12

Занятие 6-7.

I. Доверительные интервалы генеральных параметров.

Доверительный интервал для генеральной средней нормально распределенной совокупности рассчитывается по формуле:

где - средняя арифметическая, m_M – ошибка средней, t_э - критерий Стьюдента для выбранного уровня доверительной вероятности (Р=1-=95%)и степени свободы - =n-1. Для оценки доверительного интервала генеральной средней в Microsoft Excel составим и заполним таблицу 1:

Таблица 1. Оценка доверительного интервала для генеральной средней

Средняя арифм.
Стандартное отклонение
Объем выборки
Ошибка ср. арифм.
t (крит. Стьюдента)
Доверительный интервал (погрешность)
Нижняя граница дов. интервала
Верхняя граница дов. интервала
Доверительный интервал (погрешность)

Стандартное значение критерия Стьюдента берем из таблицы t-распределения Стьюдента: Функция-Статистические- СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х (Рис. 1), в открывшемся окне указываем уровень значимости (Вероятность), число степеней свободы (Степени_свободы)(=n-1) .

Рис. 1

Рассчитываем остальные величины, постепенно заполняя ячейки Таблицы 1.

Доверительный интервал в приложении Excel можно определить с помощью вставки функции: Функция-Статистические- ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ (результат вставить в нижнюю строчку в таблице 1). В открывающемся окне нужно указать уровень значимости критерия Стьюдента (Альфа), стандартное отклонение (Станд_откл), объем выборки (Размер) (Рис. 2).

Рис. 2

Для оценки доверительного интервала в приложении Статистика, вставляем исходные данные в специальную таблицу Spreadsheet. Если мы хотим получить результат в виде таблицы, выбираем последовательно разделы Statistics-Basic Statistics/Tables-Descriptive statistics (как показано на Рисунке 3).

Рис. 3

В открывшемся окне выбираем раздел Advanced (Рис. 4), где мы указываем, в каком столбце находятся данные (Variables), какие показатели хотим рассчитать: среднюю арифметическую (Mean) и доверительный интервал для средней (Conf. limits for means) (расставляем отметки, как показано на Рисунке 4) и нажимаем «Summary».

–

Рис. 4

Для графического изображения доверительного интервала следует воспользоваться разделом меню Graphs-Means w/Error Plots….(Рис. 5). В появившемся окне нажимаем кнопку Variables и указываем, в каком столбце находятся данные. Имеются только значения Dependent variable (зависимая переменная, это столбец, где указаны размеры моллюсков), столбца группирующей переменной (Grouping variable) нет (он понадобится только если мы хотим на одном рисунке показать интервалы для разных средних). Все остальные отметки оставляем (тип графика Graph type– Whiskers (коробка с усами); группировка данных в б/интервальный вариационный ряд – Grouping intervals - Unique value, тип интервала – 95% доверительный интервал - Whiskers - Conf. Interval) и нажимаем ОК.

Рис. 5

II. Сравнение двух выборок.

Сравнение средних и дисперсий.

1)Малые выборки (n₁ и n₂ < 20) с равными объемами или при слабых различиях объемов выборок.

Cравнение выборочных дисперсий с помощью критерия Фишера:

(при S²₁S²₂, ₁=n₁-1, ₂=n₂-1 и заданном ).

Дисперсия объединенной выборки:

Сравнение средних арифметических:

, где s - среднеквадратическое отклонение объединенной выборки. H₀ сохраняется, если статистика t по модулю меньше t_st на выбранном уровне значимости и числе степеней свободы:

2) Анализ больших выборок (N₁>20; N₂>20).

При отсутствии значимых различий между выборочными дисперсиями, равенстве или слабых различиях между объемами выборок сравнение средних арифметических выборок производится по формуле:

(v = N₁+N₂-2).

Нахождение объединенной средней:

3) При неравенстве и незначительности (n  20)объемов сравниваемых выборочных совокупностей для сравнения средних выборочных используют формулу:

(,=n₁+n₂-2).

4) Если между дисперсиями наблюдаются значимые различия, то используют приближенный t-критерий:

Нулевая гипотеза принимается при тех же условиях (t_экс<t_st), но величину степени свободы для входа в таблицу t-распределения Стьюдента определяют по выражению: , где.

1. Сравнение средних и дисперсий в Microsoft Excel.

Результаты сравнения выборок оформим в виде таблицы (Таблица 2).

Таблица 2. Сравнение выборочных характеристик размеров моллюсков Serripes groenlandicus на песчаном (выборка 1) и илистом пляжах (выборка 2).

Показатели	Выборка 1	Выборка 2
Средняя
Дисперсия
Объем выборки
Стандартное отклонение
Ошибка средней арифм.
Критерий Фишера
Число степеней свободы
Fкр
Критерий Стьюдента
Число степеней свободы
tst

А. Определим, существуют ли значимые различия между выборочными дисперсиями.

Н₀: S²₁=S²₂=σ²

Н_А: S²₁>S²₂

Cтандартное значение критерия Фишера Fкр берем из таблицы F-распределения Фишера: Вставка-Функция-Статистические- F.ОБР.ПХ (Рис. 6), в открывшемся окне указываем уровень значимости нулевой гипотезы(Вероятность), числа степеней свободы (Степени_свободы1 и Степени_свободы2)(V₁=n₁-1; V₂=n₂-1 ).

Рис. 6

Б. Сравнение выборочных средних.

Формулировка Н₀: M₁=M₂=µ

Формулировка Н_А: M₁≠M₂

Для оценки критерия Стьюдента воспользуемся функцией для больших выборок (N₁>20; N₂>20):

Cтандартное значение критерия Стьюдента tst берем из таблицы t-распределения Стьюдента: Вставка-Функция-Статистические- СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х (Рис. 7), в открывшемся окне указываем уровень значимости нулевой гипотезы (Вероятность), число степеней свободы (Степени_свободы)(V=n₁+n₂-2).

Рис. 7