности этого события:р_k=P(A_k). Очевидно, что

Объединение всех А_k совпадает с , A_i∩A_j=(i,j = 1,2,,n,ij),.

Теперь каждому значению x_kслучайной величиныХможно поставить в соответствие вероятностьр_k=P(A_k) событияА_k. Если такое соответствие определено,то будем говорить, что заданзакон распределения диск­ретной случайной величины Х.Обычно закон распределения диск­ретной случайной величины представляется в виде таблицы

Х	х1	х2	х3		хn
P	p1	p2	p3		pn

В дальнейшем для краткости будем называть величину p_iвероятностью значения х_iслучайной величины, т.е. р_k=P(Х=х_k). Отметим, что закон распределения содержит всю информацию о случайной величине, и задать случайную величину можно, просто представив её закон распределения.

Итак, закон распределения дискретной случайной величины – это таблица, состоящая из двух строк – значений случайной величины и соответствующих вероятностей, причем необходимым условием является .

Замечание. Может возникнуть вопрос: а как же быть с равенством в случае, если значений случайной величины не конечное, а бесконечное (но счетное) количество? В таком случае сумму нужно понимать как сумму соответствующего числового ряда.

Замечание. Иногда, особенно в случае счетного числа значений случайной величины, в качестве закона распределения дискретной случайной величины рассматривают формулу для вероятности принятия конкретного значения (как, скажем, для биномиального или пуассоновского распределения). Нетрудно видеть, что с помощью такой формулы легко получить искомую таблицу. Возможно, правда, бесконечную…

Замечание. Можно представить себе модель дискретного распределения более наглядно следующим образом: рассмотрим «физический» стержень – координатную прямую, несгибаемый стержень, на котором мы разместим «грузы». В физике пользуются понятием «точечная масса»- масса, сосредоточенная в точке, не имеющая объема. Поместим такие массы в точках с координатами, соответствующими значениям случайной величины. Эти массы по величине будут совпадать с величиной вероятности соответствующего значения. Тем самым мы получим дискретное распределение массы-вероятности, она будет сосредоточена лишь в некоторых точках, с промежутками. Именно этой модели теория вероятностей обязана употребляющемуся в некоторых изданиях выражению «значения случайной величины с весом».

Теперь построим функцию распределения дискретной случайной величины.

Напомним, что функция распределения случайной величины Х – это вероятность F_X (x) = Р(X<x)

Пусть у нас есть таблица закона распределения, значения случайной величины в ней расположены по возрастанию, т.е. х₁ ≤ х₂≤…≤ х_n . Тогда для любых х ≤ х₁ событие, состоящее в том, что случайная величина приняла значение меньшее х, т.е. {Х<х}, есть событие невозможное, вероятность которого равна 0. Если х₁ <x ≤ х₂ , то событие {Х<х} состоит только из тех элементарных исходов ω, для которых Х( ω ) = х₁ и соответственно F_X (x) =р₁.

Аналогично, когда х₂ <x ≤ х₃ событие {Х<х} состоит только из тех элементарных исходов ω, для которых Х( ω ) = х₁ или Х( ω ) = х₂ и соответственно, то есть событие {Х<х} состоит из двух (несовместных) событий {Х=х₁} и {Х<х₂} , {Х<х} = {Х=х₁} + {Х<х₂} F_X (x) =р₁+ р_2.

И так далее. Когда же, наконец, значение переменной х превзойдет максимальное значение случайной величины х_n, т.е. x > х_n, событие {Х<х} = {Х=х₁} + {Х<х₂}+…{Х<х_n} окажется достоверным событием и F_X (x) = р₁+ р₂+…+ р_n=1. Таким образом, функция распределения оказывается кусочно-постоянной, непрерывной слева.

Замечание. На графике знак ← соответствует промежутку (…], то есть, левый конец промежутка исключен, а правый – включен. (Этому же соот-ветствует также употребляющийся в этом случае графический знак ○── )