Тема.4 .Числовые характеристики случайных величин

Понятие параметров распределения

Математическое ожидание и его свойства

Дисперсия и ее свойства

Неравенства Маркова и Чебышева

Моменты

Квантиль, асимметрия, эксцесс, мода, медиана

Ковариация

Коэффициент корреляции

Понятие параметров распределения

Наиболее полная характеристика случайной величины дается ее функцией распределения. Функция распределения одновременно указывает на то, какие значения может принимать случайная величина, и с какими вероятностями.

Однако в ряде случаев о случайной величине нужно знать гораздо меньше, требуется получить о ней лишь некоторое суммарное представление. Для теории вероятностей и ее приложений большую роль играют некоторые постоянные числа, получаемые по определенным правилам из функций распределения случайных величин.

Существуют две традиции, связанные с понятием параметров распределения случайной величины. По одной из них параметрами распределения называют числовые коэффициенты, входящие в формулы для законов распределения случайных величин (такие как а, σ² в формуле плотности нормального закона, λ в формуле вероятности закона Пуассона). По второй к параметрам распределения относят все численные характеристики, которые могут дать представление о конкретном распределении. Важнейшими из них являются математическое ожидание, дисперсия и моменты (различных порядков) случайных величин.

Математическое ожидание и его свойства Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Пусть задан закон распределения дискретной случайной величиныХ.

Х	х1	х2	х3		хn
P	p1	p2	p3		pn

Математическое ожидание ЕХ(илиЕ(Х)) случайной величиныХопределяется формулой

_{ЕХ =}

_{Замечание. В английском языке математическое ожидание звучит как mathematical expectation. Отсюда две традиции обозначения этого понятия – по первой букве первого или второго слова, соответственно ЕХ или МХ. Мы будем придерживаться первого варианта.}

_{Рассмотрим отвлеченный пример. Мы уже говорили о связи понятия вероятности и частоты (статистическое определение вероятности), поэтому рассмотрим поясняющую «жизненную» ситуацию.}

_{Пусть в некотором магазине, торгующем электробытовой техникой, получены статистические данные о числе проданных холодильников в каждый день месяца (условно считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней). Эти данные собраны в таблицу}

Количество проданных холодильников	0	1	2	3	4	5
Число дней, в которые было продано столько холодильников	3	7	8	9	2	1

_{По этой таблице легко подсчитать число холодильников, проданных в магазине за месяц: 01+17+28+39+42+51 = 63. Чтобы подсчитать среднее число холодильников, продававшихся в один день месяца, нужно эту сумму разделить на 30, в результате получим 2,1. Если в приведенной таблице каждое число второй строки поделить на 30, то получится последовательность дробей}

_,

каждая из которых представляет собой так называемую относительную частоту, с которой в данный месяц появлялся приведенный в верхней строке объём продаж. Очевидно, что если просуммировать все произведения чисел, стоящих в первой строке таблицы, на их относительные частоты, то получится то же среднее число продававшихся в один день холодильников:

Если бы в последней формуле относительные частоты рассчитывались не для одного месяца, а для существенно большего срока, то при некоторых условиях (например, при отсутствии кризисных явлений, существенно влияющих на спрос населения на дорогостоящие товары) эти относительные частоты можно было бы считать довольно близкими к вероятностям соответствующих значений объёма продаж. Таким образом, приходим к выводу, что математическое ожидание случайной величины – это в некотором смысле её среднее значение.

Замечание. Первые эксперименты в теории вероятностей касались очень простых ситуаций – бросания монеты или кубика (кости), то есть случаев равновероятных исходов (описываемых равномерным дискретным распределением). Очевидно, что для такого распределения математическое ожидание совпадает со средним (арифметическим) значений случайной величины

Замечание. Хотя математическое ожидание и принято называть средним (значением) случайной величины, оно, кроме случаев равномерного распределения, совсем не обязано совпадать со средним арифметическим ее значений.

Замечание. Следует отметить, что случайная величина может вообще не принимать значения, равного её математическому ожиданию. Так, например, случайная величина, принимающая только значения 1 и –1, каждое – с вероятностью 0,5, имеет математическое ожидание, равное нулю.

Замечание. Более того, случайная величина может вообще не иметь конечного математического ожидания. Примером может служить одно из абсолютно непрерывных распределений – распределение Коши с плотностью

(х) = 1/ (1+ x² ). Забегая вперед скажем, что это распределение не имеет также ни дисперсии ни моментов.

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной законом распределения

Х	1	0
Р	p	q

Здесь p + q = 1.

_{ЕХ = 1р + 0q = р}

Замечание. Вернемся к нашей аналогии распределения вероятностей как точечных масс при обсуждении дискретного закона распределения. Точка, в которой нужно установить упор (подвес), для того, чтобы уравновесить стержень с «шариками-массами» (вероятностями) и будет точкой математического ожидания в данном случае. Так что мы можем говорить о математическом ожидании как о «средневзвешенном» значении.

_{Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины}

_{Как мы уже отмечали, вероятность события, состоящего в том, что абсолютно непрерывная случайная величина примет некоторое конкретное значение, равна нулю. Поэтому и формула для математического ожидания принимает иной вид.}

_{Вспомним, что функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины}

_{Соответственно, математическое ожидание случайной величины Х будет таким:}

Замечание. Вернемся к нашей аналогии плотности вероятности и физической плотности при обсуждении абсолютно непрерывного закона распределения. Точка, в которой нужно установить упор (подвес), для тог, чтобы уравновесить этот гипотетический стержень и будет точкой математического ожидания в данном случае. Так что, как и в дискретном случае, мы можем говорить о математическом ожидании как о «средневзвешенном» значении.

Пример.

Найти математическое ожидание равномерно распределенной на [a,b] случайной величины X. Поскольку при x<a, x>b плотность p(x)=0 и ЕХ =

То есть математическое ожидание – это середина отрезка [a,b]

Свойства математического ожидания.

1. Если случайная величина Хпринимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то естьХС, то её математическое ожидание равноС.

2. Если ЕХ=а, иk– константа, тоЕ(kХ) =kЕХ(математическое ожидание случайной величины, умноженной на число, равно математическому ожиданию случайной величины, умноженному на это число).

3. Если ЕХ=а, иk– константа, тоЕ(k + Х) =k + ЕХ математическое ожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этого числа и математического ожидания случайной величины).

4. E(X+Y) =EX + EY

5. Если X и Y – независимые случайные величины, то E(X∙Y) = EX∙ EY