hitrov-1st-semester / Paragraf_6

§ 6. Свойства определителя n-го порядка

Практическое вычисление определителя более 30-го порядка по формуле (*) предыдущего параграфа сегодня невозможно даже с использованием самых мощных современных вычислительных машин. В тоже время современной практике приходится постоянно сталкиваться со связанными системами, насчитывающими тысячи элементов. Учет связей в этих системах приводит, в том числе, к необходимости вычислений определителей указанного порядка. И это удается делать благодаря знаниям свойств определителя. К изучению этих свойств мы и переходим. И вот тут-то нам и поможет формула (*).

Хотя из формулы (*) ясно, что понятие определителя имеет смысл для матриц с элементами из любого ассоциативного коммутативного кольца, мы, пока не освоимся, будем рассматривать определители матриц с элементами из любого поля.

Перейдем к перечислению и выводу свойств.

1. Общее правило знаков. Каждый член определителя a 1 1 a 2 2 a n n матрицы A с элементами aij ( i, j 1, 2,..., n ) входит в состав (сумму членов) определителя со знаком ( 1)inv( 1 , 2 ,..., n ) inv( 1 , 2 ,..., n ) или, что равносильно, со знаком (+), если подстановка

В соответствии с общим правилом знаков симметричные члены входят в состав определителя с одним и тем же знаком.

2. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной.

Действительно, строки исходной матрицы являются столбцами транспонированной матрицы. Поэтому определители обеих матриц состоят из одних и тех же членов (член определителя является произведением элементов матрицы, взятых по одному из каждой строчки и каждого столбца). Далее, номера строк для исходной – это номера столбцов для транспонированной. Поэтому каждый член определителя a 1 1 a 2 2 a n n исходной

матрицы входит в состав определителя транспонированной матрицы со знаком симметричного ему члена, т.е. с одним и тем же множителем ( 1)inv( 1 , 2 ,..., n ) inv( 1 , 2 ,..., n ) .

Следовательно, определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Установленные два свойства указывают, что в определителе строки и столбцы совершенно равноправны. Поэтому все дальнейшие свойства, устанавливаемые для строк, остаются справедливыми и для столбцов.

3. Если элементы какой-либо строки представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слагаемым, во втором – вторым.

Поясним эту цепочку равенств. Первая строка этой цепочки сама представляет равенство (формула (*)). В правой части этого равенства в каждом члене определителя выделены сомножители, являющиеся элементами одинаковых i-ой и k-ой строк.

Вторая строка цепочки констатирует разделение всех членов определителя на две группы: в первой группе собраны все члены, которые берутся со знаком (+), во второй группе – со знаком (-). Именно поэтому при выписывании этих групп опускается сомножитель ( 1)inv( 1 , 2 ,..., n ) .

Третья строка цепочки выписана на основании нескольких свойств. Во-первых, на

вторая сумма в третьей строке, равная второй сумме второй строки. Чтобы при этом сохранилась упорядоченность по первому индексу, замененные элементы поменяны местами. (Обратите внимание на запись слагаемых второй суммы третьей строки!). В результате этих действий (замен) перестановка из вторых индексов элементовсомножителей в каждом слагаемом второй суммы второй строки из нечетной превратилась в четную перестановку в соответствующем слагаемом третьей строки. Действительно, по отношению ко вторым индексам сомножителей каждого слагаемого наши действия были эквивалентны совершению одной транспозиции ( i , k ) в

перестановке из вторых индексов, т.е. перестановку ( 1,..., i ,..., k ,..., n ) мы превращали в перестановку ( 1,..., k ,..., i ,..., n ) и, следовательно, меняли четность перестановки.

Поскольку число нечетных перестановок совпадает с числом четных перестановок, то каждому слагаемому второй суммы третьей строки цепочки найдется равное ему слагаемое первой суммы и наоборот. Следовательно, в третьей строке стоит разность двух одинаковых сумм и, значит, она равна нулю. Что и требовалось доказать.

6. Если в матрице поменять местами две строки, то еѐ определитель изменит знак на противоположный.

Доказательство. Обозначим переставляемые строки через I и II. Нам нужно сравнить два определителя:

При этом мы три раза воспользовались свойством 5 и два раза свойством 3. В итоге получили требуемое утверждение:

7. Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Действительно, если, согласно свойству 4, вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности, то останется определитель с двумя равными строками, который, согласно свойству 5, равен нулю.

8. Определитель не изменится, если к какой-либо его строке прибавить строку, пропорциональную другой его строке.

Доказательство. Прибавим к строке определителя, обозначенной как I, строку, пропорциональную строке, обозначенной как II, с коэффициентом пропорциональности. То есть прибавим к строке I строку II . Получим:

Мы воспользовались свойствами 3 и 7 и в итоге получили требуемое утверждение. Пример 1. Пусть требуется вычислить определитель с элементами из кольца Z

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на -1, затем к третьей прибавим первую, умноженную на -1, и затем к четвертой прибавим первую, умноженную на -1. Получим равный определитель

Теперь прибавим к четвертой строке третью, умноженную на -1, а к четвертой – вторую, умноженную на -1. Получим равный определитель

Теперь оказывается, что из 24 слагаемых определителя отлично от нуля только одно: a11a23a32a44 1 ( 2) ( 2) 4 16 . Перестановка (1, 3, 2, 4) нечетная, следовательно, определитель, равен -16.

Пусть элементы исходного определителя рассматриваются теперь как элементы из поля по модулю три. Тогда проделывая все те же операции с новым определителем, что и ранее с целочисленным определителем, получим на предпоследнем шаге определитель

(Напомним, что сложение и умножение чисел, мы в этом случае проводили в соответствии с таблицами сложения и умножения классов по модулю три). Как и ранее единственный отличный от нуля член определителя, в этом случае, будет a11a23a32a44 1 1 1 1 1. И с учетом знака этого члена определитель будет равен -1.

Алгебраические дополнения и миноры. Пусть дан определитель

Аналогично, остальные определители равны соответствующим алгебраическим дополнениям, так что действительно

Это свойство носит название разложения определителя по элементам строки.

Ясно, что существуют аналогичные разложения по элементам столбцов.

Следующие два свойства являются непосредственными следствиями из разложения по элементам строки.

n чисел b1,...,bn . Сумма произведений этих чисел на соответствующие алгебраические дополнения элементов i-ой строки равна определителю, в матрице которого на месте ai1,..., ain стоят b1,...,bn :

алгебраические дополнения не зависят от элементов i-ой строки, так что они совпадают с алгебраическими дополнениями Ai1,..., Ain исходного определителя.

11. Сумма произведений элементов какой-либо строки на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю (свойство ортогональности строк и алгебраических дополнений).

Действительно, пусть дан определитель

a11 ... a1n

... ... ...

ai1 ... ain

... ... ... .

ak1 ... akn

... ... ...

an1 ... ann

Тогда по предыдущему свойству

ибо получился определитель с двумя одинаковыми строками.

Следующее свойство касается вычисления алгебраических дополнений.

Минором порядка n-1 для данного определителя называется определитель матрицы, получающийся из матрицы исходного определителя посредством вычеркивания одной строки и одного столбца. Минор, получающийся вычеркиванием i-ой строки и k-го столбца, содержащих aik , будем обозначать через ik .

12. Алгебраическое дополнение Aik отличается от соответствующего минора ik

только слагаемые при 1 1 и ( 2 ,..., n ) , пробегающей все перестановки чисел 2, 3, …, n, причем положить a11 1. Получаем

Ясно, что inv(1, 2 ,..., n ) inv( 2 ,..., n ) , ибо 1 на первом месте не образует инверсий с другими элементами. Поэтому

Переместим 1 в левый верхний угол, сохраняя порядок остальных строк и столбцов. С этой целью поменяем i-ую строку последовательно со всеми предыдущими, а затем то же

сделаем с k-ым столбцом. Определитель при этом приобретет множитель ( 1)i 1 k 1 , так что

что и требовалось доказать.